2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示名师教学设计2

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3

平面向量的坐标运算

学习目标

1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.

自学教材 P94~96 知识点一

平面向量的正交分解

思考

如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

思考:

什么是平面向量基本定理？

知识点二

平面向量的坐标表示

思考1

如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?

思考2

在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？

基础知识梳理

(1)正交分解

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。 比如：物理中，光滑斜面上木块受重力G的作用 （2）平面向量的坐标

①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y). ②在平面直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).

(3)点的坐标与向量坐标的区别和联系

表示形式向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号

不同

区别

意义不同

点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系

（4）平面向量坐标运算法则

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

向量加法

数学公式

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 文字语言表述

两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和

两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同

向量减法

a－b＝(x1－x2，y1－y2) 向量数乘

λa＝________

（5）、起点终点表示向量坐标

→已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量AB＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.

类型一

平面向量的坐标表示

，

，

，并求例1.如图，取与x,y轴同向的两个单位向量

,作为基底，分别用

表示 他们的坐标。

跟踪训练1

如图，分别用基底i,

j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标.

类型二

平面向量的坐标运算

例2

已知a＝(-1,2)，b＝(3,-5)，求a＋b，a－b,3a，3a＋4b的坐标．

跟踪演练1

已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：

11(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 23解

(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．

(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．

1111(3)a－b＝(－1,2)－(2,1) 232312172－，1－，＝－，. ＝23363跟踪训练2

已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：

11(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 23

类型三

平面向量坐标运算的应用

例3: 已知平行四边形ABCD的三个顶点A, B, C的坐标分别

为(-2, 1), (-1, 3), (3, 4),求第四个顶点D的坐标.

跟踪训练:已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标.

课后思考：

→→→已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10).若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时：

(1)点P在第一、三象限的角平分线上；

(2)点P在第三象限内.

1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：

2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．

3．向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．