复习参考题教学设计内容推荐

《三角函数》复习

【知识网络】

任意角的概念

学法：

1．注重化归思想的运用．如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等

2．注意数形结合思想的运用．如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案．

第1课

三角函数的概念

理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算；掌握终边相同角的表示方法；掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义；

掌握三角函数的符号法则。

知识典例：

1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成

．

2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边(

)

A．在x轴上

B．在y轴上

C．在直线y=x上

D．在直线y=－x上

3．已知角α的终边过点p(－5，12)，则cosα

，tanα=

．

4．

tan(－3)cot5的符号为

．

cos8和角公式

应用

差角公式

应用

应用

倍角公式

弧长公式

同角三角函数的基本关系式

诱导

公式

应用

计算与化简

证明恒等式

应用

应用

角度制与

弧度制

任意角的

三角函数

三角函数的

图像和性质

应用

已知三角函数值求角

5．若cosθtanθ＞0，则θ是(

) A．第一象限角

B．第二象限角

C．第一、二象限角 D．第二、三象限角

1

【讲练平台】

例1、已知角的终边上一点P（－

3

，m），且sinθ= 2 m，求cosθ与tanθ的值．

4分析：已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P的坐标可知，需求出m的值，从而应寻求m的方程．

解：由题意知r= 又∵sinθ= 3＋m2

，则sinθ= 2 m，

∴

4

m

= r

m

．

3＋m2

m2

=

m．

∴m=0，m=±5 ．

43＋m2

当m=0时，cosθ= －1 ，

tanθ=0 ；

当m= 5 时，cosθ= －

6 15 ，

tanθ= －

；

436 15 ，tanθ=

．

43当m= －

5 时，cosθ= －

点评：已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决．

例2 、已知集合E=｛θ｜cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tanθ＜sinθ}，求集合E∩F．

分析：对于三角不等式，可运用三角函数线解之．

π5ππ3π解：E=｛θ｜

＜θ＜}，

F =｛θ｜

＜θ＜π，或＜θ＜2π}，

4422π∴E∩F=｛θ｜＜θ＜π}．

2θθθ例3、设θ是第二象限角，且满足｜sin|= －sin

，是哪个象限的角?

222解：∵θ是第二象限角，

∴2kπ+ ∴kπ+ ∴π3π＜θ＜2kπ+

，k∈Z．

22πθ3π＜＜kπ+ ，k∈Z ．

424θ是第一象限或第三象限角．

①

2θθθθ又∵｜sin|= －sin

，

∴sin ＜0.

∴

是第三、第四象限的角．

②

2222由①、②知，

θ是第三象限角．

2θ或2θ等所在的象限，要运用终边相同的角的表示法来表示，否则易2点评：已知θ所在的象限，求

出错．

【知能集成】

注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标，求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式．

2

【训练反馈】

α1．

已知α是钝角，那么

是

（

）

2A．第一象限角

B．第二象限角

C．第一与第二象限角

D．不小于直角的正角

2．

角α的终边过点P（－4k，3k）(k＜0}，则cosα的值是（

）

A．

3 434

B．

C．－

D．－

55553．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是(

)

A．( C．( π3π5πππ5π，

)∪(π，

)

B．( ，

)∪(π，

)

244424π3π5π3πππ3π

，

)∪(，)

D．( ，

)∪(

，π)

2442424344．若sinx= －

，cosx =

，则角2x的终边位置在

(

)

55A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

5．若4π＜α＜6π，且α与－

2π

终边相同，则α=

．

36．

角α终边在第三象限，则角2α终边在

象限．

7．已知｜tanx｜=－tanx，则角x的集合为

8．如果θ是第三象限角，则cos(sinθ)·sin(sinθ)的符号为什么？

9．已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．

第2课

同角三角函数的关系及诱导公式

掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos2α=1，

sinα

=tanα，tanαcotα=1；

掌握正弦、余弦

cosα的诱导公式；能运用化归思想（即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题

．

【知识在线】

1．sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是

(

)

13119A．

B．

C．

D．

444432．已知sin(π+α)=－，则

(

)

54343A．cosα=

B．tanα=

C．cosα= －

D．sin(π－α)=

54553．已tanα=3，

4sinα－2cosα的值为

．

5cosα＋3sinα4．化简1+2sin(π-2)cos(π+2) =

．

3

55．已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ= ，那么sin2θ等于

(

)

