二次根式的混合运算优质课教学设计

二次根式的概念

富顺县北湖实验学校：谭绍华

教学目标: 1.理解二次根式的概念；

2.掌握二次根式有意义的条件；

3.会利用二次根式的非负性解决相关问题. 重点:

理解二次根式的概念及有意义的条件

难点: 利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题. 教学过程：

自主学习

一、知识链接

1.什么叫作平方根？

2.什么叫作算术平方根？什么数有算术平方根？

二、新知预习

1. 用带根号的式子填空: (1)如图①的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为

m；若面积为S m2，则边长为______ m．

图

图

(2)如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间

t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系

h =5t2，如果用含有h 的式子表示

t ，那么t为_____．

2.自主归纳：

（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如aa____0的式子叫作二次根式. “____”称为二次根号. （2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为_________数.（即a：

a___0，且a______0.）

三、自学自测

1.下列各式中是二次根式的是（

）

3A.33

B.4

C.3

D.(1)

2.二次根式5x有意义的条件是_____________.

四、我的疑惑

____________________________________________________________ 课堂探究

一、要点探究

探究点1：二次根式的意义及有意义的条件

问题1

2，S，3，h分别表示什么意义？

5问题2

这些式子有什么共同特征？

要点归纳：一般地，我们把形如a(a0)的式子叫作二次根式. “典例精析例1

下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？

(1)32;

(2)6;

(3)12

;

(4)m(m0)

(5)xy(x,y异号);

(6)a21;

(7)35

方法总结:判断二次根式是，抓住二次根式两个必备特征：①外貌特征：含有“在特征：被开方数a≥0.

例2 (教材P2例1变式题)当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1) ”称为

.

”；②内x31； (2)； （3）x34x

x1x1

反馈：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)x332 (2)

（3）

（4）2x

2x－11－xx4

方法总结:要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. 【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)x22x1;(2)x22x3.

方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论. 针对训练

31.下列各式:3;5;a2;x1x≥1；27;x22x1一定是二次根式的个数有(

)

A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

2.(1)若式子x1在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________; 2

(2)若式子1x在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________. x223探究点2：二次根式的双重非负性

问题1：当x是怎样的实数时，x在实数范围内有意义？x呢？

问题2：二次根式a的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？

要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式a，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0；

（2）a表示一个数或式的算术平方根，可知a_____0. 2典例精析例3

若a2b3(c4)0，求a-b+c的值.

方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 例4

已知y=x33x8,求3x+2y的算术平方根.

【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b3a2a64，求此三角形的周长．

方法总结:若yaab，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.

针对训练已知|3x-y-1|和

2xy4互为相反数，求x+4y的平方根

二、课堂小结

二次根式的概念

二次根式有意义的条件

二次根式的非负性

一般地，我们把形如aa≥0的式子叫作___________. “”称为二次根号，根指数为_____,可省略. 被开方数（式）为_________,即双重非负性：a0,a0.

a有意义

a≥0. 当堂检测

1.下列式子中，不属于二次根式的是（

）

23x6aCD

2.式子有意义的条件是（

）A.x＞2

B.x≥2

C.x＜2

D.x≤2 3.当x=____时，二次根式4、（1）若 （2）若x1取最小值，其最小值为______．

有意义，则a的值为___________．

在实数范围内有意义，则为（ ）。

A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数

5、(1)在式子212x中，x的取值范围是____________. 1x (2)已知x42xy0，则xy___________. (3)已知

y3xx32,则y____________。 6、.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)a1；

(2)2a3;

(3)a;

(4)

7、利用a(a)2(a0),把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：

（1）9

（2）0

（3）0.25

（4）2.5

（5）8、(1)若二次根式

（2）、无论x取任何实数，代数式x6xm都有意义，求m的取值范围．

2x2

5a12

m2有意义，求m的取值范围．

2mm2

1y19.若x，y是实数，且y＜x11x

,求的值. 2y1

拓展提升

10、先阅读，后回答问题：

当x为何值时，xx1有意义？

解：由题意得x(x-1)≥0，由乘法法则得x≥0，x≤0，

或x1≥0，x1≤0，解得x≥1 或x≤0.即当x≥1 或x≤0时，xx1有意义. 体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，教学反思：

x2有意义？

2x1