方差的应用教学设计及教案分析

方差的应用

1.了解方差的定义和计算公式.

2.理解方差概念的产生和形成的过程.

3.会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小.

经历探索方差的应用过程,体会数据波动中的方差的求法,积累统计经验.

培养学生的统计意识,形成尊重事实、用数据说话的态度,认识数据处理的实际意义.

【重点】

方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题.

【难点】

理解方差公式,应用方差对数据波动情况的比较、判断.

【教师准备】

教学中所有的例题和图表资料.

【学生准备】

预习教材第124~127页内容.

导入一:

[过渡语]

我们常常用平均数、中位数来刻画数据的“平均水平”,但在有些情况下“平均水平”是不够的.请看下面的问题:

农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时,甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院最关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况,农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验,得到各试验田每公顷的产量(单位:t)如下表:

甲

7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙

7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49

根据这些数据估计,农科院应该选择哪种甜玉米种子呢?

学生想到计算它们的平均数.教师把学生分成两组分别用计算器计算这两组数据的平均数.(请两名同学到黑板板书)

追问:怎样估计这个地区这两种甜玉米的平均产量?这能说明甲、乙两种甜玉米一样好吗?

[设计意图]

让学生明确农科院应该选择哪种甜玉米种子,需关注平均产量.让学生明确可以用样本平均数估计总体平均数,发现甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大,但需选择哪种甜玉米种子,仅仅知道平均数是不够的.

导入二:

乒乓球的标准直径为40 mm,质检部门从A,B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只,对这些乒乓球的直径进行了检测,结果如下(单位:mm):

A厂:40.0,39.9,40.0,40.1,40.2,39.8,40.0,39.9,40.0,40.1;

B厂:39.8,40.2,39.8,40.2,39.9,40.1,39.8,40.2,39.8,40.2.

你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢?

(1)请你算一算它们的平均数和极差;

(2)是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准?

今天我们一起来探索这个问题.

[设计意图]

让学生明确可以用样本平均数估计总体平均数,发现当A,B两厂生产的乒乓球的直径的平均数相差不大时,要判断哪个厂生产的误差更小,仅仅知道平均数是不够的.

1.方差的意义

思路一

如何考察甜玉米产量的稳定性呢?请设计统计图直观地反映出甜玉米产量的分布情况.

教师引导学生用折线图或散点图反映数据的分布情况.

画出折线图或散点图后,小组讨论,得到甲种甜玉米的产量波动较大,乙种甜玉米的产量波动较小.

提问:从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢?

教师直接给出方差公式,并作分析和解释,波动大小指的是与平均数之间的差异,那么用每个数据与平均数的差完全平方后便可以反映出每个数据的波动大小.

教师引导学生思考:

设有n个数据x1,x2,…,xn,各数据与它们的平均数的差的平方分别是,,…,,我们用这些值的平均数,即用[(x1-)++…+]来衡量这组数据波动的大小,并把它叫做这组数据的方差,记作s.

22

教师说明:平方是为了在表示各数据与其平均数的偏离程度时,防止正偏差与负偏差的相互抵消.取各个数据与其平均数的差的绝对值也是一种衡量数据波动情况的统计量,但方差应用更广泛.整体的波动大小可以通过对每个数据的波动大小求平均值得到.

[设计意图]

让学生明白当两组数据的平均数相近时,为了更好地做出选择,需要去了解数据的波动大小,画折线图或散点图是描述数据波动大小的一种方法,进而引出如何用数值表示一组数据的波动.通过学生动手画图,观察体会数据的波动情况,在教师的引导下,感受新知,并在合作交流过程中,得出规律,获取新知识.

思路二

提问:根据教材124页的数据分析农科院应该选择哪种甜玉米种子呢?

学生考虑用学过的统计量,用中位数、众数、平均数来分析、比较,无明显区别,很难判定.

教师进一步引导学生看教材124页图,进行讲述:

甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.甲种玉米在试验田的产量波动较大,乙种甜玉米的产量集中地分布在平均产量附近.

算一算:

(1)把所有差相加;(2)把所有差取绝对值相加;(3)把这些差的平方相加.

学生计算后追问:你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况?

学生发现第(3)种方法更能反映数据的波动情况.

教师引导讲解方差的定义:

各个数据与平均数之差的平方的平均数叫做方差.

[设计意图]

通过问题探索,使学生深刻体会到数学来源于实践,又反过来作用于实践,不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣,而且培养了学生应用数学的意识.同时,让学生明白方差是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量.

2.方差的计算

思路一

教师引导学生根据方差的意义,得出方差计算公式:

s2=[++…+]

问题:利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度.

师生共同计算:

=≈0.011,

=≈0.002.

∵s甲>s乙,

22

∴这个地区比较适合种乙种甜玉米.

