复习参考题教学设计和教学实录

第三章 三角恒等变换复习（二）

课前分析

本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点. 思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、二倍角公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换. 思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点. 思路3.学生在学习了前两章的基础上进行综合运用，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力. 学习目标

1.进一步掌握三角恒等变换的方法. 2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明. 教学重点

二倍角公式和辅助角角公式的运用. 教学难点

二倍角公式变式的运用. 教学设计

一、课前练习

2.cos28

1.sin2230cos2230________.sin2123.sin15+cos15________.

4.sin3cos 1212

设计意图：

二、知识梳理

1.两角和与差的正弦、余弦公式

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 2. 正弦、余弦的二倍角公式

sin 2α＝2sin αcos α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 3.降次升角公式

1＋cos 2x1－cos 2xsin 2xsin xcos x＝，cos2x＝，sin2x＝. 2225.辅助角公式

y＝asin ωx＋bcos ωx＝a2＋b2sin(ωx＋θ). 设计意图：

三、题型探究

例题1 已知函数f(x)＝2cos xsin x＋23cos2x－3.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值；

(3)求函数f(x)的单调增区间．

13ππ解

(1)原式＝sin 2x＋3cos 2x＝2(sin 2x＋cos 2x)＝2(sin 2xcos ＋cos 2xsin ) 2233π＝2sin(2x＋)．

3∴函数f(x)的最小正周期为π.

πππ(2)当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值为2. 3212ππ5π当2x＋＝2kπ－，即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2. 3212

πππ(3)要使f(x)递增，必须使2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

2325ππ解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

12125ππ∴函数f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

1212

反思与感悟

(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提. (2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.

跟踪训练1

2已知函数f(x)12sin(x)2sin(x)cos(x)888

1、求函数f(x)的最小正周期；

2、求f(x)的单调递增区间。

解：1)22cos(2x)2sin(2x)f(x)cos(2x)sin(2x)2424442sin(2x)2cos2xf(x)的最小正周期为22)当2k2x2k，即k2xkkZ时，函数f(x)2cos2x是增函数，故函数f(x)的单调递增区间是k，kkZ2ππ例题2.

设函数f(x)ab，其中a2sinx,cos2x，bsinx,3，xR．

44（1）求f(x)的解析式．

（2）求f(x)的周期和对称轴．

ππ（3）若关于x的方程f(x)m2在x,上有解，求实数m的取值范围．

42ππ【解析】（1）∵a2sinx,cos2x，bsinx,3，

44π2π∴f(x)ab2sinx3cos2x1cos2x3cos2x

24π1sin2x3cos2x2sin2x1，

3πf(x)2sin2x∴1．

3（2）由（1）知f(x)的最小正周期TkZ，

2πππ5πkπkZ，π，，

令2xkπ，得 x232122

∴f(x)的对称轴为x5πkπ，kZ．

122ππ2ππ1ππ（3）∵x,，

∴2x,，

∴sin2x,1，

3633242π∴2sin2x1[2,3]，即f(x)[2,3]，

3ππ若关于x的方程f(x)m2，在x,上有解，则2≤m2≤3，解得0≤m≤1．

42反思与感悟：以平面向量为载体，三角恒等变换为手段对三角函数及平面向量进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.

跟踪训练2．已知a3sinx,cosx,bcosx,cosx.

（1）若ab1，且x,，求x的值；

4413，若方程fxm恰有两个不同的解，求实数m,312（2）设fxab，

x的取值范围．

【解析】分析：由ab1，利用平面向量数量积公式，二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式可得sin2x1，结合（2）利用（1）可得x,，可求x的值；624415713可得fxsin2x，由x,2x, , 结合函数的图象62312663ym图象有两个交点时实数m的取值范围

详解：（1）∵即∵∴（2）∵，∴，∴x=0．

，

当x，∴，∴，

．

，

13时，

,312

2x57,

, 结合函数的图象y=m图象有两个交点．

6631,1. 2从图象可以看出：

实数m的取值范围是四、课堂练习

P147.T11、12 五、课后作业

P147.T9、10、6 六、教学反思

课后反思

本节课主要是三角恒等变换的综合应用，通过三角恒等变形,把函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,先运用二倍角公式的变形公式进行降次升角，再用辅助角公式，化到“三个一”的形式。从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的.在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤. 在三角恒等变化中，若含有相关向量的运算，首先利用向量的数量运算进行计算，在去化“三个一”的形式。另外就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握. 本节课基本达到了预期的效果，基本的“套路”都会了，这也是本节课主要目的，故例题、练习不宜太复杂。

已知函数f(x)4cosxsin(x)161、求f(x)的最小正周期；2、求f(x)在区间,上的最大值和最小值。64解：1)f(x)4cosxsin(x)164cosx(31sinxcosx)13sin2x2cos2x1223sin2xcos2x2sin(2x)6f(x)的最小正周期为22)x,2x64663于是，当2x当2x=，即x=时，f(x)max2626=-，即x=-时，f(x)max1666