构建知识体系优质公开课教案

拓

展

资

源

一、知识的拓广延伸及相关史料

1．余弦定理与勾股定理

如图１，在△ABC中，AD是高，在直角三角形ABD中，AD=c·sinB,BD= c·cosB,在直角三角形ADC中，b2 =（c·sinB）2+（

A - c·cosB）2

，即：b2= A2+c2-2 Ac·cosB. (1)

当90° A2 +c2

；

A(2)

当B=90°时，

b2= A2 +c2；

(3) 当0°

b2

．

2．勾股数组

BDC图１

（1）

观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……发现这些勾都是奇数，且从3起没11有间断过．当n为奇数且n≥3时，勾、股、弦的代数式分别为n，

（n2-1），

（n2+1）．

22（2）观察：4，3，

5；6，8，10；8，15，17；……发现各组第一个都是偶数，且从4起nn也没有间断过．当n为偶数且n＞4时，勾、股、弦的代数式分别为n，(

)2-1，(

)2+1．

223.勾股定理的由来

为纪念二千五百年前一个学派和宗教团体——毕达哥拉斯学派成立以及它在文化上的贡献，

1955年，希腊发行了一张邮票，图案由三个棋盘排列而成．这个图案是对数学上一个非常重要定理的说明．在我国，人们称它为勾股定理或商高定理；在欧洲，人们称它为毕达哥拉斯定理．为什么一个定理有这么多名称呢？

商高是公元前十一世纪的中国人．当时中国的朝代是西周，处于奴隶社会时期．在中国古代大约是西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话．周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度．”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高说：“故折矩以为勾广三，股修四，经隅五．”即我们常说的勾三股四弦五．什么是“勾、股”呢？在中国古代，图2 人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”．商高答话的意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5．以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”．

关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也．”“此数”指的是“勾三股四弦五”，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的．

欧洲人则称这个定理为毕达哥拉斯定理．毕达哥拉斯（PythAgorAs）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人．希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”．并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺．因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”．所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了．

尽管希腊人称勾股定理为毕达哥拉斯定理或“百牛定理”，法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”，但据推算，他们发现勾股定理的时间都比我国晚．我国是世界上最早发现勾股定理这一几何宝藏的国家！

4．对勾股定理进行证明

在中国，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．最早的形式见于公元3世纪吴国人赵爽(字君卿)所著《勾股圆方图注》．在这篇短文中，赵爽用割补法画了一张所谓的“弦图”，其中每一个直角三角形称为“朱实”，中间的一个小正方形叫“中黄实”，以弦为边的正方形ABEF叫“弦实”．由于四个朱实加上一个中黄实就等于弦实.这个证法通过图形的分割、移补，精辟地总结了我国东汉以前在勾股定理方面的光辉成就．

赵爽的证法与印度数学家婆斯伽罗在公元1150年的证法相似，婆氏也曾作出类似的图形．

世界上对勾股定理的证明方法很多，1940年有人出了一本勾股定理证明专集，其中收集了365种证法，当然，证法还不止这些．

勾股定理以其简单、优美的形式，丰富、深刻的内容，充分反映了自然界的和谐关系．人们就这样对勾股定理一直保持着极高的热情．

5．勾股定理的应用

勾股定理是一条古老而又应用十分广泛的定理．

（1）在代数研究上取得的成就

例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率．

据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差．

公元1世纪，我国数学著作《九章算术》中记载了一种求整勾股数组的法则：任意给定两11个正整数m，n(m＞n)，那么

(m2-n2),mn,

(m2+n2)这三个正整数就是一个整勾股数组．用代22数方法很容易证明这一结论．公元3世纪，我国著名数学家刘徽从几何上也证明了这一结论．

不难证明，如果上述m，n(m＞n)，是互质的奇数，那么用《九章算术》中的法则可以求出所有两两互质的整勾股数组．这也是我们中国古代数学家的一项杰出成就．

有趣的是：除了三元二次方程x2 + y2 =z2（其中x、y、z都是未知数）有正整数解以外，其他的三元n次方程xn + yn =zn（n为已知正整数，且n＞2）都不可能有正整数解．这一定理叫做费尔马大定理（费尔马是17世纪法国数学家）．

太阳距离我们有多远呢？这对于近代人来说，是一个常识性的问题；但对古代人而言，它却是个谜．为了解开这个谜，古代科学家进行了一次又一次探测．

据公元前一世纪成书的《周髀算经》记载，我国古代杰出的数学家陈子（公元前6-7世纪）对太阳的高和远进行了测量，这就是人们所乐于称道的“陈子测日”．他的测量方法原理如图所示．

