复习参考题特级教师教学实录

高二学业水平考试数学复习学教案（必修五）

第二课时

等差数列及前n项和

南县第一中学

黄永红

【教学目标】

1.掌握等差数列的概念通项公式及求和公式特点，并能够熟练应用

2.通过典例探究，培养学生归纳、类比，运用的综合思维能力，掌握转化化归的数学思想,提高学生数学素质。

【教学重点】

1.

探究并获得等差数列的通项公式前n项和公式

2.

应用公式解决实际问题

【教学难点】

灵活选择恰当的方法求数列的通项公式

【考点及考试要求】

1.求值类的计算

2.求数列的通项公式，证明数列是等差数列

3.求数列的前n项的和

4.数列的单调性最值问题

【授课类型】

复习课

【教学设计】

一、知识梳理

1．等差数列的定义

如果一个数列从第

2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数

，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的

公差

，通常用字母

d

表示．

2．等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.. 3．等差中项

如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：anam(nm)d

(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq (m，n，p，q∈N*)．

第

1 页

共

5 页

高二学业水平考试数学复习学教案（必修五）

5．等差数列的前n项和公式

na1＋an若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差2nn－1是d，则其前n项和公式为Sn＝Sn＝na1＋2d

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于(

C

)．

A．4

B．5

C．6

D．7 2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(

B

)．

A．31

B．32

C．33

D．34 3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(

C

)．

A．13

B．35

C．49

D．63 4．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝___16____.

考向一

等差数列基本量的计算

【例1】►(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．

解

(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3. 解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n. n[1＋3－2n]2所以Sn＝＝2n－n. 2第

2 页

共

5 页

高二学业水平考试数学复习学教案（必修五）

进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35. 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7为所求．

等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之．如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以．体现了用方程思想解决问题的方法．

考向二

等差数列的判定或证明

【例2】►已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，11a1＝2.

(1)求证：S是等差数列；

(2)求an的表达式．

n(1)证明

∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，

11∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴S－＝2(n≥2)．

nSn－1111由等差数列的定义知S是以S＝a＝2n11为首项，以2为公差的等差数列．

11(2)解

由(1)知S＝S＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，

n111∴Sn＝2n.当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝－，

2nn－112，n＝1，1又∵a1＝2，不适合上式，∴an＝1－2nn－1，n≥2.

等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断．

考向三

等差数列前n项和的最值

【例3】►设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式；

(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．

解

(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得

第

3 页

共

5 页

高二学业水平考试数学复习学教案（必修五）

a1＋2d＝5，a1＝9，可解得

a1＋9d＝－9，d＝－2.数列{an}的通项公式为an＝11－2n. (2)由(1)知，Sn＝na1＋nn－12d＝10n－n. 2

因为Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．

求等差数列前n项和的最值，常用的方法：

(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．

(2)利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．

考向四

等差数列性质的应用

【例4】►设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180(n＞6)，求数列的项数n. 解

由题意可知a1＋a2＋…＋a6＝36①

an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180②

①＋②得

(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216. na1＋an∴a1＋an＝36.又Sn＝＝324，

2∴18n＝324. ∴n＝18. 本题的解题关键是将性质m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq与前nna1＋an项和公式Sn＝结合在一起，采用整体思想，简化解题过程．

2三、巩固练习

1、选择题：

1已知ann2+n,那么

A、0是数列中的一项

B、21是数列中的一项 C、702是数列中的一项 D、以上都不对

第

4 页

共

5 页

高二学业水平考试数学复习学教案（必修五）

2、已知等差数列an中，a1则公差的取值范围是1，第10项是第一个比1大的项，25A、d>838383 B、d< C、

7525752575252、填空题：

（3）、在ABC中，三内角A,B,C成等差数列，则B=————————。4、等差数列an前n项和Sn，若S22，S410，则S6?———.5如果fn+1=fn+1，且f1=2，则f100________.

6、等差数列的前三项依次是x,2x+1，4x+2,则它的第5项是————.7、an2n7,则a13、解答题：

a2a15————.

8、已知数列an满足Sn2n225n

1求an的通项公式；2求an中所有负数项的和。

9、等差数列an中，a11求Sn；2求Sn最大时的n值。25,S17S9.

第

5 页

共

5 页