复习参考题教学设计实例

同角三角函数的基本关系

学习目标

1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.

知识点一

同角三角函数的基本关系式

思考1

角α的终边与单位圆的交点P(x，y)，任意角三角函数的定义是什么？

y答

sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. x思考2

由上面的式子，sin α，cos α，tan α具有怎样的等量关系？

答

由|OP|＝1，则x2＋y2＝1，

∴sin2α＋cos2α＝1，

ysin αtan α＝＝. xcos α思考3

sin2 30°＋cos2 45°等于1吗？

sin 90°有意义吗？

cos 90°sin 90°答

不等于1，分母为0，无意义. cos 90°1.基本关系

基本关系

平方关系

商数关系

2.公式变形

(1)平方关系变形：

sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. (2)商的变形

关系式

sin2α＋cos 2α＝1

语言叙述

同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的sin απtan α＝(α≠kπ＋，k∈Z)

cos α2正切

sin α＝cos_α·tan_α，cos α＝sin α. tan α

类型一

利用同角基本关系式求值

8例1

已知cos α＝－，求sin α，tan α的值. 178解

∵cos α＝－<0，∴α是第二或第三象限的角. 17如果α是第二象限角，那么

sin α＝1－cos2α＝

815－2＝，

1－17171517sin α15tan α＝＝＝－. cos α88－17如果α是第三象限角，同理可得

1515sin α＝－1－cos2α＝－，tan α＝. 178反思与感悟

已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2

α＋cos2α”.本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cos α的值推断出α所在的象限，再分类求解. 4跟踪训练1

已知tan α＝且α为第三象限角，求sin α，cos α的值. 3解

由tan α＝sin α4＝，

cos α3

①

②

4得sin α＝cos α.

3又sin2α＋cos2α＝1,

16由①②得cos2α＋cos2α＝1，

99cos2α＝. 25又α为第三象限角，

34∴cos α＝－，sin α＝－. 55类型二

三角函数式的化简

例2

已知α是第三象限角，化简：

解

原式＝

＝

1＋sin α1＋sin α－

1＋sin α1－sin α1＋sin α－

1－sin α1－sin α. 1＋sin α1－sin α1－sin α

1＋sin α1－sin α1＋sin α2－

1－sin2α1－sin α21＋sin α1－sin α＝－. |cos α||cos α|1－sin2α∵α是第三象限角，∴cos α＜0. 1＋sin α1－sin α∴原式＝－＝－2tan α(注意象限、符号). －cos α－cos α反思与感悟

解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. cos 36°－1－cos236°跟踪训练2

化简：(1)；

1－2sin 36°cos 36°1(2)2－

cosα1＋tan2α解

(1)原式＝

＝

1＋sin α(α为第二象限角). 1－sin αcos 36°－

sin236°

sin236°＋cos236°－2sin 36°cos 36°cos 36°－sin 36°＝

－sin 36°|cos 36°－sin 36°2|cos 36°cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝＝1. cos 36°－sin 36°(2)∵α是第二象限角，∴cos α＜0，

则原式＝cos2α

1＝2

cos

α1－

sin2α1＋2cos

α1＋sin α2

1－sin2α1＋sin αcos2

α

22－cosα＋sinα|cos α|－cos α1＋sin α－1＋1＋sin αsin α＝＋＝＝＝tan α. cos2αcos αcos αcos α类型三

三角恒等式的证明

tan αsin αtan α＋sin α例3

求证：＝. tan α－sin αtan αsin α

tan2α－sin2

α证明

∵右边＝

tan α－sin αtan αsin αtan2α－tan2αcos2αtan2α1－cos2α＝＝

tan α－sin αtan αsin αtan α－sin αtan αsin αtan2αsin2αtan αsin α＝＝＝左边，

tan α－sin αtan αsin αtan α－sin α∴原等式成立. 反思与感悟

1.证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异，有目的的化简. 2.证明三角恒等式的基本原则：由繁到简. 3.常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证. 跟踪训练3

