复习参考题国家优质课一等奖

简单的三角恒等变换

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

1、会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换；

2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法.

一、降幂公式：

cos21cos2,2sin221cos2,2tan21cos2

1cos21、公式推导：试以cos表示sin2,cos222,tan22．

解析：我们可以通过二倍角cos2cos中以代2，21和cos12sin22来做此题．（二倍角公式代）

221cos；

2221cos21，可以得到cos2因为cos2cos．

222解：因为cos12sin，可以得到sin2两式相除可以得到tan2221cos．

1coscos22sin2sin点评：⑴以上结果还可以表示为：21cos21cos2

costan

221cos1cos

[ww#w~.z%zst@ep^.com]1

并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2角的象限决定. ⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明. ⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点. 二、积化和差公式：

1sincos[sin()sin()];2

sinsin2sincos.221、公式推导:（１）sincos1sinsin；

2cos

（２）sinsin2sin．

22证明：（１）因为sin和sin是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．

sinsincoscossin；sinsincoscossin．

两式相加得2sincossinsin；

即sincos1sinsin；

2（２）由（１）得sinsin2sincos①；设,，

那么2,2．来源~:*zzstep.co@m%]

把,的值代入①式中得sinsin2sin

三、本章公式梳理：

2cos2．

2

tan22tantantantan

1tantan1tan2相除

相除

SSCC相加减

cos2cos2sin2

2cos2112sin2sin22sincos



移项2

1cos2cos22

21cos2sin

2

变形

1sinsin21cossinsinsin2

1coscoscoscos21sinsincoscos2sincos

令



sin1cos2

2

1cos22相除

A

Bcos

tan



1

cos



21cos

sin1cos1cossin

ABABcos22ABABsinAsinB2cossin22

ABABcosAcosB2coscos22ABABcosAcosB2sinsin22sinAsinB2sin

cos4Asin4Acos4Bsin4B1求证:1. 例1

已知2222cosBsinBcosAsinAcos4Asin4A1, 证明一:∵cos2Bsin2B3

∴cos4A·sin2B+sin4A·cos2B=sin2B·cos+B. ∴cos4A(1-cos2B)+sin4A·cos2B=(1-cos2B)cos2B, 即cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B. ∴cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0. ∴(cos2A-cos2B)2=0.∴cos2A=cos2B.∴sin2A=sin2B. cos4Bsin4Bcos2B+sin2B=1. ∴22cosAsinAcos2Asin2Acosa,证明二:令=sinα,

cosBsinB则cos2A=cosBcosα,sin2A=sinBsinα.

两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1.

∴B-α=2kπ(k∈Z),即B=2kπ+α(k∈Z). ∴cosα=cosB,sinα=sinB.

∴cos2A=cosBcosα=cos2B,sin2A=sinBsinα=sin2B. cos4Bsin4Bcos4Bsin4B∴=cos2B+sin2B=1. 2222cosAsinAcosBsinB

点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元. 练习：

在锐角三角形ABC中,ABC是它的三个内角,记S=11,求证:S<1. 1tanA1tanB证明:∵S=1tanA1tanB1tanAtanB

(1tanA)(1tanB)1tanAtanBtanAtanB又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°. ∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0, ∴tanA·tanB>1.∴S<1. 例2

证明1sinxx=tan(+). 42cosx解：方法一：从右边入手，切化弦，得

xxxxxsin()sincoscossincossinx22424222,由左右两边的角之间的关tan(+)=xxxxx42cos()coscossinsincossin42222222xx系，想到分子分母同乘以cos+sin,得

22xx(cossin)21sinx22

xxxxcosx(cossin)(cossin)2222方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得

4

xxxx(cossin)2cossin1sinx2222

xxxxxxcosx(cossin)(cossin)cossin222222由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cosx,得

21tanxxtantan242=tan(+x). xx421tan1tantan242点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法. )且满足:3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 222解法一:3sinα+2sinβ=13sin2α=1-2sin2β,即3sin2α=cos2β,

①

3sin2α-2sin2β=03sinαcosα=sin2β,

②

练习：已知α,β∈(0,①2+②2:9sin4α+9sin2αcos2α=1,即9sin2α(sin2α+cos2α)=1,

∴sin2α=11.∵α∈(0,),∴sinα=. 9231=1. 3∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin2α+cos2α)=3×3),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=. 222解法二:3sin2α+2sin2β=1cos2β=1-2sin2β=3sin2α,

33sin2α-2sin2β=0sin2β=sin2α=3sinαcosα,

2∵α,β∈(0,∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β

=cosα·3sin2α-sinα·3sinαcosα=0.

