复习参考题教学设计与反思

第六节

简单的三角恒等变换

[备考方向要明了]

考

什

么

能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

[归纳·知识整合] 1．半角公式

(1)用cos α表示sinsin22怎

么

考

1.以选择题或填空题的形式单独考查，如2012年江苏T11. 2.在解答题中，与三角函数的图象与性质、解三角形等综合，突出考查三角恒等变换的工具性作用，如2012年安徽T16等. α2α2α，cos，tan. 222α1－cos α1＋cos α1－cos α2α2α＝；cos＝；tan＝. 222221＋cos αααα(2)用cos α表示sin，cos，tan. 222αsin＝± 2αcos＝± 2αtan＝± 21－cos α；

21＋cos α；

21－cos α. 1＋cos αα(3)用sin α，cos α表示tan. 2αsin α1－cos αtan＝＝. 21＋cos αsin α[探究] 如何用tan α表示sin 2α与cos 2α？

高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

提示：sin 2α＝2sin αcos α＝2222sin αcos α2tan α＝2；

22sin

α＋cos

αtanα＋122cosα－sinα1－tanαcos 2α＝cosα－sinα＝＝. 222cosα＋sinα1＋tanα2．形如asin x＋bcos x的化简

basin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tan φ＝. a[自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)化简2＋cos 2－sin1的结果是(

) A．－cos 1

C.3cos 1 解析：选C 22B．cos 1 D．－3cos 1 2＋cos 2－sin1＝1＋cos 2＋1－sin1＝2cos1＋cos 1＝3cos 1. 22212sin35°－22.的值为(

) sin 20°1A.

2C．－1

1B．－

2D．1 12sin35°－22sin235°－1－cos 70°解析：选B ＝＝

sin 20°2sin 20°2sin 20°＝－sin 20°1＝－. 2sin 20°222sin－12π3．若f(x)＝2tan x－，则f的值为(

) xx12sincos224A．－3 3C．43 2xB．8 D．－43 1－2sin22cos x24π解析：选B ∵f(x)＝2tan x＋＝2tan x＋＝＝，∴f1sin xsin xcos xsin2x12sin x2＝4πsin6＝8. x高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

4．(教材习题改编)函数y＝3cos 4x＋sin 4x的最小正周期为________．

解析：y＝3cos 4x＋sin 4x＝213cos 4x＋sin 4x

22πππ＝2coscos 4x＋sinsin 4x＝2cos4x－，

6662ππ故T＝＝. 42π答案：

2α1＋tan245．若cos α＝－，α是第三象限角，则＝________. 5α1－tan243解析：∵cos α＝－，且α是第三象限角，∴sin α＝－，

55ααcos ＋sin22ααααcos1＋tancos＋sin2222∴＝＝

ααααα1－tancos－sincos－sin22222αcos2cosα＋sinα222＝

cosα－sinαcosα＋sinα222231－51＋sin α1＋sin α1＝＝＝＝－. cos α422α2αcos－sin－2251答案：－

2

三角函数式的化简

高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

sin 2α－2cosα[例1] (1)化简：＝________；

πsinα－4π(2)已知0＜x＜，化简：

22xπlgcos x·tan x＋1－2sin＋lg2cosx－－lg(1＋sin 2x)．

242

2sin αcos α－2cos

α[自主解答] (1)原式＝＝22·cos α. 2α－cos α2(2)原式＝lg(sin x＋cos x)＋lg(sin x＋cos x)－lg(1＋sin 2x) ＝lg2x＋cos x1＋sin 2x21＋sin 2x＝lg＝lg 1＝0. 1＋sin 2x[答案] (1)22cos α

———————————————————

1.三角函数式的化简原则

一是统一角，二是统一函数名，能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分. 2.三角函数式化简的要求

能求出值的应求出值；

尽量使三角函数种数最少；

尽量使项数最少；

尽量使分母不含三角函数；

尽量使被开方数不含三角函数. 3.三角函数化简的方法

化简的方法主要有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂.

