2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学实录与评析

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3

平面向量的坐标运算

1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(难点) 2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.(重点) 3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(易混点)

[基础·初探]

教材整理1

平面向量的正交分解及坐标表示

阅读教材P94～P95内容，完成下列问题. 1.平面向量的正交分解：

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示：

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示.显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) →(1)若OA＝(2，－1)，则点A的坐标为(2，－1).(

) (2)若点A的坐标为(2，－1)，则以A为终点的向量的坐标为(2，－1).(

) (3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的.(

) 【解析】

(1)正确.对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同. (2)错误.以A为终点的向量有无数个，它们不一定全相等. (3)正确.由平面向量坐标的概念可知. 【答案】

(1)√

(2)×

(3)√

教材整理2

平面向量的坐标运算

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阅读教材P96“思考”以下至P97例4以上内容，完成下列问题. 1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和. 2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差. 3.若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 4.向量坐标的几何意义：

图2-3-13 →→在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则OA＝(x，y)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1).如图2-3-13所示.

1.已知a＝(2,1)，b＝(3，－2)，则3a－2b的坐标是(

) A.(0，－7)

C.(－1,3)

【解析】

3a－2b＝3(2,1)－2(3，－2) ＝(6,3)－(6，－4)＝(0,7). 【答案】

B →2.已知A(3,1)，B(2，－1)，则BA的坐标是(

) A.(－2，－1)

C.(1,2)

→【解析】

BA＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2). 【答案】

C B.(2,1) D.(－1，－2) B.(0,7) D.(12，－1)

[小组合作型]

平面向量的坐标表示

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→

(1)已知AB＝(1,3)，且点A(－2,5)，则点B的坐标为(

) A.(1,8)

C.(3,2)

B.(－1,8) D.(－3,2) →→(2)如图2-3-14，在正方形ABCD中，O为中心，且OA＝(－1，－1)，则OB＝________；→→OC＝________；OD＝________.

图2-3-14

图2-3-15 (3)如图2-3-15，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求点B→→和点D的坐标和AB与AD的坐标. 【精彩点拨】

表示出各点的坐标→用终点坐标减去起点坐标→得相应向量的坐标

→【自主解答】

(1)设B的坐标为(x，y)，AB＝(x，y)－(－2,5)＝(x＋2，y－5)＝(1,3)，所x＋2＝1，x＝－1，以解得

y－5＝3，y＝8，

所以点B的坐标为(－1,8). →→(2)如题干图，OC＝－OA＝－(－1，－1)＝(1,1)，

→由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以OB＝(1，－1)，

→同理OD＝(－1,1). 【答案】

(1)B

(2)(1，－1)

(1,1)

(－1,1) (3)由题意知B, D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点.设B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函数的定义，

得x1＝cos 30°＝所以B31. 2，231，y1＝sin 30°＝，

223/9

1x2＝cos 120°＝－，

2y2＝sin 120°＝3，

213所以D－，. 223113→→所以AB＝，，AD＝－，. 2222

求点、向量坐标的常用方法：

(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标. (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.

[再练一题]

1.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，→→→→D为AC的中点，分别求向量AB，AC，BC，BD的坐标. 【导学号：00680048】

【解】

如图，正三角形ABC的边长为2，

则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，

13∴C(1，3)，D，，

22→→∴AB＝(2,0)，AC＝(1，3)，

→BC＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，

1333→BD＝－2，－0＝－，. 2222

平面向量的坐标运算

→→→→

(1)设AB＝(2,3)，BC＝(m，n)，CD＝(－1,4)，则DA等于(

) A.(1＋m,7＋n) B.(－1－m，－7－n) 4/9

C.(1－m,7－n) D.(－1＋m

，－7＋n) 1→→→(2)已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量AB的坐标是(

) 21－4，

A.23－1，－

C.214，－

B.2D.(8,1)

→→→1→(3)若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB＋2BC，BC－AC的2坐标. →→→→【精彩点拨】

(1)可利用向量加法的三角形法则将DA分解为DC＋CB＋BA来求解. 1→→→→(2)可借助AB＝OB－OA来求AB坐标. 2→(3)可利用AB＝(xB－xA，yB－yA)来求解. →→→→【自主解答】