9A．

22 22 22

B．－

C．

D．－

3333【讲练平台】

例1、化简

sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)

．

cos(π-α)tan(3π-α)

分析：式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．

cosαsinα·

sinα（-sinα）tanα［-cot(α+π) ］(-sinα)tanα(-cotα)

解

原式=

=

=

=1 ．

(-cosα)tan(π-α)

(-cosα)(-tanα)

cosα

点评

将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法．

ππ1

例2、

若sinθcosθ=

，θ∈(

，)，求cosθ－sinθ的值．

842

分析：已知式为sinθ、cosθ的二次式，欲求式为sinθ、cosθ的一次式，为了运用条件，须将cosθ－sinθ进行平方．

13

解：(cosθ－sinθ)2=cos2θ+sin2θ－2sinθcosθ=1－

=

．

44ππ3 ∵θ∈(

，)，∴

cosθ＜sinθ．

∴cosθ－sinθ= －

．

422

变式1 ：条件同例，

求cosθ+sinθ的值．

变式2 ：已知cosθ－sinθ= －

3

，

求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．

2

点评

：sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二．

例3 、已知tanθ=3．求cos2θ+sinθcosθ的值．

分析：因为cos2θ+sinθcosθ是关于sinθ、cosθ的二次齐次式，所以可转化成tanθ的式子．

cos2θ+sinθcosθ1+tanθ2

解

：原式=cosθ+sinθcosθ=

= 222

=

．

5

cosθ+sinθ

1+tanθ2

点评：

1．关于cosθ、sinθ的齐次式可转化成tanθ的式子．

2．注意1的作用:1=sin 2θ+cos2θ等．

【知能集成】

1．在三角式的化简，求值等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数．

2．注意1的作用：如1=sin 2θ+cos2θ．

3．要注意观察式子特征，关于sinθ、cosθ的齐次式可转化成关于tanθ的式子．

4．运用诱导公式，可将任意角的问题转化成锐角的问题

．

【训练反馈】

4

1．sin600°的值是（

）

113 3 A．

B．－

C．

D．－

2222ππ2．

sin(+α)sin（－α）的化简结果为（

）

4411A．cos2α

B．cos2α

C．sin2α

D．

sin2α

2213．已知sinx+cosx=，x∈［0，π］，则tanx的值是

（

）

534434A．－

B．－

C．±

D．－或－

43343114．已知tanα=－，则

=

．

3

2sinαcosα+cos2α5．

1－2sin10°cos10°

cos10°－1－cos170°

2的值为

．

1+2sinαcosα1+ tanα6．证明．

22

=

cosα－sinα

1－tanα2sinθ+cosθ7．已知=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．

sinθ－3cosθ

8．已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ，cosα－cosγ=cosβ，求α－β的值．

第3课

两角和与两角差的三角函数（一）

掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．

【知识在线】

1．cos105°的值为（

）

A．6 ＋2 6 －2 2 －6 －6 －2

B．

C．

D．

44

44π），sin(α+β)与sinα+sinβ的大小关系是

（

）

22．对于任何α、β∈（0，A．sin(α+β)＞sinα+sinβ

B．sin(α+β)＜sinα+sinβ

C．sin(α+β)=sinα+sinβ

D．要以α、β的具体值而定

3π3．已知π＜θ＜，sin2θ=a，则sinθ+cosθ等于（

）

2A．

a+1

B．－

a+1

C．

a2+1

D．±a2+1

114．已知tanα=，tanβ=，则cot(α+2β)=

．

33

5

15．已知tanx=，则cos2x=

．

2【讲练平台】

11

例1、已知sinα－sinβ=－

，cosα－cosβ=，求cos(α－β)的值

．

32

分析

：由于cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知条件是关于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以将已知式两边平方．

11

解

：

∵sinα－sinβ=－

①

；cosα－cosβ=

②

32①2

＋②2

，得2－2cos(α－β)= 1372

；

∴cos(α－β)= ．

3659

点评：审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．

例2 、求

2cos10°-sin20°的值

．

cos20°

分析

：式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．

2cos(30°-20°)-sin20°解：

∵10°=30°－20°，

∴原式=

cos20°= 2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20°3 cos30°=

=3 ．

cos20°

cos20°

点评：化异角为同角，是三角变换中常用的方法．

例3 、已知：sin(α+β)=－2sinβ．求证：tanα=3tan(α+β)．

分析：

已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．

解：

∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，

∴sin［(α+β)+α］=－2sin［(α+β)－α］．

∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=－2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα．