1－tanαα2·1＋tan α·tan1．化简：α. 2tan2cosα2sinα2sin αsinα2－·解：原式＝·1＋

ααcos ααcos2sin2cos2αsin2sin αcos α·＝·1＋

cos ααααcossincos222高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

αsin22cos α2cos αsin α＝＋··

sin αsin αcos ααcos2α2α2sin4sin22cos α22cos α＝＋＝＋

sin ααsin αsin αcos22cos α＋4sin＝

sin α2α22α2α21－2sin＋4sin222＝＝. sin αsin α

三角函数求值

3π110[例2] 已知<α<π，tan α＋＝－. 4tan α3(1)求tan α的值；

αα2α2α5sin＋8sincos＋11cos－82222(2)求的值．

π2sinα－4[自主解答] (1)∵tan α＋2110＝－，

tan α3∴3tanα＋10tan α＋3＝0，

1解得tan α＝－或tan α＝－3. 3∵3π<α<π，∴－1

35sin∴2ααα2α＋8sincos＋11cos－82222

π2sinα－425sin＝α1＋cos α2α＋cos＋4sin α＋6·－8222

sin α－cos α高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

＝＝5＋4sin α＋3＋3cos α－84sin α＋3cos α＝

sin α－cos αsin α－cos α4tan α＋35＝－. tan α－14

1－cos 2α－sin 2α保持本例条件不变，求的值．

1＋cos 2α－sin 2α1－cos 2α－sin 2α2sinα－2sin αcos α解：＝

21＋cos 2α－sin 2α2cosα

－2sin αcos α＝

———————————————————

2sin α2cos αα－cos αcos α－sin α1＝－tan α＝.

32已知三角函数式的值，求其他三角函数式值的一般思路

先化简所求式子；

观察已知条件与所求式子之间的联系从三角函数名及角入手；

将已知条件代入所求式子，化简求值.

312ππ2．已知sin(2α－β)＝，sin β＝－，且α∈，π，β∈－，0，求sin 51322α的值．

π解：∵＜α＜π，∴π＜2α＜2π. 2ππ5π∵－＜β＜0，∴0＜－β＜，π＜2α－β＜，

2223而sin(2α－β)＝＞0，

55π4∴2π＜2α－β＜，cos(2α－β)＝. 25π125又－＜β＜0且sin β

＝－，∴cos β＝，

21313∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β] ＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β

4531256＝×－×－＝. 51351365高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

922又cos 2α＝1－2sinα，∴sinα＝. 1303130π又α∈，π，∴sin α＝. 1302

asin x＋bcos x＝

a2＋b2sin(x＋φ)的应用

π2[例3] (2013·西域模拟)已知函数f(x)＝3sinx＋sin xcos x，x∈，π. 2(1)求f(x)的零点；

(2)求f(x)的最大值和最小值．

[自主解答] (1)令f(x)＝0，得

sin x·(3sin x＋cos x)＝0，

所以sin x＝0或tan x＝－3. 3π由sin x＝0，x∈，π，得x＝π；

2由tan x＝－35ππ，x∈，π，得x＝. 3625π综上，函数f(x)的零点为或π. 6(2)f(x)＝31(1－cos 2x)＋sin 2x

22π3＝sin2x－＋. 32π2π5ππ因为x∈，π，所以2x－∈，. 3332π2ππ所以当2x－＝，即x＝时，

332f(x)的最大值为3；

π3π11π当2x－＝，即x＝时，

3212f(x)的最小值为－1＋—————3. 2——————————————

高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

公式asin x＋bcos x＝a＋bsin(x＋φ)的应用及注意事项

(1)利用asin x＋bcos x＝a＋bsin(x＋φ)把形如y＝asin x＋bcos x＋k的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等．

(2)该公式是逆用两角和的正弦公式得到的．当φ为特殊角即熟练掌握．对φ是非特殊角时，只要求会求最值即可．

3．(2013·银川模拟)已知函数f(x)＝sin 2x－23sinx＋3＋1. (1)求f(x)的最小正周期及其单调递增区间；

22222a3的值为1或3时要3bππ(2)当x∈－，时，求f(x)的值域．

66π2解：f(x)＝sin 2x＋3(1－2sinx)＋1＝sin 2x＋3cos 2x＋1＝2sin2x＋＋1. 32π(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 2πππ由正弦函数的性质知，当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，

232π5ππ即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数y＝sin2x＋为单调递增函数，故函数f(x)312125ππ的单调递增区间为kπ－，kπ＋(k∈Z)．

