复习参考题优秀教学设计

第三章

三角恒等变换

章末复习

学习目标

1.进一步掌握三角恒等变换的方法. 2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明. 1、知识梳理

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

cos(α－β)＝____cos αcos β＋sin αsin β_. cos(α＋β)＝__cos αcos β－sin αsin β____ sin(α＋β)＝___ sin αcos β＋cos αsin β

sin(α－β)＝__ sin αcos β－cos αsin β__. tan α＋tan βtan(α＋β)＝_____. 1－tan αtan βtan(α－β)＝__tan α－tan β__. 1＋tan αtan β2.二倍角公式

sin 2α＝2sin αcos α

cos 2α＝cos2α－sin2α

＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tan αtan 2α＝_____. 1－tan2α3.升幂缩角公式

1＋cos 2α＝__.2cos2α___ 1－cos 2α＝____2sin2α__ 4.降幂扩角公式

sin 2xsin xcos x＝__

21＋cos 2xcos2x＝，

21－cos 2xsin2x＝____. 25.和差角正切公式变形

tan α＋tan β＝__ an(α＋β)(1－tan αtan β) tan α－tan β＝_ tan(α－β)(1＋tan αtan β)_. 6.辅助角公式

y＝asin ωx＋bcos ωx＝.a2＋b2sin(ωx＋θ)

2、题型探究

类型一

灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用

41例1

已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值. 53

4

解

∵α是锐角，cos α＝，

533∴sin α＝，tan α＝. 54∴tan β＝tan[α－(α－β)]

tan α－tanα－β13＝＝. 1＋tan αtanα－β9910∵β是锐角，∴cos β＝. 50

反思与感悟

给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角α，α＝(α＋β)－β，α＝β－的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·211(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等. 22跟踪训练1

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它31025们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，. 105

(1)求tan(α－β)的值；

(2)求α＋β的值. 1π跟踪训练1

(1)－

(2)

74类型二

整体换元思想在三角恒等变换中的应用

例2

求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及取到最值时x的值. 解

设sin x＋cos x＝t，

则t＝sin x＋cos x

＝222sin x＋cos x

22πx＋，

＝2sin4∴t∈[－2，2]，

sin x＋cos x2－1∴sin x·cos x＝

2

t2－1＝. 2∵f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，

t2－11∴g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－2，2]. 22当t＝－1，即sin x＋cos x＝－1时，f(x)min＝－1，

π2x＋＝－，

此时，由sin42π解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z. 2当t＝2，即sin x＋cos x＝2时，

1f(x)max＝2＋，

2πx＋＝2，

此时，由2sin4πx＋＝1，

即sin4π解得x＝2kπ＋，k∈Z. 4ππ综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，241k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝2＋. 2

反思与感悟

在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来. 跟踪训练2

求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 5－2－1，

训练2答案

4

类型三

转化与化归思想在三角恒等变换中的应用

π5πx－＋2sin2x＋－1，x∈R. 例3

已知函数f(x)＝23sin(x－3π)sin22π0，上的最大值和最小值；

(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间2解

(1)因为f(x)＝3(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) π2x＋，

＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin6所以f(x)的最小正周期为π.

πππ7π又因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]，

2666所以f(x)的最大值为2，最小值为－1.

ππ6(2)若f(x0)＝，x0∈4，2，求cos 2x0的值. 5(2)由(1)可知，

π2x0＋. f(x0)＝2sin66又因为f(x0)＝，

5π32x0＋＝. 所以sin65ππ由x0∈4，2，

π2π7π，，

得2x0＋∈636π2x0＋

所以cos6＝－

4＝－，

5ππ2x0＋－

cos 2x0＝cos66π2x0＋

1－sin26ππ2x0＋cos ＋

＝cos66ππ3－432x0＋sin ＝sin

6610

反思与感悟

(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提. (2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质. π317πsin 2x＋2sinx7π＋x＝，跟踪训练3

已知cos

答案

－

752三、当堂训练

5α1.若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－，则tan 等于(

) 132512A.－5

B.－

C.

D.5 1313

52.已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin 2θ等于(

) 9222222A.

B.－

C.

D.－

3333113.已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝________. 32π4πα＋＝，则sin2α＋的值为________. 4.设α为锐角，若cos1265π35.已知函数f(x)＝cos x·sin(x＋)－3cos2x＋，x∈R. 34(1)求f(x)的最小正周期；

ππ(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值. 44当堂训练答案

591721.A

2.A

3.－

4.

72505.(1)f(x)的最小正周期为T＝π

ππ11(2)函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－. 4442四小结

本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质.