2.5.1矩形的性质教学设计(第二课时)

2．5

矩形

2．5.1

矩形的性质

1．理解并掌握矩形的性质定理及推论．

2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明．

3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明计算．

重点

矩形的性质．

难点

用性质定理进行有关的计算与证明．

一、创设情境，导入新课

如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？

可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．

我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示．

二、合作交流，探究新知

(1)左图是一个平行四边形，回忆平行四边形有哪些性质？

(2)四边形具有不稳定性，即当一个四边形的四条边长保持不变时，它的形状是可以变化的．现在使左图的平行四边形保持边长不变，而将一个内角的度数不断变化，那么在变化过程中，何时平行四边形的面积最大？这时这个平行四边形的内角是多少度？为什么？

(3)总结：矩形的定义：有一个角是______的平行四边形，叫做矩形．

(4)练习：四边形、平行四边形、矩形有什么关系？

探究：在上述变化过程中，当一个内角是90°时，其余三个内角各是多少度？它的两条对角线长又具有什么关系？

(1)由于矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，还具有平行四边形不具有的特殊性质．如图，同学们研究矩形的性质，填写下表：

矩形的性质

具有平行四边

形的所有性质

具有平行四边

形不具有的特

殊性质

边

角

对角线

对称性

(2)你能证明以下性质的正确性吗？

①矩形的四个角都是直角； ②矩形的对角线相等．

三、运用新知，深化理解

例1 如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的(

)

1113A.

B.

C.

D.

54310【分析】∵矩形ABCD的边AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，在矩形ABCD中，OB＝OD，在△∠ABO＝∠CDO，BOE和△DOF中，OB＝OD，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴S△BOE＝S△DOF，∴阴影部分的面∠BOE＝∠DOF，1积＝S△AOB＝S矩形ABCD.故选B. 4【方法总结】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出阴影部分的面积＝S△AOB是解题的关键．

例2 如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心、边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE于点F.求证：BF＝AE.

【分析】利用矩形的性质得出AD∥BC，∠A＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC≌△EAB，进而得出结论．

证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC，∵CF⊥BE，∴∠BFC＝

∠A＝∠CFB，∠A＝90°，由作图可知，BC＝BE，在△BFC和△EAB中，∠AEB＝∠FBC，∴△BFC≌△EB＝BC，EAB(AAS)，

∴BF＝AE. 【方法总结】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性质，得出△BFC≌△EAB是解题的关键．

例3 已知：如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED. 求证：AE平分∠BAD.

【分析】要证AE平分∠BAD，可转化为△ABE为等腰直角三角形，得AB＝BE，又AB＝CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，可确定BE＝CD，即求证．

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°.∴∠BFE＝∠CED.∴∠BEF＝∠EDC.在△EBF与∠BFE＝∠CED，△DCE中，EF＝ED，∴△EBF≌△DCE(ASA)．∴BE＝CD.∴BE＝AB.∴∠BAE＝∠BEA∠BEF＝∠EDC，＝45°.∴∠EAD＝45°.∴∠BAE＝∠EAD，即AE平分∠BAD. 【方法总结】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P60练习．

2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．

五、反思小结，梳理新知

矩形除具有平行四边形的性质外，还具有以下性质：

矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形．

六、布置作业

1．学生完成《·高效课堂》“课时作业”．

2．教材P63习题2.5第1，2，5题．