1212π2πππ(2)∵x∈－，，∴2x＋∈0，，

3366π∴sin2x＋∈[0,1]，

3π∴f(x)＝2sin2x＋＋1∈[1,3]．

3∴f(x)的值域为[1,3]．

1个公式——辅助角公式

可利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．

by＝asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tan φ＝有a2＋b2≥|y|. a2个方向——三角恒等变换的基本方向

高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

三角函数求值、化简的基本思路是“变换”、通过适当的变换达到由此及彼的目的．变换的基本方向有两个：一是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；二是变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式、对角进行代数形式的变换等．

3个步骤——三角恒等变换的步骤

三角恒等变换可以归纳为以下三步：

创新交汇——三角恒等变换与函数性质的交汇问题

1．三角恒等变换作为高考命题的重点内容之一，主要与三角函数的求值、化简以及三角函数的性质相结合命题，有时也与向量等其他知识交汇命题．

2．解决此类问题时，一要重视三角变化中的诸多公式，熟悉它们之间的内在联系；二要熟悉三角变换中各方面的技巧，特别是切化弦、降幂和升幂、角的变换等技巧．

[典例] (2012·安徽高考)设函数f(x)＝(1)求f(x)的最小正周期；

π22cos2x＋＋sinx. 42ππg(x)＝1－f(x)．(2)设函数g(x)对任意x∈R，有gx＋＝g(x)，且当x∈0，时，求222g(x)在区间[－π，0]上的解析式．

[解] (1)f(x)＝＝π22cos2x＋＋sin

x

42ππ21－cos 2xcos 2x cos －sin 2x sin ＋

442211＝－sin 2x，

22故f(x)的最小正周期为π. 高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

11π(2)当x∈0，时，g(x)＝－f(x)＝sin 2x，故

222πππ①当x∈－，0时，x＋∈0，. 222π由于对任意x∈R，gx＋＝g(x)，

2π1π从而g(x)＝gx＋＝sin2x＋

22211＝sin(π＋2x)＝－sin 2x. 22ππ②当x∈－π，－时，x＋π∈0，，

2211从而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin 2x. 22综合①②得g(x)在[－π，0]上的解析式为

π1sin 2x，x∈－π，－，22g(x)＝1－π，0.－sin 2x，x∈22[名师点评]

1．本题具有以下创新点

(1)命题方式：本题突破以往依据函数图象确定三角函数解析式的传统，而是将抽象函数与函数的周期性等相结合，考查函数解析式的求法．

(2)考查内容的创新：本题考查了函数周期性及分类讨论思想在求抽象函数及分段函数解析式中的应用，考查了考生分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力．

2．解决本题的关键有以下几点

π(1)准确识别函数g(x)的周期T＝；

2ππ(2)根据周期恰当地将区间[－π，0]分成－π，－和－，0两部分，并正确求出22相应的解析式；

(3)具备较强的逻辑推理能力和运算能力．

[变式训练]

1．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(3sin A，sin B)，n＝(cos B，3cos A)，若n·m＝1＋cos(A＋B)，则C的值为________．

高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

解析：m·n＝3sin Acos B＋3cos Asin B＝3sin(A＋B)＝3sin(π－C)＝3sin C，又cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故3sin C＝1－cos C，即3sin C＋cos C＝1，即ππ7ππ5π2πππ12sinC＋＝1，即sinC＋＝，由于＜C＋＜，故只有C＋＝，即C＝. 6626666632答案：π

32．(2013·江南十校联考)已知函数f(x)＝sin x＋cos x. cosx－sin xcos x(1)若f(x)＝2f(－x)，求的值；

21＋sinx(2)求函数F(x)＝f(x)·f(－x)＋f(x)的最大值和单调递增区间．

解：(1)∵f(x)＝sin x＋cos x，∴f(－x)＝cos x－sin x. 又∵f(x)＝2f(－x)，

∴sin x＋cos x＝2(cos x－sin x)，且cos x≠0，

1∴tan x＝，

3cosx－sin xcos xcosx－sin xcos x1－tan x6∴＝＝＝. 22221＋sinx2sinx＋cosx2tanx＋111(2)由题知F(x)＝cosx－sinx＋1＋2sin xcos x，