其中，S表示太阳，I表示日下点，AC和DF均表示髀，即测量用的标杆．C、F、I在同一直线上．b是髀竖立在F处的影长，A+b是髀竖立在C处的影长．髀长h是已知的，A、b、d均可实际量出．

由

△SHD∽△ACG, △SDA∽△AGB，有

图3

于是，便可求出太阳S到日下点I的距离，即日高SI；并且，还可求出髀DF到太阳日下点I的距离FI．

但是，由于陈子受当时科学水平的限制，误把椭球形的地球当图4 作平面．所以，求出的日高与实际距离相差很远．然而，他的测日法所反映的数学及测量水平却是在世界上遥遥领先的，而且他的测量方法（后来叫做重差术）至今仍被使用着．所以，人们称陈子为测量学之祖，毫不为过．

求得了日高及髀到日下点的距离之后，髀到太阳的距离即日远，陈子是怎样计算的呢？据

《周髀算经》记载，有一次荣方和陈子问答，陈子说：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并开方而除之，得邪至日者．”（古汉语“邪”也作“斜”解）就是说，将勾、股各平方后相加，再开方，就得到弦长（图2）．陈子的这段话，不仅解决了日远的计算问题，而且还最早表述了勾股定理．这充分证明，我国至迟在陈子所处年代，已经发现并运用了勾股定理．

由此可见，你是否想到过，我们的祖先发现勾股定理，不是一蹴而就，而是经历了漫长的岁月，走过了一个由特殊到一般的过程．

（2）宇宙探索

几十年前，有些科学家从天文望远镜中看到火星上有些地区的颜色有些季节性的变化，又看到火星上有运河模样的线条，于是就猜想火星上有高度智慧的生物存在．当时还没有宇宙飞船，怎样和这些智慧生物取得联系呢？有人就想到，中国、希腊、埃及处在地球的不同地区，但是他们都很早并且独立的发现了勾股定理．科学家们由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的话，他们也许最早知道勾股定理．火星是否有高度智慧生物？现在已被基本否定，可是人类并没有打消与地球以外生物取得联系的努力,怎样跟他们联系呢？用文字和语言他们都不一定能懂．因此，我国已故著名数学家华罗庚曾建议：让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为3：4：5的直角三角形．两千年前发现的勾股定理，现在在探索宇宙奥秘的过程中仍然可以发挥作用．

看来，勾股定理不仅仅是数学问题，不仅仅是反映直角三角形三边关系，她已成为人类文明的象征，她已成为人类智慧的标志！她是人们文化素养中不可或缺的一部分，不懂勾股定理你就不是现代文明人！

6. 勾股定理与第一次数学危机

在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯．毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家．他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派．由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石．而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰．然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”．毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示．希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生．小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴．它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌．实际上，这一伟大

发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击．对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击．这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数．这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了．更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法．这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”．

二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论．他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中．欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机．但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的．这就生硬地把数和量肢解开来．在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的．或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数．一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来．到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根．无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机．

7. 四维的勾股定理

平方后等于负1的数称为虚数，用i表示．i的3倍记为3i、7倍记为7i，它们都是虚数．1与－1的平方都是1，平方为－1的数原本是没有的，虚数是在‘如果有的话’的前提下提出的概念．由实数和虚数组合成的数叫做复数，复变函数是专门研究复数的数学分支．假设在宇宙的最初（如同霍金所提倡的）时间是虚数，

由于加速度为距离除以时间的平方，所以当时间为虚数时，力的符号变为负（反方向）．难以逾越的高墙反过来变成了深深的堑壕，在力学上势能（位置能）的符号发生了变化，封闭着能量的口袋在一瞬间消失，从而揭开了宇宙大爆炸的序幕，在此瞬间里时间由虚变实，变成了通常的膨胀．

关于大爆炸以前的虚时间难于讲解，示意图也画不出来的，普通的时间尚无法看见，更别提看见虚时间了．我们的意识在一定程度上能够推定时间的经过，如果这时间是虚时间的话将

会怎样呢？谁也说不出来．霍金为了避开奇点用数学公式表示了时间的连续性，但是他却回避不了大爆炸前的虚时间．

虚时间的提出，消除了宇宙创生于奇点的困惑．接下来，笔者用比较易懂的狭义相对论的公式，再对虚时间进行一些讲解．

狭义相对论认为，光速是不变的，长度及时间随测量方法的不同而不同，时间与长度具有同等的资格．因此狭义相对论的公式是四维公式．

设x、y、z为三维空间坐标的互相垂直的三个轴，t为时间．为了使时间成为用长度表示的维，把时间与光速c的乘积ct作为代表第四维的轴．假定光从A点出发沿直线（按狭义相对论观点）到达B点，所需时间为t，则AB间的直线距离为ct．一般地说，时间轴与x、y、z轴中的任何一个轴都不是互相垂直的，长度ct中含有各个轴的成份，光走过的距离ct相当于以x、y、z为三边的立方体的对角线之长，满足三维勾股定理（如图），（ct）2=x2+y2+z2．也可以写成

