2.1.2 系统抽样第二课时教学实录

2.1.2

系统抽样

1．记住系统抽样的方法和步骤．(重点) 2．会用系统抽样从总体中抽取样本．(难点) 3．能用系统抽样解决实际问题．(易错易混点) [基础•初探] 教材整理1

系统抽样的概念

阅读教材P58上半部分内容，完成下列问题．

先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔逐个抽取即得到所需样本．

某影院有40排座位，每排有46个座位，一个报告会上坐满了听众，会后留下座号为20的所有听众进行座谈，这是运用了(

) A．抽签法

C．系统抽样法 B．随机数表法

D．放回抽样法

【解析】

此抽样方法将座位分成40组，每组46个个体，会后留下座号为20的相当于第一组抽20号，以后各组抽取20＋46n，符合系统抽样特点．

【答案】

C 教材整理2

系统抽样的步骤

阅读教材P58下半部分内容，完成下列问题．

一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)总体个数较多时可以用系统抽样．(

) (2)系统抽样的过程中，每个个体被抽到的概率不相等．(

) (3)用系统抽样从N个个体中抽取一个容量为n的样本，要平均分成n段，每段各有Nn个号码．(

) 【答案】

(1)√

(2)×

(3)×

2．有20个同学，编号为1～20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为(

) A．5,10,15,20 B．2,6,10,14 C．2,4,6,8 D．5,8,11,14 【解析】

将20分成4个组，每组5个号，间隔等距离为5. 【答案】

A 3．已知标有1～20号的小球20个，按下面方法抽样(按从小号到大号排序)：

(1)以编号2为起点，采用系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________；

(2)以编号3为起点，采用系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________．

【解析】

这20个小球分4组，每组5个，(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7,12,17，这4球编号平均值为2＋7＋12＋174＝9.5.(2)若以3号为起点，则另外三个球的编号依次为8,13,18，这4球编号平均值为3＋8＋13＋184＝10.5. 【答案】

(1)9.5

(2)10.5 [小组合作型] 系统抽样的概念

(1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是(

) A．抽签法

C．系统抽样法

B．随机数法

D．以上都不对

(2)为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k＝________. 【精彩点拨】

解决此类问题的关键是根据系统抽样的概念及特征，抓住系统抽样适用的条件作出判断．

【尝试解答】

(1)上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n∈N*)号，符合系统抽样的特点．

(2)根据样本容量为30，将1 200名学生分为30段，每段人数即间隔k＝1 20030＝40. 【答案】

(1)C

(2)40 判断一个抽样是否为系统抽样：少个个体，机抽样， [再练一题] 1．下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是(

) A．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动

B．一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本

C．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况

D．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取10人了解某些情况

最后看是否等距抽样. 首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随

【解析】

A．总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B.总体中的个体有明显的层次不适宜用系统抽样法；C.总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D.若总体容量较大，样本容量较小时可用随机数表法．

【答案】

C 系统抽样的方案设计

某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，请用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．

【精彩点拨】

按1∶5的比例确定样本容量，再按系统抽样的步骤进行，关键是确定第1段的编号．

【尝试解答】

按照1∶5的比例抽取样本，则样本容量为15×295＝59. 抽样步骤是：

(1)编号：按现有的号码；

(2)确定分段间隔k＝5，把295名同学分成59组，每组5人，第1组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生；

(3)采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l(1≤l≤5)；

(4)那么抽取的学生编号为l＋5k(k＝0,1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当l＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293. 当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k＝Nn；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数s加上间隔k得到第2个个体编号＋ [再练一题] 2．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是(

) ，依次进行下去，直到获取整个样本. ＋，再加k得到第3个个体编号

A．10 B．11 C．12 D．16 【解析】

分段间隔k＝524＝13，可推出另一个同学的学号为16，故选D. 【答案】

D [探究共研型] 系统抽样的特点

探究1

系统抽样有哪些特点？

【提示】

(1)系统抽样适用于总体容量较大，且个体之间无明显差异的情况；

(2)剔除多余的个体及第1段抽样用简单随机抽样的方法；

(3)系统抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性相等．

探究2

怎样判断一种抽样是否为系统抽样？

【提示】

判断一种抽样是否为系统抽样，关键有两点：

(1)是否在抽样前知道总体是由什么构成的，抽样的方法能否保证每个个体被抽到的机会均等；

(2)是否能将总体分成几个均衡的部分，在每个部分中是否能进行简单随机抽样．

探究3

在系统抽样中，N不一定能被n整除，那么系统抽样还公平吗？

【提示】

在系统抽样中，

(1)若N能被n整除，则将比值Nn作为分段间隔k.由于起始编号的抽取采用简单随机抽样的方法，因此每个个体被抽取的可能性是一样的．

(2)若N不能被n整除，则用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被n整除，再确定样本．因此每个个体被抽取的可能性还是一样的．

所以，系统抽样是公平的．

为了了解参加某种知识竞赛的1 003名学生的成绩，抽取一个容量为50的样本，选用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．

【精彩点拨】

编号→剔除→再编号→分段→在第一段上抽样→在其他段上抽样→成样

【尝试解答】

(1)随机地将这1 003个个体编号为1,2,3，…，1 003；

(2)利用简单随机抽样，先从总体中随机剔除3个个体，剩下的个体数1 000能被样本容量50整除，然后将1 000个个体重新编号为1,2,3，…，1 000；

(3)将总体按编号顺序均分成50组，每组包括20个个体；

(4)在编号为1,2,3，…，20的第一组个体中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是18；

(5)以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18,38,58，…，978,998. 当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体，但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等.剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除.

[再练一题] 3．从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请用系统抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．

【解】

第一步，先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数法)；

第二步，将余下的800辆轿车编号为1,2，…，800，并均匀分成80段，每段含k＝80080＝10个个体；

第三步，从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个号(如5)作为起始号；

第四步，从5开始，再将编号为15,25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本．

1．为了了解参加某次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为(

) A．2

B．3

C．4

D．5 【解析】

因为1 252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体，故选A. 【答案】

A 2．为了了解某地参加计算机水平测试的5 008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为(

) A．24 B．25 C．26 D．28 【解析】

因为5 008＝200×25＋8，所以选B. 【答案】

B 3．要从160名学生中抽取容量为20的样本，用系统抽样法将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是

(

) A．7 B．5 C．4 D．3 【解析】

由系统抽样知第一组确定的号码是125－15×8＝5. 【答案】

B 4．在一个个体数目为2 003的总体中，利用系统抽样抽取一个容量为100的样本，则总体中每个个体被抽到的机会为_________．

【解析】

因为采用系统抽样的方法从个体数目为2 003的总体中抽取一个样本容量为100的样本，每个个体被抽到的可能性都相等，于是每个个体被抽到的机会都是1002 003. 【答案】

1002 003 5．中秋节，相关部门对某食品厂生产的303盒中秋月

饼进行质量检验，需要从中抽取10盒，请用系统抽样的方法完成对此样本的抽取．

【解】

(1)将303盒月饼用随机的方式编号；

(2)从总体中用简单随机抽样的方式剔除3盒月饼，将剩下的月饼重新用000～299编号，并等距分成10段；

(3)在第一段000,001,002，…，029这三十个编号中用简单随机抽样确定起始号码l；

(4)将编号为l，l＋30，l＋2×30，l＋3×30，…，l＋9×30的个体抽出，组成样本．