3.3.2 均匀随机数的产生教学创新设计

3.3.2

均匀随机数的产生

1．能用模拟方法估计事件的概率．(重点) 2．设计科学的试验来估计概率．(难点)

[基础·初探]

教材整理

均匀随机数的产生

阅读教材P137～P139的内容，完成下列问题．

1．[0,1]上均匀随机数的产生

利用计算器的RAND函数可以产生[0,1]上的均匀随机数，试验的结果是区间[0,1]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此，可以用计算器产生的0到1之间的均匀随机数进行随机模拟．

2．随机模拟方法的基本思想是估计概率．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机数只能用计算器或计算机产生．(

) (2)计算机或计算器只能产生[0,1]的均匀随机数，对于试验结果在[2,5]上的试验，无法用均匀随机数进行模拟估计试验．(

) (3)x是[0,1]上的均匀随机数，则利用变量代换y＝(b－a)x＋a可得[a，b]上的均匀随机数．(

) 【答案】

(1)×

(2)×

(3)√

1

2．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则(

) A．m>n

C．m＝n

B．m

D．m是n的近似值

【解析】

随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．

【答案】

D 3．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是(

) 1A.3

3C.10

1B.7

7D.10

13－103＝. 20－1010【解析】

∵a∈(10,13)，∴P(a<13)＝【答案】

C 4．在边长为2的正方形当中，有一个封闭曲线围成的阴影区域，向该正方形中随机撒入100粒豆子，恰有60粒豆子落入阴影区域内，那么阴影区域的面积近似为____________.

图3-3-8 S6012【解析】

设阴影区域的面积为S，则4≈100，S≈5. 12【答案】

5

[小组合作型]

用随机模拟法估计长度型几何概率

取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段

2

的长都不小于1 m的概率有多大？

【精彩点拨】

用模拟方法并进行相应转化求概率．

【尝试解答】

法一：(1)利用计算器或计算机产生一组(共N个)0到1区间的均匀随机数，a1＝RAND；

(2)经过伸缩变换，a＝a1*3；

(3)统计出[1，2]内随机数的个数N1；

N1(4)计算频率fn(A)＝N，即为概率P(A)的近似值．

法二：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0,3](这里3和0重合)．转动圆盘记下指针指在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数N1及N1试验总次数，则fn(A)＝N即为概率P(A)的近似值．

1．用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．法二用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；法一用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．

2．用随机模拟方法估计几何概型的步骤：①确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组；②由基本事件空间对应的区域确定产生随机数的范围；③由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式；④统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概率．

[再练一题]

1．在区间[0,3]内任取一个实数，求该实数大于2的概率.

【解】

(1)利用计算器或计算机产生n个0～1之间的均匀随机数，x＝RAND；

(2)作伸缩变换：y＝x*(3－0)，转化为[0,3]上的均匀随机数；

(3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m；

3

m(4)则概率P(A)的近似值为n.

用随机模拟法估计面积型几何概率

3-9，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的

如图3-正方形，向大正方形内随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率．

图3-3-9 【精彩点拨】

把二维型的图形放在一个确定的坐标平面或者平面上，用均匀随机数产生两组随机数作为点的坐标，或者用实物(如黄豆)计算其频率，从而可估计概率．

【尝试解答】

记事件A＝{所投点落入小正方形内}．

(1)用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND. (2)经过伸缩平移变换，a＝a1*3－1.5,b=b1*3－1.5,得［－1.5，1.5］上的均匀随机数. (3)统计落入大正方形内点数N(即上述所有随机数构成的点(a，b)数)及落入小正方形内的点数N1(即满足－1

N1(4)计算频率fn(A)＝N，即为概率P(A)的近似值．

一般地，若一个随机事件需要用两个连续变量如本例中的x，y来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型.