已知2cos4θ＋5cos2θ－7＝asin4θ＋bsin2θ＋c是恒等式.求a，b，c的值. 解

2cos4θ＋5cos2θ－7＝2－4sin2θ＋2sin4θ＋5－5sin2θ－7＝2sin4θ－9sin2θ，故a＝2，b＝－9，c＝0. 类型四

齐次式的求值问题

sin α＋cos α例4

已知＝2，计算下列各式的值. sin α－cos α3sin α－cos α(1)；

2sin α＋3cos α(2)sin2α－2sin αcos α＋1. sin α＋cos α解

由＝2，化简，得sin α＝3cos α，

sin α－cos α所以tan α＝3. 3×3cos α－cos α8cos α8(1)原式＝＝＝. 2×3cos α＋3cos α9cos α9sin2α－2sin αcos α(2)原式＝＋1 sin2α＋cos2αtan2α－2tan α32－2×313＝＋1＝2＋1＝. 210tanα＋13＋1反思与感悟

已知tan α的值，求关于sin α的齐次分式(sin α，cos α的次数相同)的值，可将求值式变为关于tan α的代数式，此方法亦称为“弦化切”.解决这类问题时，要注意式子1sin α＝sin2α＋cos2α及tan α＝的使用. cos α跟踪训练4

已知tan α＝2，求下列各式的值. 111(1)；(2)＋. sin αcos α1－sin α1＋sin αsin2α＋cos2αtan2α＋15解

(1)原式＝＝＝. sin αcos αtan α2

1＋sin α＋1－sin α(2)原式＝

1－sin α1＋sin α＝222

2＝1－sinαcosα2sin2α＋cos2α＝

cos2α＝2(tan2α＋1)＝10.

41.若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于(

) 54A.－

3答案

A 434解析

α为第二象限角，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. 5532.已知tan α，17是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两个实根，且3π＜α＜π，则cos αtan α23B.

4

3C.±

4

4D.±

3＋sin α的值为(

) A.2

B.－2

C.答案

B 1解析

∵tan α·＝k2－3＝1，

tan α7∴k＝±2，而3π＜α＜π，

2则tan α＋1＝k＝2，得tan α＝1，

tan α2，cos α＋sin α＝－2. 222

D.－

22则sin α＝cos α＝－23.已知A是三角形的一个内角，sin A＋cos A＝，则这个三角形是(

) 3A.锐角三角形

C.直角三角形

答案

B 24解析

∵sin A＋cos A＝，∴1＋2sin Acos A＝，

395∴sin Acos A＝－＜0，又∵A∈(0，π)，sin A＞0，

18

B.钝角三角形

D.等腰直角三角形

∴cos A＜0，A为钝角.故选B. 4sin θ－2cos θ64.已知＝，求下列各式的值. 3sin θ＋5cos θ115cos2θ(1)2；

sinθ＋2sin θcos θ－3cos2θ(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ. 4sin θ－2cos θ6解

由已知＝，

3sin θ＋5cos θ114tan θ－26∴＝，解得tan θ＝2. 3tan θ＋51155(1)原式＝2＝＝1. tanθ＋2tan θ－35(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ

sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ＝

sin2θ＋cos2θtan2θ－4tan θ＋31＝＝－. 251＋tanθ1－2sin αcos α1＋2sin αcos α5.化简：·. cos2α－sin2α1－2sin2αsin α－cos α2sin α＋cos α2解

原式＝·

cos2α－sin2αsin2α＋cos2α－2sin2αsin2α－cos2α2＝＝1，

cos2α－sin2αcos2α－sin2α∴原式＝1.