3),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=. 2223解法三:由已知3sin2α=cos2β,sin2α=sin2β,

2两式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(-2β).

2∵α∈(0,),∴tanα>0.∴tan(-2β)>0.

22又∵β∈(0,),∴<-2β<. 2222结合tan(-2β)>0,得0<-2β<. 222∴由tanα=tan(-2β),得α=-2β,即α+2β=. 222∵α,β∈(0,sin(a)sin()tan2例3

求证:

1sin2cos2tan25

证明:证法一:左边=(sincoscossin)(sincoscossin)

22sincossin2acos2cos2asin2cos2asin2tan2=11=右边.∴原式成立. 22222sincossincostanacos2sin2sin2cos2cos2asin2证法二:右边=1-

sin2cos2sin2acos2=(sinacoscosasin)(sinacoscosasin)

22sincossin(a)sin(a)=左边.∴原式成立. 22sincos=点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力. 练习：

1.求证:1sin4cos41sin4cos4. 22sin1tan1sin4cos42tan,此式右边就是1sin4cos41tan2分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于tan2θ.

证明:原等式等价于而上式左边

1sin4cos4tan2. 1sin4cos42sin2(cos2sin2)sin4(1cos4)2sin2cos22sin22==tan2右边.∴上22cos2(sin2cos2)sin4(1cos4)2sin2cos22cos2式成立,即原等式得证. 2.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=1mtanα.

1m分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理. 证明:由sinβ=msin(2α+β)sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]

sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m0[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα](1-m)·sin(α+β)cosα=(1+m)·cos(α+β)sinα

tan(α+β)=练习：

1mtanα.

1m5a,α在第二象限,则tan的值为(

) 13211A.5

B.-5

C.

D.

552.设5π<θ<6π,cos=α,则sin等于(

) 241.若sinα=6

A.1a1a1a1a

B.

C.

D.

222237,3π<θ<,则tan_________________. 5223.已知sinθ=解答: 1.A

2.D

3.-3 1sinxcosx.. 1sinxcosxxxxxxx2sin22sincos2sin(sincos)222222=tanx. 解:原式=xxxxxx22cos22sincos2cos(cossin)222222例4

化简:

点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系. 变式训练

化简:sin50°(1+3

132(cos10sin10)3sin10221sin50解:原式=sin50°

cos10cos10sin30cos10cos30sin10=2sin50°·

cos10sin40sin80cos10=2cos40°·=1. cos10cos10cos101,求sin3x-cos3x的值. 211解:由sinx-cosx=,得(sinx-cosx)2=, 2431即1-2sinxcosx=,∴sinxcosx=. 84例5

已知sinx-cosx=∴sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x) =3111(1+)=. 816213,且≤θ≤,则cos2θ的值是______________. 524点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法. 练习：

(2007年高考浙江卷,12)

已知sinθ+cosθ=答案:

7

7

25

一、选择题

ππ1．

设函数f(x)＝cos2(x＋)－sin2(x＋)，x∈R，则函数f(x)是(

) 44A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

πC．最小正周期为的奇函数

2πD．最小正周期为的偶函数

2[答案]

A π2π[解析]

f(x)＝cos(2x＋)＝－sin2x为奇函数，周期T＝＝π.

22(理) 函数y＝sin2x＋sinxcosx的最小正周期T＝(

) A．2π

[答案]

B [解析]

y＝sin2x＋sinxcosx＝1－cos2x1＋sin2x

22

B．π

πC.

2

πD.

3π122x－，∴最小正周期T＝π.

＝＋sin4222．

设向量a＝(cosα，1A．－

4[答案]

B [解析]

∵|a|2＝cos2α＋1322＝cos2α＋＝，

242

23)的模为，则cos2α＝(

) 22

1C.