若cos(α+β)≠0 ，cosα≠0，则3tan(α+β)=tanα．

点评：审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体

【知能集成】

审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想．

【训练反馈】

π341．已知0＜α＜＜β＜π，sinα=，cos(α+β)=－，则sinβ等于（

）

255242424A．0

B．0或

C．

D．0或－

252525

6

2．

sin7°+cos15°sin8°

的值等于（

）

cos7°－sin15°sin8°A．2+3

B．

2－3 2+3

C．2－3

D．

223．

△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为（

）

A．

π5ππ5ππ2π

B．

C．

或

D．

或

666633π1)= ，则cosα的值是

．

634．若α是锐角，且sin(α－π2π3π5．coscoscos

=

．

777116．已知tanθ=，tanφ=，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．

23π3π447．已知cos(α－β)=－，cos(α+β)= ，且（α－β）∈（，π），α+β∈（，2π），求cos2α、5522cos2β的值．

tanα11

8．

已知sin(α+β)= ，且sin(π+α－β)= ，求．

23tanβ第4课

两角和与两角差的三角函数（二）

掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题．

【知识在线】

求下列各式的值

1．cos200°cos80°+cos110°cos10°=

．

12．（cos15°+3 sin15°）=

．

23．化简1+2cos2θ－cos2θ=

．

4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)=

．

115．－

=

．

1－tanθ1＋tanθ【讲练平台】

例1、求下列各式的值

（1）tan10°＋tan50°+3

tan10°tan50°；

(2)

（3 tan12°-3）csc12°．

4cos 212°-2(1)解：原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+3 tan10°tan50°=3 ．

分析：式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．

7

sin12°331（3 ·－3）cos12°

sin12°cos12sin12

解：原式=

=2 cos24°2cos241323(sin12cos12)3sin123cos1222=

12sin12cos12cos24sin482=43sin(1260)43.

sin48

点评：（1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB），asinx+bsinx=absin(x+φ)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．

1+sin4θ-cos4θ1+sin4θ+cos4θ例2 、求证

=

．

2 tanθ

1-tan2θ分析：三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式．

由欲证的等式可知，可先证等式1+sin4θ-cos4θ2tanθ

=

，此式的右边等于tan2θ，而此式的左

1+sin4θ+cos4θ

1-tan2θ22边出现了“1－cos4θ”和“1+cos4θ”，分别运用升幂公式可出现角2θ，sin4θ用倍角公式可出现角2θ，从而等式可望得证．

点评：注意倍角公式cos2α=2cos2α－1，cos2α=1－2sin2α的变形公式：①升幂公式1+cos2α=2cos 2α，1－cos2α=2sin2α，②降幂公式sin2α= 1-cos2α1＋cos2α

，cos2α=

的运用；三角恒等22式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等．

π7πsin2x＋sin2xtanx317π

例3 、已知cos(+x)= ，＜x＜

，求的值．

45124

1-tanxπtan＋tanx4sin2x（1＋tanx）π解：原式= =sin2x×

=sin2xtan（+x）

1-tanx4π

1-tantanx4πππ= －cos［2(x+)］tan(x+)= －［2cos2(x+ )－1］tan（+x）

44417π7π5ππ∵＜x＜

，

∴

＜x+＜2π．

12434ππ44∴sin(+x) = －

，∴tan（+x ）=－

．

4543∴原式

= －

28．

75

8

π

点评

：（1）注意两角和公式的逆用；（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如1=tan

等；（3）4注意化同角，将所求式中的角x转化成已知条件中的角x+ 【知能集成】

在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式：

tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB］；

asinx+bcosx=absin(x+φ)及升幂、降幂公式的运用．

【训练反馈】

1．cos75°+cos15°的值等于

（

）

A．

2．a=6 6 2 2

B

－

C．

－

D．

22222 2 （sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c= ，则（

）

2222π．

4A．c＜a＜b

B．

b＜c＜a

C．

a＜b＜c

D．

b＜a＜c

1+sin2θ-cos2θ3．化简=

．

1+sin2θ+cos2θ4．化简sin(2α+β)－2sinαcos(α+β)=

．

ACAC5．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan+tan+3 tantan的值为

．

22226．化简sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)．

7 化简sin50°(1+3 tan10°)．

8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．

第5课

三角函数的图象与性质（一）

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质．

【知识在线】

1．若3 +2cosx＜0，则x的范围是

．

2．下列各区间，使函数y=sin(x+π)的单调递增的区间是（

）

ππππA．[，π]