1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同sin 8α角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”.

cos 8α2.已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择.一般是先选用平方关系，再用商数关系.在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式. 3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值. 4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法. 5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：(1)“1”的代换；(2)减少

三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解. 一、选择题

1.化简1－sin2160°的结果是(

) A.cos 160°

B.±|cos 160°| C.±cos 160°

D.－cos 160°

答案

D 2.已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α等于(

A.－55

B.－15

C.－255

D.－45

答案

C 解析

∵α是第二象限角，∴cos α<0. 又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝sin α1cos α＝－2，

∴cos α＝－255. 函数y＝1－sin2x1－cos23.xcos x＋sin x的值域是(

) A.{0,2}

B.{－2,0} C.{－2,0,2}

D.{－2,2} 答案

C 解析

y＝|cos x||sin x|cos x＋sin x. 当x为第一象限角时，y＝2；

当x为第三象限角时，y＝－2；

当x为第二、四象限角时，y＝0. 4.如果满足条件sin θ＝k－3k＋5，cos θ＝4－2kk＋5，

则θ是(

) A.第二象限的角

B.第二或第四象限的角

)

C.第四象限的角

答案

B

D.第一或第三象限的角

解析

由sin2θ＋cos2θ＝1可得. 5.已知sin α－cos α＝－51，则tan α＋的值为(

) 2tan αA.－4

B.4

C.－8

D.8 答案

C 解析

tan α＋1sin αtan α＝cos α＋cos α1sin α＝sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－sin α－cos α22＝－18，

∴tan α＋1tan α＝－8. 6.已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(

A.－43

B.54

C.－34

D.45

答案

D 解析

sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ

sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θtan2＝sin2θ＋cos2θ＝θ＋tan θ－2tan2θ＋1，

又tan θ＝2，故原式＝4＋2－244＋1＝5. 7.tan x＋1tan xcos2x等于(

) A.tan x

B.sin x

C.cos x

D.1tan x

答案

D 解析

原式＝sin xcos x＋cos xsin x·cos2x

＝sin2x＋cos2x1cos xsin x·cos2x＝tan x. 二、填空题

8.已知sin α＋2cos αcos α＝1，则α在第________象限. 答案

二或四

解析

sin α＋2cos αcos α＝tan α＋2＝1，

)

tan α＝－1＜0，

∴α在第二或四象限. 9.已知α∈R，sin α＋2cos α＝1答案

3或－

3解析

因为sin α＋2cos α＝10，sin α＝－10联立解得310cos α＝，10故tan α＝10，又sin2α＋cos2α＝1，

210，sin α＝310或10cos α＝，1010，则tan α＝________. 2

sin α1＝－，或tan α＝3. cos α310.在△ABC中，2sin A＝3cos A，则角A＝________. π答案

3解析

由题意知cos A>0，即A为锐角. 将2sin A＝3cos A两边平方得2sin2A＝3cos A. ∴2cos2A＋3cos A－2＝0，

1π解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，∴A＝. 2311.已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________. 答案

－1 解析

由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2. 2sin αcos α－cos2α所以2sin αcos α－cosα＝＝

sin2α＋cos2α22tan α－1－4－1＝＝－1. tan2α＋14＋1三、解答题

2cos α－sin αcos αsin α12.求证：－＝. 1＋sin α1＋cos α1＋sin α＋cos αcos α1＋cos α－sin α1＋sin α证明

左边＝

1＋sin α1＋cos αcos2α－sin2α＋cos α－sin α＝

1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝

112cos α＋sin α＋sin α＋cos α＋22cos α－sin αcos α＋sin α＋1

2cos α－sin αcos α＋sin α＋1＝

sin α＋cos α＋12＝2cos α－sin α＝右边. 1＋sin α＋cos α∴原等式成立. 13.已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：

(1)m的值；

sin θcos θ1(2)＋的值(其中cot θ＝)；

tan θ1－cot θ1－tan θ(3)方程的两根及此时θ的值. 解

(1)由根与系数的关系可知，

sin θ＋cos θ＝3＋1，

2

①

②

sin θ·cos θ＝m.

2＋3将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝，

2所以sin θ·cos θ＝代入②得m＝3. 43，

4sin θcos θsin2θcos2θ(2)＋＝＋

1－cot θ1－tan θsin θ－cos θcos θ－sin θsin2θ－cos2θ3＋1＝＝sin θ＋cos θ＝. 2sin θ－cos θ(3)由(1)得m＝3331，所以原方程化为2x2－(3＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝. 4222所以1cos θ＝2ππ所以θ＝或. 36

3sin θ＝2

或3cos θ＝.21sin θ＝，2

又因为θ∈(0，π)，