2

D.3

21B．－

211∴cos2α＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－. 42α3．已知tan＝3，则cosα＝(

) 24A.

5

4B．－

5

4C.

153D．－

5[答案]

B ααcos2－sin222αα[解析]

cosα＝cos2－sin2＝

222α2αcos＋sin22α1－tan221－94＝＝＝－，故选B. α1＋951＋tan228

C4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是(

) 2A．等边三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．既非等腰又非直角的三角形

[答案]

B C[解析]

∵sinAsinB＝cos2，

211∴[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝(1＋cosC)，

22∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，

∴cos(A－B)＝1，

∵－π

∴△ABC为等腰三角形．

π5．

函数f(x)＝2sin(x－)＋|cosx|的最小正周期为(

) 2πA.

2

B．π

C．2π

D．4π

[答案]

C [解析]

f(x)＝－2cosx＋|cosx| －cosx

cosx≥0＝，画出图象可知周期为2π.

－3cosx

cosx<0

16．

若sinx＋cosx＝，x∈(0，π)，则sinx－cosx的值为(

) 3A．±17

3B．－17

31C.

3

D.17

3[答案]

D π118[解析]

由sinx＋cosx＝两边平方得，1＋2sinxcosx＝，∴sin2x＝－<0，∴x∈2，π，

399∴(sinx－cosx)2＝1－sin2x＝∴sinx－cosx＝17且sinx>cosx，

917，故选D. 37．(文)在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系是(

) A．x≤y

C．x≥y

[答案]

D

B．x＜y

D．x＞y

9

π[解析]

∵π>A＋B＞，∴cos(A＋B)＜0，即cosAcosB－sinAsinB＜0，∴x＞y，故应选D. 2(理) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos(2B＋C)＋2sinAsinB<0，那么a、b、c满足的关系是(

) A．2ab>c2

C．2bc>a2

[答案]

B [解析]

∵cos(2B＋C)＋2sinAsinB<0，且A＋B＋C＝π，

∴cos(π－A＋B)＋2sinA·sinB<0，

∴cos(π－A)cosB－sin(π－A)sinB＋2sinAsinB<0，

∴－cosAcosB＋sinAsinB<0，即cos(A＋B)>0，

ππ∴0，

22a2＋b2－c2由余弦定理得，cosC＝<0，

2ab∴a2＋b2－c2<0，故应选B. 8．

已知a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，记f(x)＝a·b，要得到函数y＝sin4x－cos4x的图象，只需将函数y＝f(x)的图象(

) πA．向左平移个单位长度

2πB．向左平移个单位长度

4πC．向右平移个单位长度

2πD．向右平移个单位长度

4[答案]

D [解析]

y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos2x，

ππππx－＝sin2x－＝－sin－2x＝将f(x)＝a·b＝2sinxcosx＝sin2x，向右平移个单位得，sin22424－cos2x，故选D. π2，π，若a·9．

已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈b＝，

45πα＋的值为(

) 则tan41A.

3

2B.

7

1C.

7

2D.

3

B．a2＋b2

D．b2＋c2

[答案]

C 23[解析]

a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝，∴sinα＝，

5510

π43∵<α<π，∴cosα＝－，∴tanα＝－，

454π1＋tanα1α＋＝∴tan41－tanα＝7. 5π7π10．

若≤α≤，则1＋sinα＋1－sinα等于(

) 22αA．－2cos

2αC．－2sin

2[答案]

C 5π7π5πα7π[解析]

∵≤α≤，∴≤≤. 22424∴1＋sinα＋1－sinα

＝＝αα1＋2sincos＋22ααsin＋cos2＋22αα1－2sincos

22ααsin－cos2

22

αB．2cos

2αD．2sin

2αααα＝－(sin＋cos)－(sin－cos) 2222α＝－2sin. 2二、填空题

π311．

若sin2＋θ＝5，则cos2θ＝________. 7[答案]

－

25π33＋θ＝，∴cosθ＝，

[解析]

∵sin2557∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－. 25tanx－tan3x12．

函数y＝的最大值与最小值的积是________．

1＋2tan2x＋tan4x1[答案]