∴F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1，

π即F(x)＝2sin2x＋＋1. 4π当sin2x＋＝1时，[F(x)]max＝2＋1. 4πππ3ππ由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，故所求函24288π3π数F(x)的单调递增区间为－＋kπ，＋kπ(k∈Z). 88

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 222222π1．(2013·济南模拟)函数y＝sin xsin＋x的最小正周期是(

) 2A.π

2B．π

高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

C．2π D．4π

12π解析：选B ∵y＝sin xcos x＝sin 2x，∴T＝＝π. 222．(2013·沈阳四校联考)若5A. 44C. 321＋cos 2α1＝，则tan 2α等于(

) sin 2α25B．－

44D．－

31＋cos 2α2cosαcos α1解析：选D ∵＝＝＝，

sin 2α2sin αcos αsin α2∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α44＝＝－. 21－tanα1－43133．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝aloga(a＞0，且a≠1)，则cosπ＋α的值32为(

) A.C.10 10310 10B．－10

10310D．－

101解析：选B ∵由题意可知tan(3π＋α)＝，

31∴tan α＝. 33π又∵cosπ＋α＝cos－α22∴cos＝sin α，

3π＋α＝－10. 102∵α∈(－π，0)，

∴sin α＝－10. 10π4．已知x∈，π，cos 2x＝a，则cos x＝(

) 2A. C. 1－a 21＋a 2B．－

D．－

1－a

21＋a

2高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

1＋cos 2x1＋a2解析：选D 依题意得cosx＝＝；

22又x∈π，π，因此cos x＝－

21＋a. 2cos 2α25．若＝－，则sin α＋cos α的值为(

) 7π2sinα＋4A．－2

2

21B．－

2D.7

221C.

2解析：选C 由已知三角等式得cosα－sinα22α－cos α＝－2，整理得sin α＋cos α21＝. 2sinαcosαπ6．设α∈0，，则＋的最小值为(

) 2cos αsin αA.27 6453 633433B.32

5C.D．1 42sinαcosαsinα＋cosα解析：选D ＋＝＝cos αsin αsin αcos α1－2sin αcos α. sin αcos α1令sin αcos α＝t，则t＝sin 2α. 2α＋cosα－2sinαcosα＝sin αcos α2222π1∵α∈0，，∴t∈0，. 2211令g(t)＝－2t，g(t)在0，上是减函数，

t21∴当t＝时，g(t)min＝2－1＝1. 2二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 117．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan(α－β)22＝________. 高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

11解析：∵sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，

221两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，

213即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝. 241π∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－<0，∴0<α<β<. 22π∴－<α－β<0. 2∴sin(α－β)＝－1－cos7. 3答案：－7

32α－β＝－7.∴tan(α－β)＝4α－βα－β＝－4ααα8．设α是第二象限角，tan α＝－，且sin

33α∴cos α＝－，∴cos＝－

52答案：－5

51＋cos α5＝－

. 25π4π9．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cosα＋＝，则sin2α＋的值为________．

6512π4π3π24解析：因为α为锐角，cosα＋＝，所以sinα＋＝，sin 2α＋＝，cos 6565625πππ7πππ2α＋＝，所以sin2α＋＝sin2α＋－＝sin 2α＋cos －cos 646251264ππ1722α＋sin ＝. 6450高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

172答案：

50三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 4cosx－2cos 2x－110．(1)化简；

π2πtan＋xsin－x44(2)化简[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin80°. 解：(1)原式＝＋cos 2x－2cos 2x－1cos2x2cos2x＝＝＝ππππ2πtan＋xcos＋xsin＋xcos＋xsin＋2x44442222242cos2x＝2cos 2x. cos 2xcos 10°＋3sin 10°(2)原式＝2sin 50°＋sin 10°··2·sin 80°

cos 10°13cos 10°＋sin 10°22＝2sin 50°＋2sin 10°··2cos 10°

cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]

