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三角函数图像与性质

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1y--2-32-2o3222523724x

y=cosx-4-72-5-321-1o2322523724x

yy=tanx-32--2o232x

2．三角函数的单调区间：

ysinx的递增区间是2k，2k223(kZ)；

2k，2k22(kZ)，递减区间是ycosx的递增区间是2k，2k(kZ)，递减区间是2k，2k(kZ)，

ytanx的递增区间是k，k(kZ)，

22（其中A0，0）3．函数yAsin(x)B

最大值是AB，最小值是BA，周期是T2相是；其图象的对称轴是直线xk(kZ)，凡是该图象与直线yB的交点2都是该图象的对称中心。

，频率是f，相位是x，初2

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4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换 (伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的(＜0＝平移1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右||个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：

给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。

．．6．对称轴与对称中心：

，0）作ysinx的对称轴为xk，对称中心为(k,0) kZ；

2ycosx的对称轴为xk，对称中心为(k；

2,0)对于yAsin(x)和yAcos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

8．求三角函数的周期的常用方法：

经过恒等变形化成“yAsin(x)、yAcos(x)”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：

五点取法是设x=ωx+，由x取0、作图。

- 2 - π3π、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点22

四．典例解析

题型1：三角函数的图象

例1．函数y＝－xcosx的部分图象是（ ）

解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，）时，y＝－xcosx＜0。答案为D。

2题型2：三角函数图象的变换

例2．试述如何由y=sin（2x+解析：y=sin（2x+π）的图象得到y=sinx的图象。

3π）

31π2倍

横坐标扩大为原来的ysin（x）纵坐标不变33π图象向右平移个单位13ysinx

纵坐标不变33倍纵坐标扩大到原来的ysinx

横坐标不变

例3．把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移到的曲线方程是（ ）

A．（1－y）sinx+2y－3=0

C．（y+1）sinx+2y+1=0

2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得

B．（y－1）sinx+2y－3=0 D．－(y+1)sinx+2y+1=0 - 3 -

解析：将原方程整理为：y=1，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和122cosx1个单位，因此可得y=2cos(x)2点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－－1为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0. 2）+2（y+1）－1=0，即得C选项。

题型3：三角函数图象的应用

例4．已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=3与函数f（x）图象的所有交点的坐标。

解析：根据图象得A=2，T=1x7π－（－）=4π，∴ω=，∴y=2sin（+），

2222，∴－又由图象可得相位移为－2=－122，∴=1.即y=2sin（x+）。

244根据条件1112（x），∴x=2kπ+(k∈Z)或x=2kπ+π（k∈Z），

3=2sin33242424∴x=4kπ+6（k∈Z）或x=4kπ+5π（k∈Z）。

65,3）（k∈Z）。点评：本题主要考查三角6∴所有交点坐标为（4kπ+6,3）或（4kπ+函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。

题型4：三角函数的定义域、值域

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例5．（1）已知f（x）的定义域为0，1］，求f（cosx）的定义域；

（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；

分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。

点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。

题型5：三角函数的单调性

例6．求下列函数的单调区间：

（1）y=π2xπ1sin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。

44322ππ1sin（x－）再求之。（2）可画出y=－|sin（x+）|3442分析：（1）要将原函数化为y=－的图象。解：（1）y=故由2kπ－由2kπ+π2x2xπ11sin（－）=－sin（－）。

443322π2xππ3π9π≤－≤2kπ+。3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调减区间；242388π2xπ3π9π21π≤－≤2kπ+。3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），为单调增区间。243288∴递减区间为3kπ－递增区间为3kπ+（2）y=－|sin（x+3π9π，3kπ+］，

889π21π，3kπ+］（k∈Z）。

88ππ3πππ）|的图象的增区间为kπ+，kπ+］，减区间为kπ－，kπ+］。

44444-5434-4-yo4345474x

题型6：三角函数的奇偶性

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例7．关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题：

①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；

②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；

③存在，使f（x）是奇函数；

④对任意的，f（x）都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立。

答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z）

22点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k∈Z不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。