[再练一题]

4

2.如图3-3-10，在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm，4 cm,6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：投中大圆内的概率是多少？投中小圆与中圆形成的圆环内的概率是多少？投中大圆之外的概率是多少？

图3-3-10 【解】

记事件A＝{投中大圆内}，事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，事件C＝{投中大圆之外}．

(1)用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND；

(2)经过伸缩平移变换，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到两组[－8,8]的均匀随机数；

(3)统计投中大圆内的次数N1(即满足a2＋b2＜36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环的次数N2(即满足4＜a2＋b2＜16的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数N(即满足－8＜a＜8，－8＜b＜8的点(a，b)的个数)；

N－N1N1N2(4)计算频率fn(A)＝N，fn(B)＝N，fn(C)＝N，即分别为概率P(A)，P(B)，P(C)的近似值．

利用随机模拟试验估计

不规则图形的面积

3-11中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x

利用随机模拟方法计算图3-1围成的部分)的面积．

＝±

图3-3-11 【精彩点拨】

在坐标系中画出正方形，用随机模拟的方法可以求出阴影部

5

分面积与正方形面积之比，从而求得阴影部分的近似值．

【尝试解答】

(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND. (2)进行平移和伸缩变换，a＝a1[N1，N)，即为点落在阴影部分的概率的近似值．

(3)统计试验总次数N和落在阴影内的次数N1(满足条件b<2a的点(a，b))．

N1(4)计算频率

N，即为点落在阴影部分的概率的近似值．

S(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝. 4N1S∴N≈4. 4N1∴S＝N即为阴影部分面积的近似值．

1．解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过方程求得阴影部分面积的近似值．

2.S不规则图形N1＝，应当作公式记住，当然应理解其来历，其中N为总的试验次S规则图形N数，N1为落在不规则图形内的试验次数．

[再练一题]

3．如图3-3-12所示，在一个长为4，宽为2的矩形中有一个半圆，试用随机模拟的方法近似计算半圆面积，并估计π的值．

图3-3-12 【解】

记事件A为“点落在半圆内”．

(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND；

6

(2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*4，b＝b1]4－x2)的点(a，b)的个数)；

N1(4)计算频率N就是点落在阴影部分的概率的近似值；

S半圆S半圆N18N1(5)用几何概型公式求概率，P(A)＝8，所以8≈N，即S半圆＝N，为半圆面积的近似值．

8N14N1又2π＝N，所以π≈N. [探究共研型]

[a，b]内的均匀随机数

探究1

如何产生[a，b]内的均匀随机数？

【提示】

利用计算机(或计算器)产生[0,1]上的均匀随机数x1＝RAND，然后利用伸缩和平移变换，令x＝x1] 探究2

产生[a，b]内的均匀随机数时，[a，b]上的任何一个实数，都是等可能的吗？

【提示】

产生[a，b]内的均匀随机数时，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的．

将[0,1]内的均匀随机数a1转化为[－2,6]内的均匀随机数a，需实施的变换为(

) A．a＝a1*18 C．a＝a1*8-2

B.a＝a1*8+2 D.a＝a1*6 【精彩点拨】

结合两个区间长度及对应的端点值对a1实施变换．

【尝试解答】

因为随机数x∈[0,1]，而基本事件都在[－2,6]上，其区间长度为8，所以首先把a1变为8a1，又因区间左端值为－2，所以8a1再变为8a1－2，故变换公式为a＝8a1－2. 【答案】

C [再练一题]

4．b1是[0,1]上的均匀随机数，b＝3(b1－2)，则b是区间________上的均匀随机数．

【解析】

0≤b1≤1，则函数b＝3(b1－2)的值域是－6≤b≤－3，即b是区间[－6，－3]上的均匀随机数．

7

【答案】

[－6，－3]

1．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决(

) A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题

B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积

C．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积

D．最适合估计古典概型的概率

【解析】

很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．

【答案】

C 2．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1<0”发生的概率为(

)

2A.

31C.3

1B.

21D.6

11【解析】

因为0

C 13．设x是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝2对应变换成的均匀随机数是(

) A．0 C．4 B．2 D．5 11【解析】

当x＝2时，y＝2×2＋3＝4. 【答案】

C 4．如图3-3-13，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．

8

图3-3-13 【解析】

由题意知，这是个几何概型问题，∵S正＝1，∴S阴＝0.18. 【答案】

0.18 5．设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到网格上，用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率. 【解】

记事件A＝{硬币与格线有公共点}，

设硬币中心为B(x，y)．

步骤：(1)利用计算机或计算器产生两组0到1之间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND. (2)经过平移和伸缩变换，则x＝(x1－0.5)*6，y＝(y1－0.5)*6，得到两组[－3,3]内的均匀随机数．