＝22sin(50°＋10°)＝22×3＝6. 2211．已知函数f(x)＝sin x＋cos x，f′(x)是f(x)的导函数．

(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；

π2(2)当x∈0，时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f(x)的值域．

2π解：(1)由题意可知，f′(x)＝cos x－sin x＝－2·sinx－，

4所以y＝f′(x)的最小正周期为T＝2π. (2)F(x)＝cosx－sinx＋1＋2sin xcos x

＝1＋sin 2x＋cos 2x

π＝1＋2sin2x＋. 4ππ5ππ∵x∈0，，∴2x＋∈，，

2444π2∴sin2x＋∈－，1. 42∴函数F(x)的值域为[0,1＋2 ]．

22高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

π12．已知函数f(x)＝3cos(ωx＋φ)－＜φ＜0的最小正周期为π，且其图象经过点25π，0. 12(1)求函数f(x)的解析式；

32xππ(2)若函数g(x)＝f＋，α，β∈0，，且g(α)＝1，g(β)＝，求g(α－β)2426的值．

2π解：(1)依题意函数的最小正周期T＝＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝3cos(2x＋φ)．

ω因为函数f(x)的图象经过点5π，0，

125πππ5π所以3cos2×＋φ＝0，得到2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z. 121223ππ由－＜φ＜0得φ＝－. 23π故函数f(x)的解析式为f(x)＝3cos2x－. 3xππ(2)依题意有g(x)＝3cos2×＋－＝3cos x，

2631由g(α)＝3cos α＝1，得cos α＝，

3322同理g(β)＝3cos β＝，得cos β＝. 44π而α，β∈0，，

2所以sin α＝

1222，

1－＝331422＝4，

4sin β＝

1－所以g(α－β)＝3cos(α－β)＝3(cos αcos β＋sin αsin β)＝2＋472221413××＋. ×＝43434

1．求值：(1)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°；

高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

2cos 10°－sin 20°(2). cos 20°sin 10°cos 10°sin 50°sin 70°解：(1)原式＝

2cos 10°＝＝sin 20°sin 50°sin 70°sin 20°cos 20°sin 50°＝

4cos 10°4cos 10°sin 40°sin 50°sin 80°1＝＝. 8cos 10°16cos 10°16－－sin 20°

cos 20°(2)原式＝＝＝2cos 30°cos 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°

cos 20°2cos 30°cos 20°＝3. cos 20°2．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．

解：(1)∵由sin(2α＋β)＝3sin β，

得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，

即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)·cos α－3cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α，

tan α＋tan β∴tan(α＋β)＝2tan α，于是＝2tan α，

1－tan αtan β即x＋yxx＝2x，∴y＝2，即f(x)＝2. 1－xy1＋2x1＋2x(2)∵角α是一个三角形的最小内角，

π∴0＜α≤，则0＜x≤ 3，

3f(x)＝x1＋2x2＝11≤x域为0，＋2x2 11＝·2x22当且仅当x＝时取“＝”，故函数f(x)的值42x2. 4223．已知sin θ和cos θ是关于x的方程x－2xsin α＋sinβ＝0的两个根．

求证：2cos 2α＝cos 2β. 证明：因为sin θ，cos θ是方程x－2xsin α＋sin

β＝0的两根，所以sin θ＋cos 22高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

θ＝2sin α，sin θ·cos θ＝sinβ. 因为(sin θ＋cos θ)＝1＋2sin θcos θ，所以(2sin α)＝1＋2sinβ，即4sinα＝1＋2sinβ，

所以2(1－cos 2α)＝1＋1－cos 2β，所以2cos 2α＝cos 2β. 4．A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0＜θ＜π)，OQ＝OA＋OP，四边形OAQP的面积为S. (1)求OA·OQ＋S的最大值及此时θ的值θ0；

222222

34(2)设点B的坐标为－，，∠AOB＝α，在(1)的条件下，求cos(α＋θ0)．

55解：(1)由已知，A，P的坐标分别为(1,0)，(cos θ，sin θ)．

则OQ＝(1＋cos θ，sin θ)，OA·OQ＝1＋cos θ. 1又S＝2×|OP|·|OA|·sin θ＝sin θ，所以OA·OQ＋S＝cos θ＋1＋sin θ＝2π2·sinθ＋＋1(0＜θ＜π)．

4π故OA·OQ＋S的最大值是2＋1，此时θ0＝. 4342(2)∵cos α＝－，sin α＝，且sin θ0＝cos θ0＝，

552∴cos(θ0＋α)＝cos θ0cos α－sin θ0sin α＝－

72. 10高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！