复习参考题名师教学视频（文字实录）

平面向量的数量积及应用

【基本知识点回顾】

1、

向量的数量积的概念

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与b的数量积.规定：零向量与任一向量的数量积为_____ 对于两个非零向量a和b，作OAa，OBb，则AOB

(0。180。)叫做a和b的夹角。。(1)当0时，a和b_____;当180，a和b_____;(2)当90。时，称a和b_____,记作______2、向量的夹角3、向量数量积的性质1当a和b同向时，ab______2当a和b反向时，ab______

3当aaa，或a_______24当ab_________4、向量数量积的坐标表示设向量ax1，y1，bx2，y2（1）ab_________（2）a________,a________2

（3）向量a和b的夹角为，则cos________（4）ab___________（5）a//b___________

类型一：向量数量积的运算

例1：已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为θ. (1)若a∥b，求a·b；

(2)若a－b与a垂直，求θ.

变式：已知|a|=5，|b|=4，a 与b的夹角为12错误！未找到引用源。，求：

1错误！未找到引用源。 ○2错误！未找到引用源。 ○3错误！未找到引用源。-错○误！未找到引用源。

； ○4（2a-b）错误！未找到引用源。（a+3b）

类型二：向量模的运算

例：已知ab4，向量a和b的夹角是3，求ab，a-b

4

变式：1、已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝1，|2a＋b|＝7，则|b|＝________ 2、已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝________ 3、已知a＝(1，－2)，b＝(x,2)，且a∥b，则|b|＝________ 4、△ABC中,|AB|=5,|AC|=8,AB·AC=20,则|BC|为 类型三：平面向量数量积解决夹角问题

11例1、已知a1，ab，(ab)(ab)，求：22

（1）a与b的夹角的大小;(2)ab与ab夹角的余弦值

练习巩固：

1a1，b2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为（）A、300 B、1200 D、600 C、1500

2已知a1，b2，且a(ab)，则向量a与b的夹角是_______.

3已知向量a(sin,1),b(1,cos)，且

22(1).若ab,求 （2）.求ab的最大值

类型四：数量积的坐标表示及运算

1、已知向量a＝(3，4)，b＝(x，1)，且(a＋b)·b＝|a|，则实数x＝________ 2、设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________ 3、在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，

AD＝(2,1)，则AD·AC＝___________ 例1．已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)．

(1)若BC∥DA，求x与y之间的关系式；

(2)在(1)条件下，若AC⊥BD，求x，y的值及四边形ABCD的面积

例2：已知：a

、b、c是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）

（1）若|c|25，且c//a，求c的坐标；

（2）若|b|=5,且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角. 2

类型五：平面向量的综合运用

例1：已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－3sin 2x)，b＝(cos x,1)(x∈R)．

(1)求f(x)的周期和单调递减区间；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，AB·AC＝3，求边长b和c的值(b>c)．

例2：已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，

(1)求a与b的夹角θ；

(2)求|a＋b|；

→→(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．

例3.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，

n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．

(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；

π(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．

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