(3)统计试验总次数N及硬币与格线有公共点的次数N1(满足条件|x|≥2或|y|≥2的点(x，y)的个数)．

N1(4)计算频率N，即为硬币落下后与格线有公共点的概率．

S阴180＝＝0.18. S正1 000学业分层测评(二十一)

均匀随机数的产生

(建议用时：45分钟) [学业达标]

一、选择题

1．与均匀随机数特点不符的是(

) A．它是[0,1]内的任何一个实数

B．它是一个随机数

C．出现的每一个实数都是等可能的

D．是随机数的平均数

【解析】

A、B、C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”

9

的意思，并不是“随机数的平均数”．

【答案】

D 2．要产生[－3,3]上的均匀随机数y，现有[0,1]上的均匀随机数x，则y可取为(

) A．－3x

C．6x－3

B．3x

D．－6x－3 【解析】

法一：利用伸缩和平移变换进行判断；

法二：由0≤x≤1，得－3≤6x－3≤3，故y可取6x－3. 【答案】

C 3．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5 cm的圆，中间有边长为0.5 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为

(

) 4A.9π

4πC.9

9B.4π

9πD.4

0.5×0.54＝. 1.529ππ×2【解析】

由题意知所求的概率为P＝【答案】

A 4．一次试验：向如图3-3-14所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形的豆子的总数为N粒，其中有m(m

)

图3-3-14 mA.N

2mB.N

10

3mC.N

4mD.N

πa2m4m【解析】

设正方形的边长为2a，依题意，P＝4a2＝N，得π＝N，故选D. 【答案】

D 5．若将一个质点随机投入如图3-3-15所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(

)

图3-3-15 πA.2

πC.6

πB.4

πD.8

阴影面积长方形面积【解析】

设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝122π·1π＝＝. 1×24【答案】

B

二、填空题

6．如图3-3-16，矩形的长为6，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为125颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________．

图3-3-16 【解析】

∵矩形的长为6，宽为3，则S矩形＝18，

∴S阴S阴12515＝18＝300，∴S阴＝2. S矩

11

15【答案】

2

7．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根的概率为________.

13【解析】

∵方程无实根，∴Δ＝1－4a<0，∴a>4，即所求概率为4. 3【答案】

4

8．如图3-3-17，在一个两边长分别为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，11梯形的上、下底分别为4a与2a，高为b，向该矩形内随机投一点，那么所投点落在梯形内部的概率为________．

图3-3-17 1113【解析】

∵图中梯形的面积为s＝2×4a＋2a×b＝8ab，矩形的面积为S＝ab，

3abs83∴落在梯形内部的概率为：P＝S＝ab＝8. 3【答案】

8

三、解答题

9．对某人某两项指标进行考核，每项指标满分100分，设此人每项得分在[0,100]上是等可能出现的．单项80分以上，且总分170分以上才合格，求他合格的概率．

【解】

设某人两项的分数分别为x分、y分，

则0≤x≤100,0≤y≤100，

某人合格的条件是80＜x≤100，

80＜y≤100，x＋y＞170，

在同一平面直角坐标系中，作出上述区域(如图阴影部分所示)．

12

由图可知：0≤x≤100,0≤y≤100构成的区域面积为100×100＝10 000，

合格条件构成的区域面积为

1S五边形BCDEF＝S矩形ABCD－S△AEF＝400－2×10×10＝350，

3507所以所求概率为P＝10 000＝200. 7该人合格的概率为200. [能力提升]

1．如图3-3-18，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正2方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为3，则阴影区域的面积约为

(

)

图3-3-18 4A.3

2C.3

【解析】

∵S阴影2≈，

S正方形38B.3

D．无法计算

28∴S阴影≈3S正方形＝3. 【答案】

B 2．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

13

【解析】

如图，与点O距离等于1的点的轨迹是一个142π半球面，其体积V1＝2×3π×13＝3. 事件“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体2π积为23－3，

2π23－323根据几何概型概率公式得，点P与点O的距离大于1的概率P＝π－. 12π【答案】

1－12

＝13．从甲地到乙地有一班车在9：30到10：00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9：45到10：15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？

【解】

记事件A＝{能赶上车}．

(1)利用计算机或计算器产生两组[0,1]上的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND. (2)经过平移和伸缩变换，x＝x1]N1,N)，即为能赶上车的概率的近似值．

14