题型7：三角函数的周期性

例8．设f(x)asinxbcosx(0)的周期T，最大值f(（1）求、、的值；

（2）若、、为方程f(x)0的两根，、、终边不共线，求tan()的值。

解析：(1) f(x)12)4，

a2b2sin(x)，

T，

2，

又

f(x)的最大值。f(12)4，

4a2b2 ① ，且

4asin22bcos1212②，由

①、②解出 a=2 , b=3. (2) f(x)2sin2x23cos2x4sin(2x3

)，

f()f()0，

24sin(223)4sin(23)，

32k23，或32k(23)，

即k (、

共线，故舍去) ，或k

6)tan(k，tan(6)3 (kZ)。

3- 6 -

点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。

题型8：三角函数的最值

例9．函数y＝1的最大值是（ ）

2sinxcosxB．A．2－1

22＋1

2C．1－2

2D．－1－2

2解析：B；y1112

12sinxcosx22sin(x)2224针对训练

1．已知函数f(x)sin(x)(0,||且函数f(x2)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，212)是偶函数。下列判断正确的是（ ）

A．函数f(x)的最小正周期为2

7,0)对称

127C．函数f(x)的图象关于直线x对称 123,]上单调递增

D．函数f(x)在[4B．函数f(x)的图象关于点(【答案】D 【解析】

k,kZ，错误；

321225kxk,kZ

D，函数的增区间为；2k2x2k,232121273k1,x, [,]为它的子集。正确。

12124C，图像的对称直线方程为；2xk,x

考点：三角函数的性质的综合运用。

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2．要得到函数y=sin（4x-）的图像，只需要将函数y=sin4x的图像（ ）

3A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

123个单位 D．向右平移个单位

123C．向右平移【答案】C 【解析】

考点：三角函数的图像变换规律. 3．已知为第三象限角，且sincos2m,sin2m2，则m

的值为（ ）

A．1323 B． C． D．

3333【答案】B 【解析】

试题分析：由题；sincos2m,sin2m，

2(sincos)24m2,1sin24m2,1m24m2,m考点：三角函数的恒等变形及求值. 33(舍)，m-,

334．已知yf(x)图象的一部分如图所示，则f(x)可能是（ ）

A. f(x)sin(x) B. f(x)sin(2x)

66

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C. f(x)cos(4x【答案】D 【解析】

) D. f(x)cos(2x)

36

试题分析：由T,可排除A、C，由f()0可排除B,故选D. 6考点：三角函数的图象. 【方法点晴】本题主要考查三角函数的图象，属于中等题型，本题可以采用直接法（即按A,,顺序求解），但计算量稍大，速度较慢.本题可以采用排除法解题速度较快，即先由T,可排除A、C，再由f()0可排除B，即可得正确答案D. 故解决此类题型的常用方法有：1、6采用直接法（即按A,,顺序求解）.2、排除法（抓住部分特征进行排除）. 5．为得到函数ysin(2xA. 向左平移4)的图象，只需将函数ysin2x图象上所有的点（ ）

个单位 B. 向右平移个单位

44C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

88【答案】C 【解析】

考点：函数图象的平移变换. 【方法点晴】本题主要考查函数图象的平移变换，属于中等题型.此类题型虽然难度不大，但是如果不细心的话容易犯错，应注意以下几点：1、左加右减，2、平移单位为：||（两w函数的相位差），3、确定起始函数，4、函数异名要化同名.要提高此类题型的准确率除了要加强这方面的训练之外，还应注意总结解题技巧和验证技巧. 6．已知函数fxAsinxA0,0的图象与直线yb0bA相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则fx（ ）

A．在0,3上是减函数 B．在3,0上是减函数

C．在0,上是减函数 D．在,0上是减函数

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【答案】B 【解析】

试题分析：结合题设中提供的数据信息及函数fxAsinxA0,0的图象可知f(x)在区间3,0上是单调递减,故应选B. 考点：函数fxAsinxA0,0的图象及运用．

7．已知函数f(x)sin(x)(0,2)的最小正周期为4，且对xR，有f(x)f()成立，则f(x)的一个对称中心坐标是（ ）

322A.(B.(,0)C.(,0),0)333

5D.(,0)

3【答案】A 【解析】

考点：正弦函数的图象和性质．

8．已知函数fx3cos4x，将函数yfx的图象上所有点的横坐标伸长为原6来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移函数ygx的一个单调递增区间为（ ）

A．个单位，得到函数ygx的图象，则6,

B．362

C． ,,4463D．3,

44【答案】B 【解析】

试题分析：函数yfx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得

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个单位，得y3cos2x，再将所得函数图象向右平移66gx3cos2x3cos2x3sin2x662，由22kx2k2，k，得42kxk，k，所以,符444合．故应选B．

考点：1、三角函数的平移变换；2、正弦函数的单调性. 9．函数f(x)Asin(x)(A0,0,||A．f(x1)一定是偶函数 B．f(x1)一定是奇函数

C．f(x1)一定是偶函数 D．f(x1)一定是奇函数

【答案】B 【解析】

2)满足f(1)0，则（ ）

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