B．

［0，］

C．

［－π，0］

D．

[，] 2442π3．下列函数中，周期为的偶函数是

（

）

2A．y=sin4x

B．

y=cos22x－sin22x

C．

y=tan2x

D．

y=cos2x 4．判断下列函数的奇偶性

9

（1）y=xsinx+x2cos2x是

函数；

（2）y=｜sin2x｜－xcotx是

函数；

7π（3）y=sin(+3x)是

函数．

25．函数f(x)=cos(3x+φ)是奇函数，则φ的值为

．

【讲练平台】

例1 ：（1）函数y=lg(1tanx)12sinx的定义域为

(2)若α、β为锐角，sinα＜cosβ，则α、β满足

（C）

ππA．α＞β

B．α＜β

C．α+β＜

D．

α+β＞

22分析：（1）函数的定义域为1-tanx0,

(*)

的解集，由于y=tanx的最小正周期为π，y=sinx的最1-2sinx0.π3π小正周期为2π，

所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanx和y=sinx的图象先求出(－，

)22ππ5π上满足（*）的x的范围，再据周期性易得所求定义域为{x｜2kπ－＜x＜2kπ+

，或2kπ+ ＜

x2665π＜2kπ+

，k∈Z} ．

4π

分析：（2）sinα、cosβ不同名，故将不同名函数转化成同名函数，

cosβ转化成sin(

－β)，运用2πy=sinx在［0，］的单调性，便知答案为C．

2

点评：（1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小．

例2、判断下列函数的奇偶性：

(1)y= sinxcosx1sinxcosx.

；

(2)y=1cosx1sinxcosxf(x)

分析：讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f(－x)或－f(x) ．

x

解

、（1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos2

，所以分母为偶函数，2所以原函数是奇函数．

ππ（2）定义域不关于原点对称（如x=－，但x≠），故不是奇函数，也不是偶函数．

22

点评：

将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性．

10

例3 、求下列函数的最小正周期：

sin2xsin(2x)ππ3.

（1）y=sin(2x－)sin(2x+ ) ；(2)y= 63cos2xcos(2x)3

分析

：对形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简．

ππππ1

解

（1）y=sin(2x－)sin(2x+ －)= sin(4x－)，

626232ππ所以最小正周期为

=

．

421(cos2x)2（2）y=1cos2x(cos2x)(sin2x)2sin2x(sin2x)tan2x33sin2x2=233cos2x223cos2x2

3sin2x233tan2x13tan(2x).



=63tan2x31tan2x3π∴是小正周期为．

2

点评

：求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin(ωx+φ)＋k或y=Acos(ωx+φ) ＋k或y=Atan(ωx+φ) ＋k的形式（其中A、ω、φ、k 为常数，ω≠0）．

例4 、

已知函数f(x)=5sinxcosx－53cos2x+53

(x∈R) ．

2(1)求f(x)的单调增区间；（2）求f(x)图象的对称轴、对称中心．

分析

：

函数表达式较复杂，需先化简．

π51+cos2x53解：

f(x)= sin2x－53×＋

=5sin(2x－)．

2232ππππ5π（1）由2kπ－≤2x－≤2kπ+，得［kπ－

，kπ+］（k∈Z）为f(x)的单调增区间．

2321212（2）令2x－

ππ5π5πkk=kπ+，得x= π+

（k∈Z），则x= π+

（k∈Z）为函数y=f(x)图象的对32212212ππk称轴所在直线的方程，令2x－

=kπ，得x=π+

（k∈Z），

326πk∴

y=f(x)图象的对称中心为点（π+，0）（k∈Z）．

26

11

点评

：研究三角函数的性质，往往需先化简，以化成一个三角函数为目标；讨论y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)的单调区间，应将ωx+φ看成一个整体，设为t，从而归结为讨论y=Asint的单调性．