－

16tanx－tan3xtanx1－tan2x[解析]

y＝＝

1＋2tan2x＋tan4x1＋tan2x22cos2x－sin2xtanx1－tanxsinxcosx＝·＝＋

1＋tan2x1＋tan2xcos2x＋sin2xcos2x＋sin2x11＝sin2x·cos2x＝sin4x，

24所以最大与最小值的积为－

1. 1611

13．

函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．

[答案]

1 [解析]

y＝sinxcos10°＋cosxsin10°＋cosxcos40°－sinxsin40°＝(cos10°－sin40°)sinx＋(sin10°＋cos40°)cosx，其最大值为

cos10°－sin40°2＋sin10°＋cos40°2

＝2＋2sin10°cos40°－cos10°sin40°

＝2＋2sin－30°＝1.

14．(文)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠CODθ＝θ，则tan2＝________. 2

1[答案]

33rr3[解析]

设OC＝r，∵AD＝3DB，且AD＋DB＝2r，∴AD＝，∴OD＝，∴CD＝r，∴tanθ222＝CD＝3，

ODθ3∵tanθ＝，∴tan＝(负值舍去)，

θ231－tan22θ1∴tan2＝. 233tan12°－3(理)＝________. 24cos12°－2sin12°[答案]

－43 [解析]

3tan12°－33sin12°－3cos12°＝

sin12°cos12°4cos212°－2sin12°2cos24°θ2tan223sin12°－60°＝＝－43. 1sin48°2三、解答题

15．

已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx. π(1)求f()的值；

3(2)求f(x)的最大值和最小值．

12

π2πππ39[解析]

(1)f()＝2cos＋sin2－4cos＝－1＋－2＝－. 333344(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx

＝3cos2x－4cosx－1 27＝3(cosx－)2－，x∈R

3327因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝时，f(x)取最小值－. 33(理)已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)，设f(x)＝a·b. (1)求函数f(x)的最小正周期；

π0，时，求函数f(x)的最大值及最小值．

(2)当x∈2[解析]

(1)f(x)＝a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx

＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx

＝cos2x＋sin2x＝2π2x＋. ＝2sin4∴f(x)的最小正周期T＝π.

πππ5π(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，

2444ππππ5ππ∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值2；当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最小值－1. 428442π2x＋＋sin2x. 16．(文)设函数f(x)＝cos3(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；

1C1(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝，f()＝－，且C为锐角，求sinA的值．

324πππ1－cos2x132x＋＋sin2x＝cos2xcos－sin2xsin＋[解析]

(1)f(x)＝cos＝－sin2x，

3332221＋3所以函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.

2C1313(2)f()＝－sinC＝－，所以sinC＝，

22242π因为C为锐角，所以C＝，

3122在△ABC中，cosB＝，所以sinB＝，

33所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC

2211322＋3＝×＋×＝. 3232613

22cos2x＋sin2x

22

→→(理)已知角A、B、C为△ABC的三个内角，OM＝(sinB＋cosB，cosC)，ON＝(sinC，sinB－cosB)，1→→OM·ON＝－. 5(1)求tan2A的值；

A2cos2－3sinA－12(2)求的值．

π2sinA＋4→→[解析]

(1)∵OM·ON＝(sinB＋cosB)sinC＋

1cosC(sinB－cosB)＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－，

51∴sinA＋cosA＝－①

524两边平方并整理得：2sinAcosA＝－，

25π24∵－<0，∴A∈2，π，

257∴sinA－cosA＝1－2sinAcosA＝②

5343联立①②得：sinA＝，cosA＝－，∴tanA＝－，

5543－22tanA24∴tan2A＝＝－. 2＝971－tanA1－163(2)∵tanA＝－，

4A2cos2－3sinA－12cosA－3sinA1－3tanA∴＝＝

πcosA＋sinA1＋tanA2sinA＋43－1－3×4＝＝13. 31＋－4π17．

若函数f(x)＝sin2ax－3sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为. 2(1)求m和a的值；

π0，，求点A的坐标．

(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈2[解析]