-（ct）2+x2+y2+z2=0．

如果将相对论的时间记述为三维空间里的一维时间的话，-（ct）2与x2、y2、z2之和总应该为零．请注意：在数学处理上必须不带任何区别地看待时间与空间．四维几

何学很难用我们的常识去理解，在四维几何学里从一开始就把ct作为一个独立的坐标，而不是光传播于x、y、z三维空间里……．四维空间中的距离并不一定为零，而是一个定数，四个维的平方之和表示四维超立方体对角线的平方（称为扩张的勾股定理），即在四维几何学中，时间与空间之间存在下述关系：

-（ct）2+x2+y2+z2=（常数）=S2 ，S是个定值，与光从A到B的过程有关．

图5 这个公式是四维时空间里的物理学公式．在原来的勾股定理中，各边的平方均为正值，只有与时空间有关的时间项的平方为负值，也就是把-（ct）2看作是加上一个负的项．

二、拓展性问题

1. 如图6，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离为2千米和7千米，且张、李二村庄相距13千米．

（1）水泵应修建在什么地方，可使所用的水管最短；请你在图中设计出水泵站的位置；

（2）如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为使铺设水管A'ACB图6

费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？

【答案与提示】（1）、设张村、李庄分别为点A、点B，河边为直线l.作点A关于河边所在直线l的对称点A'，连结A'B交l于P，则点P为水泵站的位置，此时，PA+PB的长度之和最短，即所铺设水管最短．（2）、过B点作l的垂线，过A'作l的平行线，设这两线交于点C，则∠C=90°．又过A作AE⊥BC于E，依题意BE=5，AB=13，∴

AE2=AB2－BE2=132－52=144．∴

AE=12．由平移关系，A'C=AE=12，Rt△B A'C中，∵ BC=7+2=9，A'C=12，∴ A'B2=A'C2+BC2=92+122=225 ，

∴ A'B=15．∵ PA=PA'，∴ PA+PB=A'B=15．∴

1500×15=22500（元）．答：略．

2. 如图7,是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面从A爬到B点的最短路程是______.

A 20 dm 20

15

A 15 dm 图7

B B 【答案与提示】将以阶面展开成长为20 dm，宽为15 dm的长方形，则A、B间的最短距离即为直角三角形的斜边AB的长.所以AB=25 dm. 3. 在一个圆柱形的石凳子上，有一位小朋友吃东西留下一点食物在Ｂ处，恰好一只机智的小蚂蚁路过Ａ处（Ａ在Ｂ的对面），它的触角准确的捕捉到了这个信息，于是它迫不及待地想从Ａ爬到Ｂ（如图8），聪明的同学们，你们想想，蚂蚁怎样爬最近呢？

【答案与提示】这只蚂蚁从Ａ到Ｂ列若将圆柱体的侧面沿ＡＡ＇前开，再展开举了四种途径，发现前三种都图8 是折线，只有第四种从Ａ到Ｂ是一条线段，根据＂两点间线段最短＂可知蚂蚁沿第Ⅳ种路径最近．

4．于公元1世纪成书的我国数学经典著作《九章算术》第一章第6题是：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”该题称为“引葭赴岸”问题．公元12世纪，印度著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中将该题编成一首诗歌，在中东和西欧国家广泛流传，成为著名的“莲花问题”，该诗为：平平湖水清可鉴，面上半尺生红蓬；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位两尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？

【答案与提示】设水深为x尺，则茎秆为(x0.5)尺，由勾股定理，得x222(x0.5)2．解得x3，即湖水深3343尺．

45．如图9，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60O方向移动．距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响．（供选用数据：21.4，31.7．）

（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由．

（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？

【答案与提示】如图9，（1）过点B作BD⊥AC于D，则BD=11AB=×20×16=160<200，故B处会受到台风的影响．（2）在直线AC上22BE2BD2120，所以AE=AD-DE= 图9 取两点E、F，使BE=BF=200，则DE=．又32021602120=1603120（海里）卸完货物．

16031203.8（小时），故该船应在3.8小时内40