3. 简谐运动的图像和公式教学目标设计

3. 简谐运动的图像和公式

回顾图象知识引入新课

同学们知道，物体的运动规律可以用数学图象来描述，你们能说出那些运动图象？

学生讨论后回答：位移图象、速度图象。

引导学生说出匀速直线运动的位移s=vt,其图象是一条过原点的

直线；初速度为零的匀加速直线运动的位移s=at2/2，其图象是一条过原点的抛物线如图1所示；匀速直线运动的速度不变，图象是一条平行时间轴的直线；初速度为零的匀加速直线运动的速度vt=at, 其图象是一条过原点的直线.(教师可在黑板上画出相应的图象或让学生到黑板上画出来) 提问——在图1中x-t图象是抛物线，其图象的横纵坐标、原点分别表示什么？物体运动的轨迹是什么？——答：横轴表示时间；纵轴表示位移；坐标原点表示计时、位移起点。物体运动的轨迹是直线。因此大家要注意区分图象与轨迹。

虽然简谐运动是较复杂的机械运动，其运动规律也可以用图象表示。本节课我们来讨论简谐运动的图象。

【板书】：简谐运动的图象

演示一：下面的木板不动，让砂摆振动。

让学生观察现象：

1．砂在木板上来回划出一条直线，说明振动物体仅仅只在平衡位置两侧来回运动，但由于各个不同时刻的位移在木板上留下的痕迹相互重叠而呈现为一条直线。

2．砂子堆砌在一条直线上，堆砌的沙子堆，它的纵剖面是矩形吗？

学生答：砂子不是均匀分布的，中央部分（即平衡位置处）堆的少，在摆的两个静止点下方，砂子堆的多（如图2），因为摆在平衡位置运动的最快。

讲解：质点做的是直线运动，但它每时刻的位移都有所不同。如何将不同时刻的位移分别显示出来呢？

演示二：让砂摆振动，同时沿着与振动垂直的方向匀速拉动摆下的长木板（即平板匀速抽动实验，如图3所示）。

让学生观察现象：原先成一条直线的痕迹展开成一条曲线。

讨论图线：（请同学们相互讨论）

（1）

图线的x、y轴（横、纵坐标）分别表示什么物理量？

（2）

曲线是不是质点的运动轨迹？质点做的是什么运动？

（3）

图象的物理意义是什么？

（4）

这条图线的特点是什么？

请同学回答，并讨论得出正确结果。

【板书】：一、简谐运动图象

1．图象（如图4）。

2．x-t图线是一条质点做简谐运动时，位移随时间变化的图象。

3．振动图象的横坐标表示的是时间t，因此，它不是质点运动的轨迹，质点只是

在平衡位置的两侧来回做直线运动。

4．振动图象是正弦曲线还是余弦曲线，这决定于t=0时刻的选择。（提醒学生注意，t=T/4处，位移x最大，此时位移数值为振幅A，在t=T/8处，X=2A0.707A半2周期的简谐运动曲线，不是半圆——强调图线为正弦曲线。）

【板书】：二、简谐运动图象描述振动的物理量

通过图5振动图象，让同学回答直接描述量。

答：振幅为5cm，周期为4s，及t=1s，x=5cm，t=4s，x=0等。

【板书】：1．直接描述量：

①振幅A；②周期T；③任意时刻的位移t。

【板书】：2．间接描述量：（请学生总结回答）

③x-t图线上一点的切线的斜率等于V。

例：求出上图振动物体的振动频率，角频率及t=5s时的瞬时速度。（请同学计算并回答）

【板书】：三、从振动图象中的x分析有关物理量（v，a，F）

简谐运动的特点是周期性。在回复力的作用下，物体的运动在空间上有往复性，即在平衡位置附近做往复的变加速（或变减速）运动；在时间上有周期性，即每经过一定时间，运动就要重复一次。我们能否利用振动图象来判断质点x，F，v，a的变化，它们变化的周期虽相等，但变化步调不同，只有真正理解振动图象的物理意义，才能进一步判断质点的运动情况。

例：图6所示为一单摆的振动图象。

分析：①求A，f，ω；②求t=0时刻，单摆的位置；③若规定单摆以偏离平衡位置向右为+，求图中O，A，B，C，D各对应振动过程中的位置；④t=1.5s，对质点的x，F，v，a进行分析。请几位同学分别回答四个问题。

①由振动图象知A=3cm，T=2s，f=0。

②t=0时刻从振动图象看，x=0，质点正摆在E点即将向G方向运动。

③振动图象中的O，B，D三时刻，x=0，都在E位置，A为正的最大位移处，即G处，C为负的最大位移处，即F处。

④t=1.5s，x=-3cm，由F=-kx，F与X反向，F∝X，由回复力F为正的最大值，a∝F，并与F同向，所以a为正的最大值，C点切线的斜率为零，速度为零。

由F= -kx，F=ma，分析可知：

1．x＞0，

F＜0，

a＜0；x＜0，

F＞0，

a＞0。

2．x-t图线上一点切线的斜率等于v；v-t图线上一点切线的斜率等于a。

3．x，v，a的变化周期都相等，但它们变化的步调不同。

*可分别做出v-t和a-t的图象为余弦和反正弦函数。及v为S-t图的斜率，而a为v-t图的斜率。

【板书】：简谐运动的公式

如图的函数规律为正弦函数，请大家写出它的表达式——x=Asinθ，其中一个t22=θ；因此有x=Asin（t）。这样不太好理解，TT2为什么会出现角度这个物理量。而又代表什么呢？

T周期时对应θ=2π，则t时对应

我们来观察一个现象——计算机模拟圆周运动和弹簧振子的对比课件。请大家说说这样的现象表明了什么？

这一现象说明匀速圆周运动正交分解后可以看作是两个互相垂直的同频率、同振幅的简谐运动的合成。根据参数方程的知识，可以知道对于圆方程X2Y2R2（我们令R=A），可以写成XAsin(0)和yAcos(0)其中0表示起始计时时质点与圆心连线离X轴的夹角，而t则表示从计时开始到t时刻中质点转过的角度。而2为圆的角速度。我们知道分运动与合运动具有同时性。所以二者的周期是T一样的。因此我们用XAsin(0t)可以表示简谐运动的规律。其中的是我们从圆周运动中借来用的，所以又叫做角频率，而角度0t能揭示振动物体所处的位置，所以叫做相位；而0是刚开始计时时的初始位置，因此又叫做初相位。

*匀速圆周运动的两个分运动之间相差的初位相。如果位相一致或相差其他角2度，则合成的就不是圆周运动了，大家课后可以讨论一下它们合成的各种情形。

3．课堂小结

（1）简谐运动的图象表示做简谐运动的质点的位移随时间变化的关系，是一条正弦（或余弦曲线）曲线，不是质点运动的轨迹。

（2）从振动图象可以看出质点的振幅、周期以及它在任意时刻的位移。可以得出X随时间变化的公式。

（3）凡与位移x有关的物理量（速度v，加速度a，回复力F等）都可按位移x展开，均可在图象上得到间接描述，为进一步分析质点在某段时间内的运动情况奠定基础。