总结归纳:当数据分布比较分散时,各个数据与平均数的差的平方和较大,方差就较大;当数据与平均数的差的平方和较小,方差就较小.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.

[设计意图]

通过计算,应用公式,帮助学生进一步理解方差公式,让学生掌握方差可以反映一组数据的波动大小.

思路二

[过渡语]

方差是用来衡量一组数据的波动大小,那么方差如何计算呢?

根据方差的定义知道:设有n个数据x1,x2,…,xn,各数据与它们的平均数的差的平方分别是,,…,,则方差为s2=[(x1-)2++…+].

说明意义:在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.

[设计意图]

让学生明白方差是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量,并从方差公式中得到方差越大,数据的波动越大,方差越小,数据的波动越小.

[知识拓展]

(1)研究离散程度可用s;(2)方差变形公式:如果一组数据x1,x2,…,xn的平均数是,那么这组数据2的方差可用下面的公式计算:①s=[(++…+)-n],或写成s=(++…+)-;②s=[(x+x+…+x)-n'],其中2222x'1=x1-a,x'2=x2-a,…,x'n=xn-a,a是接近这组数据的平均数的一个常数.

3.例题讲解

(教材例1)在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》,参加表演的女演员的身高(单位: cm)如下表:

甲

163 164 164 165 165 166 166 167 乙

163 165 165 166 166 167 168 168

哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐?

教师引导学生分析:

(1)题目中“整齐”的含义是什么?学生通过思考可以回答出整齐即身高的波动小,所以要研究的是两组数据的波动大小,即求方差.

(2)在求方差之前先要求哪个统计量?(平均数)

(3)老师板书解题过程,学生和老师一起计算、判断、解决问题.

解:甲、乙两团演员的身高平均数分别是:

==165,

==166.

方差分别是:

==1.5,==2.5.

由<可知甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐.

[解题策略]

注意先算平均数,再算方差.

(教材例2)某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者的欢迎,现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿,两家鸡腿的价格相同,品质相近.快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿.检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个,记录它们的质量(单位:g)如下表所示.根据表中数据,你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿?

甲 74 74 75 74 76 73 76 73 76 75 78 77 74 72 73 乙 75 73 79 72 76 71 73 72 78 74 77 78 80 71 75

教师引导学生分析:

(1)题目中“选购”的标准是什么?学生通过思考可以回答出首先比较平均数,在平均数基本相同的时候,通过方差比较稳定性.

(2)老师板书解题过程,学生和老师一起计算、判断、解决问题.

解:检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取15个鸡腿分别组成一个样本,样本数据的平均数分别是:

=≈75,

=≈75.

样本数据的方差分别是:

=≈3,

=≈8.

由≈可知,两家加工厂的鸡腿质量大致相等;由<可知,甲加工厂的鸡腿质量更稳定,大小更均匀.因此,快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿.

[设计意图]

使学生明确利用方差计算的步骤,以及方差反映数据波动大小的规律,同时使学生深刻体会到数学来源于实践,又反过来作用于实践,不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣,而且培养了学生应用数学的意识.

师生一起回顾本节课所学的主要内容:

方差是衡量一组数据波动大小的特征数.

s2=[++…+].

本章是用方差比较两组数据的波动大小,值得注意的是,只有当两组数据的平均数相等或接近时,才能采用这种方法.

[设计意图]

引导学生回顾方差计算公式,并掌握方差的作用.

1.小李和小林练习射箭,射完10箭后两人的成绩如图所示,通常新手的成绩不太稳定,根据图中的信息,估计这两人中的新手是

.

解析:从图象上观察,小林的波动比较小,说明小林的成绩稳定;小李的波动比较大,说明小李的成绩不稳定,应该是一个新手.故填小李.

2.跳远运动员李刚对训练效果进行测试,6次跳远的成绩如下:7.6,7.8,7.7,7.8,8.0,7.9(单位:m),这6次成绩的平均数为7.8,方差为.如果李刚再跳两次,成绩分别为7.7,7.9,则李刚这8次跳远成绩的方差

.(填“变大”“不变”或“变小”)

解析:这8次成绩的平均数为7.8 m,根据方差公式计算s=<,所以李刚8次跳远成绩的方差变小了.故填变2小.

3.甲、乙两种水稻实验品种连续5年的平均单位面积产量如下表(单位:吨/公顷):

品种

第1年

第2年

第3年

第4年

第5年

甲

9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙

9.4 10.3 10.8 9.7 9.8

经计算,=10, =10,试根据这组数据估计

种水稻品种的产量比较稳定.

解析:因为=10,=10,=×[(9.8-10)+(9.9-10)+(10.1-10)+(10-10)+(10.2-10)]=0.02,=×[(9.4-10)+(10.3-10)+(10.8-10)22222222+(9.7-10)+(9.8-10)]=0.244,所以甲种水稻品种的产量比较稳定.故填甲.