(1)DA＝DC＋CB＋BA

→→→＝－CD－BC－AB

＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3) ＝(－1－m，－7－n). 1→1→→(2)AB＝(OB－OA) 221＝[－5，－1－3，－2]

21111→－4，，∴AB＝－4，. ＝(－8,1)＝2222【答案】

(1)B

(2)A →→→(3)∵AB＝(－2,10)，BC＝(－8,4)，AC＝(－10,14)，

→→∴AB＋2BC＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8) ＝(－18,18)，

1→1→BC－AC＝(－8,4)－(－10,14) 22＝(－8,4)－(－5,7) 5/9

＝(－3，－3).

平面向量坐标的线性运算的方法：1若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.3向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.

[再练一题]

2.已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：

11(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 23【解】

(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). 1111(3)a－b＝(－1,2)－(2,1) 232312172－，1－，＝－，. ＝23363[探究共研型]

向量坐标运算的综合应用

→→→探究1

已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP＝OA＋tAB.当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？

→→→【提示】

∵OP＝OA＋tAB＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t). 若点P在x轴上，则2＋3t＝0，

2∴t＝－. 3若点P在y轴上，则1＋3t＝0，

1∴t＝－. 31＋3t<0，若点P在第二象限，则

2＋3t>0，

2若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.

21∴－

对于探究1条件不变，四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由. 6/9

→→【提示】

∵OA＝(1,2)，PB＝(3－3t,3－3t). 若四边形OABP为平行四边形，

→→则OA＝PB，

3－3t＝1，∴该方程组无解. 3－3t＝2，

故四边形不能成为平行四边形.

已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10).若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，

(1)点P在一、三象限角平分线上；

(2)点P在第三象限内. 【导学号：70512032】

【精彩点拨】

解答本题可先用λ表示点P的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解. 【自主解答】

设点P的坐标为(x，y)，

则AP＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，

AB＋λ·AC＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]

＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ). ∵AP＝AB＋λAC，

x－2＝3＋5λ，x＝5＋5λ，∴则

y－3＝1＋7λ，y＝4＋7λ.→→→→→→→→→

(1)若P在一、三象限角平分线上，

1则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝，

21∴λ＝时，点P在一、三象限角平分线上. 25＋5λ<0，(2)若P在第三象限内，则∴λ<－1. 4＋7λ<0，

当λ<－1时，点P在第三象限内.

1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用. 2.坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.

[再练一题]

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λ3.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图2-3-16所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝μ________.

图2-3-16 【解析】

以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3).由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝1λ－2，μ＝－，则＝4. 2μ【答案】

4

→→→1.已知OA＝(4,8)，OB＝(－7，－2)，则3AB＝(

) A.(－9,18)

C.(－33，－30)

B.(9，－18) D.(33,30) →→→【解析】

3AB＝3(OB－OA)＝3[(－7，－2)－(4,8)]＝(－33，－30). 【答案】

C 2.若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a＋2b的坐标是(

) A.(5,3)

C.(8,3)

【解析】

3a＋2b＝3(2,1)＋2(1,0)＝(8,3). 【答案】

C →→→3.若向量AB＝(1,2)，BC＝(3,4)，则AC等于(

) A.(4,6)

C.(－2，－2)

B.(－4，－6) D.(2,2) B.(4,3) D.(0，－1) →→→【解析】

由AC＝AB＋BC＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6).故选A. 【答案】

A →4.已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为________.

【导学号：00680049】

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→34AB1→→，－. 【解析】

AB＝(3，－4)，则与AB同方向的单位向量为＝(3，－4)＝55→5|AB|34，－

【答案】

55→→→→→5.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，CM＝3CA，CN＝2CB，求MN的坐标. →【解】

因为A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，所以CA＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)，

CB→＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，

所以CM→＝3CA→＝(3,24)，

CN→＝2CB→＝(12,6). 设M(x，y)，则CM→＝(x＋3，y＋4)，

即x＋3＝3，

x＝0，y＋4＝24，解得y＝20，

所以M(0,20)，同理可得N(9,2)，

所以MN→＝(9－0,2－20)＝(9，－18). 9/9