【知能集成】

讨论较复杂的三角函数的性质，往往需要将原函数式进行化简，其目标为转化成同一个角的同名三角函数问题．讨论三角函数的单调性，解三角不等式，要注意数形结合思想的运用．注意函数性质在解题中的运用：若一个函数为周期函数，则讨论其有关问题，可先研究在一个周期内的情形，然后再进行推广；若要比较两个角的三角函数值的大小，可考虑运用三角函数的单调性加以解决．

【训练反馈】

1．函数y=lg(2cosx－1)的定义域为（

）

A．{x｜－ππππ3＜x＜3}

B．{x｜－6＜x＜6｝

C．{x｜2kπ－ππππ3＜x＜2kπ+3，k∈Z} D．{x｜2kπ－6＜x＜2kπ+6，k∈Z}

2．如果α、β∈（π2，π），且tanα＜cotβ，那么必有

（

）

A．α＜β

B．

β＜α

C．

α+β＜3π2

D．

α+β＞3π2

3．若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是

（

）

A．sinx

B．

cosx

C．

sin2x

D．

cos2x

4．下列命题中正确的是（

）

A．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sinα＞sinβ

B．函数y=sinxcotx的单调递增区间是（2kπ－ππ2，2kπ+2），k∈Z C．函数y=1－cos2x

sin2x

的最小正周期是2π

D．函数y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的图象关于y轴对称，则φ=kππ2＋4，k∈Z 5．函数y=sinxx2+cos2在（－2π，2π）内的递增区间是

．

6．y=sin6x+cos6x的周期为

．

7．比较下列函数值的大小：

（1）sin2，sin3，sin4；

(2)cos2θ，sin2θ，tan2θ（π4＜θ＜π2）．

8．设f(x)=sin(kπ5x+3) (k≠0)

．

12

(1)写出f(x)的最大值M，最小值m，以及最小正周期T；

（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个M与m．

第6课

三角函数的图象与性质（二）

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解参数A、ω、φ的物理意义．掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换．会根据图象提供的信息，求出函数解析式．

【知识在线】

1．将y=cosx的图象作关于x轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是

（

）

A．y=cosx+1

B．y=cosx－1

C．y=－cosx+1

D．y=－cosx－1 2．函数f(x)=sin3x图象的对称中心的坐标一定是

（

）

11A．

(kπ，0)，

k∈Z

B．（kπ，0），

k∈Z 231C．（kπ，0），

k∈Z

D．（kπ，0），k∈Z 4π3．函数y=cos(2x+)的图象的一个对称轴方程为

（

）

2πππA．x=－－

B．x=－

C．x=

D．x=π

248ππ4．为了得到函数y=4sin(3x+)，x∈R的图象，只需把函数y=3sin(x+)的图象上所有点（

）

44A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变

1B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

3C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变

1D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变．

35．要得到y=sin(2x－

π)的图象，只需将y=sin2x的图象（

）

3ππA．向左平移个单位

B．

向右平移个单位

33ππC．向左平移个单位

D．

向右平移个单位

66【讲练平台】

π

例1 、函数y=Asin（ωx+φ)(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜)的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低2

13

点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式．

分析：求函数的解析式，即求A、ω、φ的值．A与最大、最小值有关，易知A=2，ω与周期有关，T1x由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即=3π．得

T=6π，所以ω=．所以y=2sin(+φ），又233xπ图象过点（0，1），所以可得关于φ的等式，从而可将φ求出，易得解析式为y=2sin(

＋）．

36

点评

：y=Asin(ωx+φ)中的A可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，ω由周期的大小确定，φ的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由φ的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例）．

例2 、右图为某三角函数图像的一段

（1）试用y=Asin（ωx+φ)型函数表示其解析式；

3 （2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．

13ππ解：（1）T= －

=4π．

33O －3

π

313π

3y x 2π1∴ω=

=

．又A=3，由图象可知

T2πx所给曲线是由y=3sin 沿x轴向右平移

而得到的．

23π1∴解析式为

y=3sin

(x－)．

23ππ1(2)设（x，y)为y=3sin(

x－

）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2π的26π11对称点应为（4π－x，y)，故与y=3sin(

x－）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin［（4π－x)262－

ππ1］=－3sin(

x＋）．

626|φ|

点评

：

y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sinωx的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）个ω单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．