(1)f(x)＝sin2ax－3sinaxcosax

1－cos2axπ132ax＋＋，

＝－sin2ax＝－sin622214

由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，

13所以m＝－或m＝，

22π由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，

213所以m＝－或m＝，a＝2. 22π14x＋＋，

(2)∵f(x)＝－sin62ππ4x＋＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，

∴令sin66kππ∴x＝－(k∈Z)，

424kπππ由0≤－≤

(k∈Z)，得k＝1或k＝2，

42425π111π1因此点A的坐标为24，2或24，2. (理) 设向量a＝(sinx,1)，b＝(1，cosx)，记f(x)＝a·b，f

′(x)是f(x)的导函数．

(1)求函数F(x)＝f(x)f

′(x)＋f

2(x)的最大值和最小正周期；

1＋2sin2x(2)若f(x)＝2f

′(x)，求2的值．

cosx－sinxcosx[解析]

(1)f(x)＝sinx＋cosx，

∴f

′(x)＝cosx－sinx，

∴F(x)＝f(x)f

′(x)＋f

2(x) ＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx

π2x＋，

＝cos2x＋sin2x＋1＝1＋2sin4πππ∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，F(x)max＝1＋2. 4282π最小正周期为T＝＝π.

2(2)∵f(x)＝2f

′(x)，∴sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，

1∴cosx＝3sinx，∴tanx＝，

31＋2sin2x3sin2x＋cos2x3tan2x＋1∴2＝＝＝2

cosx－sinxcosxcos2x－sinxcosx1－tanx

_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 15

基础巩固

一、选择题

1．若cosθ>0，sin2θ<0，则角θ是(

) A．第一象限角

C．第三象限角

[答案]

D [解析]

∵cosθ>0，sin2θ＝2sinθcosθ<0，

∴sinθ<0，

∴角θ是第四象限角．

12．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝(

) tanθ1A．

51C．

3[答案]

D [解析]

本题考查了三角恒等变换与三角函数的求值．

1sinθcosθ11tanθ＋＝＋＝＝＝4，

tanθcosθsinθsinθcosθ1sin2θ21∴sin2θ＝. 23．函数f(x)＝cos4x－sin4x的最小正周期是(

) πA．

2C．2π

[答案]

B [解析]

f(x)＝cos4x－sin4x

＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x) ＝cos2x，

∴函数f(x)的最小正周期T＝2π＝π.

2B．π

D．4π

1B．

41D．

2B．第二象限角

D．第四象限角

sin2α4．若tanα＝3，则2的值等于(

) cosαA．2 C．4 [答案]

D 16

B．3 D．6

sin2α2sinαcosα[解析]

由2＝＝2tanα＝2×3＝6，故选D. cosαcos2α5．计算1＋cos100°－1－cos100°等于(

) A．－2cos5°

C．－2sin5°

[答案]

C [解析]

1＋cos100°－1－cos100°＝1－cos80°－1＋cos80°

B．2cos5°

D．2sin5°

＝2sin240°－2cos240°

＝2(sin40°－cos40°) ＝2(22sin40°－cos40°) 22＝2sin(40°－45°)＝－2sin5°. 2sin2αcos2α6．·＝(

) 1＋cos2αcos2αA．tanα

C．1 [答案]

B 2sin2αcos2αsin2α[解析]

原式＝·＝＝tan2α. 2cos2αcos2αcos2α二、填空题

117．若tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ＝________. 326[答案]

51[解析]

cos2θ＋sin2θ＝cos2θ＋sinθcosθ

211＋3cosθ＋sinθcosθ1＋tanθ＝＝＝

1cos2θ＋sin2θ1＋tan2θ1＋92B．tan2α

1D．

2496＝×＝. 3105π18．tan－的值等于________．

12πtan12[答案]

－23 π－112π1[解析]

tan－＝

12ππtantan1212tan217

π21－tan212＝－

π2tan12π＝－2cot＝－23. 6三、解答题

123π9．已知cosα＝－，α∈(π，)，求sin2α，cos2α，tan2α的值．

132[解析]

