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第十七章勾股定理

时间：120分钟

满分：120分

一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为(

) A．150cm2

B．200cm2

C．225cm2

D．无法计算

第1题图

第2题图

第3题图

2．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使AB落在斜边AC上，折痕为AD，则BD的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x＋y＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中说法正确的是( ) A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

4．在平面直角坐标系中，点P(3，4)到原点的距离是(

) A．3

B．4 C．5

D．±5 5．在△ABC中，AB＝1，AC＝2，BC＝5，则该三角形为(

) A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰直角三角形

6．把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是(

) A．1

B.2

C.3

D．2 22

第6题图

第7题图

7．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为(

) A．60海里

B．45海里

C．203海里

D．303海里

8．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.已知b＝8，c＝10，则a的值为(

) A．2

B．6 C．5

D．36 9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为(

) A．x2－6＝(10－x)2

B．x2－62＝(10－x)2

C．x2＋6＝(10－x)2

D．x2＋62＝(10－x)2

10．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为(

) A．13

B．8

C．25

D．64 二、填空题(每小题3分，共24分) 11．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则其斜边长为________．

12．在Rt△ABC中，斜边AB＝4，则AB2＋BC2＋AC2＝________．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则以AB为边长的正方形面积为________．

为________．

14．直角三角形的两条直角边长的比是3∶4，斜边的长为15cm，则这个三角形的周长15．若3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a＋b的值是________．

16．下列命题中，其逆命题成立的是________(只填写序号)．

．．．①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c(a，b

17．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍________放入(填“能”或“不能”)．

第17题图

第18题图

18．如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O……如此下去，则线段OAn的长度为________．

三、解答题(共66分) 19．(8分)如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，如果CD＝12，AD＝16，BD＝9，那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由．

20．(8分)已知a，b，c为一个直角三角形的三边长，且有（a－3）2＋(b－2)2＝0，求该直角三角形的斜边长．

21.(8分)如图，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，A、B、C是三个格点(即小正方形的顶点)．判断AB与BC的关系，并说明理由．(利用勾股定理的相关知识解答)

22．(8分)甲、乙两位探险者今年到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不至于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为12千米．如图，早晨8：00甲先出发，他以4千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以6千米/时的速度向北行进．上午10：00，甲步行到A，乙步行到B，问甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？

23．(10分)如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m.若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？

24．(10分)如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8.在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．

25．(14分)定义：若三角形三个内角的度数分别是x°，y°和z°，满足x2＋y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形．

(1)根据上述定义，判断“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题，并说明理由；

(2)已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x°，y°和z°，且xy＝2160，求x＋y的值；

(3)

如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝2，AC＝1＋3，求证：△ABC是勾股三角形.

答案

11．13

12.32

13.25

14.36cm

15.17 16．①④

17.能

18．(2)n

19．解：△ABC是直角三角形．(1分)理由如下：∵CD⊥AB，CD＝12，AD＝16，∴在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＝CD2＋AD2＝400.(3分)又∵CD⊥AB，CD＝12，BD＝9，∴在Rt△CDB中，由勾股定理得BC2＝CD2＋BD2＝225.(5分)∵AB＝AD＋BD＝25，∴AB2＝625，∴AC2＋BC2＝625＝AB2，∴△ABC是直角三角形．(8分) 20．解：∵（a－3）2＋(b－2)2＝0，∴a－3＝0，b－2＝0，解得a＝3，b＝2.(1分)①以a为斜边时，斜边长为3；(4分)②以a，b为直角边时，斜边长为32＋22＝13.(7分)综上所述，该直角三角形的斜边长为3或13.(8分)

21．解：相等且垂直．(2分)理由如下：如图，连接AC.由勾股定理可得AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，(4分)∴AB2＋BC2＝AC2，AB＝BC，(6分)∴△ABC是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，即AB⊥BC.∴AB和BC的关系是相等且垂直．(8分) 22．解：∵早晨8：00甲先出发，他以4千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以6千米/时的速度向北行进，∴上午10：00时，OA＝8千米，OB＝6千米，(3分)∴AB＝82＋62＝10(千米)＜12千米，(6分)∴甲、乙二人相距10千米，还能保持联系．(8分)

23．解：如图，连接BD.(1分)∵∠A＝90°，AB＝3m，AD＝4m，∴在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2＋AD2＝32＋42＝52，即BD＝5m.在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，BD2＝52，∵122＋52＝132，即BC2＋BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°.(5分)故S四边形ABCD＝S△BAD1111＋S△DBC＝·AD·AB＋DB·BC＝×4×3＋×5×12＝36(m2)．(7分)∴学校需投入的资金为222236×200＝7200(元)．(9分) 答：学校需要投入7200元购买草皮．(10分) 24．解：由折叠的性质可知∠DEA＝∠COA＝90°，EA＝OA＝10，OD＝DE.∵四边形OABC是长方形，∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝10.(2分)在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝AE2－AB2＝102－82＝6，∴CE＝BC－BE＝4，∴点E的坐标为(4，8)．(6分)在Rt△DCE

中，由勾股定理得CD2＋CE2＝DE2，又∵DE＝OD，∴CD＝CO－DO＝8－DO，即(8－OD)2＋42＝OD2，∴OD＝5，∴点D的坐标为(0，5)．(10分) 25．(1)解：“直角三角形是勾股三角形”是假命题．(1分)理由如下：设直角三角形的三个内角分别为x°，y°和z°，其中x＋y＝90，z＝90，∴(x＋y)2＝8100＝z2，∴x2＋y2＋2xy＝z2.若直角三角形是勾股三角形，则x2＋y2＝z2，∴xy＝0，这与题意不符，∴“直角三角形是勾股三角形”是假命题．(4分) x＋y＋z＝180，(2)解：由题意可得xy＝2160，解得x＋y＝102.(8分) x2＋y2＝z2，

(3)证明：过B作BH⊥AC于H，如图所示．(9分)设AH＝x，Rt△ABH中，BH＝6－x2，Rt△CBH中，(6－x2)2＋(1＋3－x)2＝4，解得x＝3，(11分)∴AH＝BH＝3，HC＝1，1∴∠A＝∠ABH＝45°.(12分)在Rt△BCH中，CH＝BC，∴∠HBC＝30°，∴∠BCH＝60°，2∠ABC＝75°.(13分)∵452＋602＝752，∴△ABC是勾股三角形．(14分)