13

例3、已知函数y=cos2x+ sinxcosx+1 (x∈R)．

22(1)当y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

π11+cos2x3 115解

(1)y= ·

+ ·

sin2x +1= sin(2x+)+

．

2222264πππ7当2x+

=2kπ+

，即x=kπ+，k∈Z时，ymax= ．

6264

14

π1(2）由y=sinx图象左移个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），其次将6215图象上各点纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），最后把图象向上平移

个单位即可．

24

思考：还有其他变换途径吗？若有，请叙述．

点评

：（1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语．（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化．

【知能集成】

已知三角函数y=Asin(ωx+φ）的图象，欲求其解析式，必须搞清A、ω、φ和图象的哪些因素有关；y=sinωx和y=sin(ωx+φ)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心．

【训练反馈】

11．函数y= sin(2x+θ)的图象关于y轴对称的充要条件是

（

）

2ππA．θ=2kπ+

B．θ=kπ+

C．θ=2kπ+π

D．θ=kπ+π(k∈Z) 22π2．先将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，则所得函数图3象对应的解析式为

（

）

ππA．y=sin(－2x+

)

B．y=sin(－2x－) 33C．y=sin(－2x+ 2π2π

)

D．

y=sin(－2x－) 33y 1 1 －1 3．右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，

那么f(x)可以写成（

）

A．sin(1+x)

B．

sin(－1－x)

C．sin(x－1)

D．

sin(1－x) 1π4．y=tan(x－)在一个周期内的图象是（

）

23

y

y y x y 25x

O 333A O 

27x 636B 2O 

4x

333C 

5x 636D O 15

5．已知函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是

．

6．将y=sin(3x－

ππ)的图象向（左、右）

平移

个单位可得y=sin(3x+）的图像．

63π4π117．已知函数y=Asin(ωx+φ)，在同一个周期内，当x=时取得最大值，当x=时取得最小值－

，若A9292π＞0，ω＞0，｜φ｜＜，求该函数的解析表达式．

28．已知函数y=3 sinx+cosx，x∈R．

(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合；

（2）该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

9．如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b．

（1）求这段时间的最大温差；

（2）写出这段曲线的函数解析式．

20 y 温度/ ℃

30

第7课

三角函数的最值

掌握基本三角函数y=sinx和y=cosx的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题．

【知识在线】

10 时间/h 6 10 14 π11．已知（1）cos2x=1.5 ；(2)sinx－cosx=2．5 ；(3)tanx+

=2 ；(4)sin3x=－

．上述四个等式成立的是

tanx4（

）

A．（1）（2）

B．（2）（4）

C．（3）（4）

D．（1）（3）

π5ππ2．当x∈R时，函数y=2sin(2x+)的最大值为

，最小值为

，当x∈〔－，

〕时函122424数y的最大值为

，最小值为

.

3．函数y=sinx－3 cosx的最大值为

，最小值为

．

4．函数y=cos2x+sinx+1的值域为

．

【讲练平台】

16

例1、求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此时x的值．

分析：由于f（x）的表达式较复杂，需进行化简．

π

解：y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+)+2

4πππ当2x+=2kπ+，

即x=kπ+

(k∈Z)时，ymax= 2 +2 ．

428点评：要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= a2+b2

sin（x+φ）．

πππ

例2 、若θ∈［－, ］，求函数y=cos(+θ）+sin2θ的最小值．

12124

分析：在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．

ππππ

解：y=cos(+θ)－cos［2(θ+)］=cos(+θ)－［2cos2(θ+)－1］

4444ππππ1=－2cos2(θ+)+cos(+θ)+1 =－2［cos2(θ+)－cos(θ+)］+1

44424π19=－2［cos(θ+)－］2+

．

448πππππ∵θ∈［－, ］，

∴θ＋∈［，］．

1212463π3 －113 ∴≤cos(θ+)≤，

∴y最小值

=

．

2422点评：（1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx，cosx的有界性，通过换元转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint和y=Acost的单调性求出最值．

例3、试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．

分析：由于sinx+cosx与sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，则原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题．

13解：令t=sinx+cosx，则y=t+t2+1=(t+)2+，且t∈［－2 ，2 ］，

243∴ymin=

，ymax=3+ 2 ．

4点评：注意sinx+cosx与sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某个区间上的最值问题．

【知能集成】

较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y=

17

Asin(ωx+φ)+k型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx与sinxcosx的关系，令sinx+cosx=t，则sinxcosx=t2－12