∵cosα＝－1213，α∈(π，3π2)，

∴sinα＝－1－cos2α＝－1－－125132＝－13，

∴sin2α＝2sinαcosα＝2×(－513)×(－1213)＝120169，

cos2α＝2cos2α－1＝2×(－1211913)2－1＝169，

tan2α＝sin2α120cos2α＝119. 一、选择题

1．设a＝(32，sinα)，b(cosα，13)，且a∥b，则锐角α为(

A．30°

B．60°

C．75°

D．45°

[答案]

D [解析]

由题意，得32×13＝sinαcosα，

∴sinαcosα＝12，

∴12sin2α＝12，

∴sin2α＝1. ∴α为锐角，

∴2α＝90°，∴α＝45°. 2．若α∈5π，7π22，则1＋sinα＋1－sinα的值为(

) A．2cosα2

B．－2cosα2

C．2sinα2

D．－2sinα2

18 )

[答案]

D 5π7πα5π7π，，∴∈，，

[解析]

∵α∈22244ααααsin＋cos＋sin－cos

∴原式＝2222ααααα＝－sin－cos－sin＋cos＝－2sin. 222223．设a＝A．c

C．a

[答案]

A [解析]

a＝26°)＝sin64°，

c＝3＝sin60°. 222cos17°＋cos17°＝sin(45°＋17°)＝sin62°，b＝2cos213°－1＝cos26°＝sin(90°－2223(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝，

则(

) 22B．b

D．b

由正弦函数单调性可知：b>a>c. 24．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是(

) 345A．

945C．－

9[答案]

A 2[解析]

令底角为α，则顶角β＝π－2α，且cosα＝，

3∴sinα＝5，∴sinβ＝sin(π－2α)＝sin2α

35245×＝. 33925B．

925D．－

9＝2sinαcosα＝2×二、填空题

π5．函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是________．

4π[答案]

2π1－cos4x－2π[解析]

f(x)＝sin2(2x－)＝

4211＝－sin4x，

2219

2ππ∴T＝＝. 4256．已知θ为第三象限角，sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ＝________. 9[答案]

223

[解析]

sin4θ＋cos4θ＝59，

∴(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝59，

∴1－1sin2522θ＝9，

∴sin22θ＝89. ∵θ为第三象限角，

∴2kπ＋π<θ<2kπ＋3π2，k∈Z，

∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π，k∈Z，

∴sin2θ＝223. 三、解答题

7．若cos(π317π7π4＋x)＝5，12

(1)cosx＋sinx的值；

(2)sin2x＋2sin2x1－tanx的值．

[解析]

(1)由17π12

又∵cos(π4＋x)＝35，

∴sin(π4＋x)＝－45，

∴cosx＋sinx＝2sin(x＋π424)＝－5. (2)cosx＝cos[(ππ4＋x)－4] ＝cos(π4＋x)cosπππ4＋sin(4＋x)sin4

＝35×22－4225×2＝－10. 又由17π12

20

72∴sinx＝－1－cos2x＝－，

10∴tanx＝7，

2sinxcosx＋2sin2x28∴原式＝＝－. 751－tanxπ58．

已知α∈(，π)，sinα＝. 25π(1)求sin(＋α)的值；

45π(2)求cos(－2α)的值．

6π5[解析]

(1)∵α∈(，π)，sinα＝，

25∴cosα＝－1－5225＝－，

55πππ∴sin(＋α)＝sincosα＋cossinα

444＝2252510×(－)＋×＝－. 252510(2)由(1)得sin2α＝2sinαcosα

＝2×5254×(－)＝－，

5553cos2α＝2cos2α－1＝，

55π5π5π所以cos(－2α)＝coscos2α＋sinsin2α

666＝(－33＋43314)×＋×(－)＝－. 252510π39．

已知函数f(x)＝cosx·sin(x＋)－3cos2x＋，x∈R. 34(1)求f(x)的最小正周期；

ππ(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值．

44[解析]

(1)由已知，有

133f(x)＝cosx·(sinx＋cosx)－3cos2x＋

224133＝sinx·cosx－cos2x＋

224133＝sin2x－(1＋cos2x)＋

44413＝sin2x－cos2x

4421

1π＝sin(2x－)．

232π所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

2ππππ(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，

412124π1π1π1f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝，

4412244ππ11所以，函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－. 4442

22