22

[设计意图]

再次强化方差的定义和应用范围,让学生进一步体会“知识来源于实践”,同时学生的思路得以拓展.

20.2

数据的波动程度

1.方差的意义

2.方差的计算

3.例题讲解

例1

例2

一、教材作业

【必做题】

教材第126页练习第1,2题;教材第127页练习题;教材第128页习题20.2第1,2题.

【必做题】

教材第128页习题20.2第3,4题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次,每人的平均成绩都是9.3环,方差如下表:

选手

甲

乙

丙

丁

方差

0.035 0.016 0.022 0.025 则这四人中成绩发挥最稳定的是

(

)

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

2.数据4,2,6的中位数和方差分别是

(

)

A.2,

B.4,4

C.4,

D.4,

3.(2015·遵义中考)如果一组数据x1,x2,…,xn的方差是4,则另一组数据x1+3,x2+3,…,xn+3的方差是

(

)

A.4

B.7

C.8

D.19 【能力提升】

224.已知甲、乙两组数据的平均数相等,若甲组数据的方差s甲=0.055,乙组数据的方差s乙=0.105,则

组数据波动较大.

5.如图所示的是甲、乙两人在一次射击比赛中击中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环,靶中各数字表示该数所在圆环被击中所得的环数),每人射击了6次.

(1)请用列表法将他们的射击成绩统计出来;

(2)请你用学过的统计知识,对他们的这次射击情况进行比较.

【拓展探究】

6.为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛,现对他们进行一次测验,两个人在相同条件下各射靶10次,为了比较两人的成绩,制作了如下统计图表.

甲、乙射击成绩统计表

平均数

中位数

方差

命中10环的次数

甲

7

0 乙

1 甲、乙射击成绩折线图

(1)请补全上述图表;

(2)如果规定成绩较稳定者胜出,你认为谁应胜出?说明你的理由.

(3)如果希望(2)中的另一名选手胜出,根据图表中的信息,应该制定怎样的评判规则?为什么?

【答案与解析】

1.B(解析:方差越小越稳定,0.016<0.022<0.025<0.035,所以乙发挥最稳定.)

2.C(解析:从小到大排列为2,4,6,中位数是4,因为平均数是(2+4+6)÷3=4,所以方差为×[(2-4)+(4-4)+(6-4)]=.)

2223.A(解析:设一组数据x1,x2,…,xn的平均数为,则方差为s=[(x1-)+(x2-)+…+(xn-)]=4;而另一组数据2222x1+3,x2+3,…,xn+3的平均数是+3,此时相应的方差为s'2={[(x1+3)-(+3)]2+[(x2+3)-(+3)]2+…+[(xn+3)-(+3)]}=[(x1-)+(x2-)+…+(xn-)]=4.故选A.)

22224.乙(解析:∵=0.055,=0.105,∴<,故乙组数据波动较大.)

5.解:(1)列表如下:

环数

6 7 8 9 10 甲命中环数的次数

0 0 2 2 2 乙命中环数的次数

0 1 0 3 2 (2)=9环, =9环,=,=1.因为=,<,所以甲与乙的平均成绩相同,但甲发挥得比乙稳定.

6.解:(1)根据折线统计图得乙的射击成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,则平均数为=7(环),中位数为7.5环,方差为×[(2-7)+(4-7)+(6-7)+(8-7)+(7-7)+(7-7)+(8-7)+(9-7)+(9-7)+(10-7)]=5.4;甲的射击成绩为22222222229,6,7,6,2,7,7,?,8,9,平均数为7环,则甲第八次成绩为70-(9+6+7+6+2+7+7+8+9)=9(环),所以甲的10次成绩为9,6,7,6,2,7,7,9,8,9.中位数为7环,方差为×[(9-7)+(6-7)+(7-7)+(6-7)+(2-7)+(7-7)+(7-7)+(9-7)+(8-7)+(9-7)]=4,补全表格如下:

2222222222

平均数

中位数

方差

命中10环的次数

甲

7 7 4 0 乙

7 7.5 5.4 1

(2)甲的方差小于乙的方差,甲比较稳定,故甲胜出.

(3)如果希望乙胜出,应该制定的评判规则为:平均成绩高的胜出;如果平均成绩相同,则随着比赛的进行,发挥越来越好者或命中满环(10环)次数多者胜出.因为甲、乙的平均成绩相同,乙只有第5次射击比第4次射击少命中1环,且命中1次10环,而甲第2次比第1次、第4次比第3次、第5次比第4次、第9次比第8次命中环数都低,且命中10环的次数为0次,即随着比赛的进行,乙的射击成绩越来越好.