．

【训练反馈】

1．函数y=12+sinx+cosx

的最大值是

（

）

A．2 2

－1

B．

2 2

＋1

C．

1－

2 2 2

D．

－1－

2

2．若2α+β=π，则y=cosβ－6sinα的最大值和最小值分别为

（

）

A．7，5

B．

7，－112

C．

5，－112

D．

7，－5 3．当0≤x≤π2时，函数f(x)= sinx+1

cosx+1的

（

）

A．最大值为2，最小值为12

B．最大值为2，最小值为0

C．最大值为2，最小值不存在

D．最大值不存在，最小值为0

4．已知关于x的方程cos2x－sinx+a=0，若0＜x＜π2时方程有解，则a的取值范围是（

）

A．［－1，1］

B．（－1，1）

C．［－1，0］

D．（－∞，－54）

5．要使sinα－3 cosα= 4m－6

4－m有意义，则m的取值范围是

．

6．若f(x)=2sinωx(0＜ω＜1），在区间［0，π3］上的最大值为2 ，则ω=

．

三、解答题

7．y=sinxcosx+sinx+cosx，求x∈［0，

π3］时函数y的最大值．

8．已知函数f(x)=－sin2x－asinx+b+1的最大值为0，最小值为－4，若实数a＞0，求a，b的值．9．已知函数f(x)=2cos2x+3 sin2x+a，若x∈［0，π2］，且｜f(x)｜＜2，求a的取值范围．

第1课

三角函数的概念

【知识在线】

1．{α|α=kπ+ π4

，k∈Z}

2．

A

3.－

51213

，

－

5

．

4．＋

5．

C

【训练反馈】

1．

A

2．

B

3．

B

4．

D

5．16π3

6．一、二

7．{2kπ+ π2＜x＜2kπ+π或2kπ+3π2＜x＜2kπ+2π

，k∈Z}

8．负

9．

2cm2．

18

第2课

同角三角函数的关系及诱导公式

【知识在线】

1．

A

2．

D

3．57

4．sin2－cos2

5．

A

【训练反馈】

1．

D

2．

B

3．

B

4．107π3

5．

1

6．

略

7．5

8．－3

第3课

两角和与两角差的三角函数（一）

【知识在线】

1．

C

2．

B

3．

B

4．132

5．5

【训练反馈】

1．

C

2．

C

3．

A

4．26 －116

5．

8

6．略

7．

cos2α=－7125，cos2β=－1

8．

5

第4课

两角和与两角差的三角函数（二）

【知识在线】

1．－

12

2．

2 2

3．

2

4．

2 2

5．tan2θ

【训练反馈】

1．

A

2．

A

3．

tan θ

4．

sinβ

5．

3

6．

sin2（A＋B）．7. 1

8 .略．

第5课

三角函数的图象与性质（一）

【知识在线】

1．

2kπ＋5π6＜x ＜2kπ＋

7π6，k∈Z

2．

B

3．

B

4．（1）偶

（2）偶

（3）偶

5．

kπ＋

π2，k∈Z

【训练反馈】

1．

C

2．

C

3．

B

4．

D

5．

[－

3π2

, π)

6．

π2

7．（1）sin4 ＜sin3＜

sin2

（2）cos2θ＜sin2θ＜tan2θ

8．（1）M=1，m=－1，T= 2π = 10π（k≠0）． （2）k=32． | k

5 | | k |第6课

三角函数的图象与性质（二）

19

【知识在线】

1．

D

2．

B

3．

B

4．

B

5．

D

【训练反馈】

π1．

B

2．

D

3．

D

4．

A

5．

4 π

6．左，

6πππ17．

y=

sin(3x+)

8．（1）{x｜x=+2kπ，k∈Z｝；

（2）将y=sinx的图象向左平移，得到函2636数y=sin(x+的图象．

π3π9．（1）最大温差20℃；

（2）y=10sin(x+）＋20，x∈[6，14]．

84第7课

三角函数的最值

【知识在线】

13 91．

C

2．

2 ，

－2 ，

，－

3．

2，－2

4．

[0, ]

224【训练反馈】

731．

B

2．

D

3．

A

4．

A

5．

－1≤m≤

6．

3417．+2

8．a=2,

b=－2

9．－2＜a＜－1

2

ππ）的图象，再将所得图象上各点横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=2sin(x+）66

20