探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期公开课参赛课教案

三角函数的图像和性质的“磨合”

考纲要求: 1．能画出y＝sin x, y＝cos x, y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．

2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间(,)内的单调性．

223.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响．

4.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.

基础知识回顾: 1．“五点法”作图原理

(在确定正弦函数y＝sinx在[0,2π]上的图像形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、(π，0)、(,1)、23,1)、(2π，0). 22．三角函数的图像和性质

函数

性质

定义域

y＝sinx y＝cosx y＝tanx

π{x|x≠kπ＋(k∈Z)} 2R

R

图像

值域

[－1,1]

[－1,1]

对称轴：x＝kπ(k∈Z)；

对称性

π对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；

对称中心：

2对称中心：(kπ，0)(k∈Z)

(k,0)(kZ)

R

(k,0)kZ

22周期

2π

2π

π

增区间

[2k增区间

,2k22

](kZ)；[2k,2k](kZ)减区间

增区间

单调性

减区间

3[2k,2k](kZ)

22奇偶性

3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

振幅

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时

A

奇函数

[2k,2k](kZ)

偶函数

(k,k)(kZ)

22奇函数_ 周期

频率

f＝相位

初相

T＝2

1

T＝

2x



4．函数y＝sinx的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤如下

应用举例:

类型一、由图定式

【例1】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，下列结论：

π①最小正周期为π；②将f(x)的图像向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；

6③f(0)＝1；

④f(12145)f()；

⑤f(x)f(x). 11133其中正确的是(

)

A．①②③

B.②③④ C．①④⑤

D.②③⑤

类型二、由式定图

【例2】函数f（x）＝3sin(2x6)的部分图像如图所示．

（1）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；

（2）求f（x）在区间

类型三、图象对称

【例3】函数f(x)＝sin(2x＋φ)（f(x)在[0,,上的最大值和最小值．

212π）的图像向左平移个单位后关于原点对称，则函数62]上的最小值为(

) 23113

B.－

C.

D.

2222A．－【例4】当x4时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f (3x)

(

)

4A．是奇函数且图象关于点(2,0)对称

B．是偶函数且图象关于

点(π，0)对称

πC．是奇函数且图象关于直线x＝对称D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称

2类型四、图象平移

【例5】如图是函数y＝sin(ωx＋φ)(0,02)在区间[56,6]上的图像，将该图像π向右平移m(m＞0)个单位后，所得图像关于直线x＝对称，则m的最小值为(

) 4

ππππA.

B. C.

D.

12643方法、规律归纳: 1、两种图像变换的区别

由y＝sinx的图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，|φ|平移的量是(ω＞0)个单位长度．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即xω本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．

2、由函数图像求解析式的方法

(1)如果从图像可确定振幅和周期，那么可直接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.依据是五点法．

(3)运用逆向思维的方法，根据图像变换可以确定相关的参数．

实战演练:

1．将函数fxsin2x的图象向左平移则的一个可能取值为（ ）

（A）个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，83 （B） （C）0 （D）

4442．已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且230f(x)dx＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是(

)

5π7πππ

A．x＝

B.x＝ C．x＝

D.x＝

612363．函数f(x)2sin(x)(xR,0,||调递减区间为（ ）

π)的部分图象如图所示，则f(x)的单2

511k,k],kz

1212511kxk],kz

B．[665112k,2k],kz

C．[12125k,k],kz

D．[1212A．[4．已知函数y＝g(x)的图像由f(x)＝sin2x的图像向右平移φ(0＜φ＜π)个单位得到，这两个函数的部分图像如图所示，则φ＝（

）

（A）3 （B） 44 （C）

 （D）4

35．函数f(x)Asin(x6)(0)的图像与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等2差数列，要得到函数g(x)Acosx的图像，只需将f(x)的图像

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

63

C．向左平移22个单位长度

D．向右平移个单位长度

336．定义运算：a1a3a2a4a1a4a2a3，将函数fx3sinx1cosx（0）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（ ）

A．56111 B．1 C． D．2

557．函数f（x）＝sin（2x－论的编号）．

）的图像为C，如下结论中正确的是_____（写出所有正确结3112π对称； ②图像C关于点（π，0）对称；

1235③函数f（x）在区间[－，π]内是增函数；④将y＝sin2x的图像向右平移个单位12123①图像C关于直线x＝可得到图像C．

8．已知函数f(x)＝3sin(x同，若x∈[0,6)(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图像的对称中心完全相]，则f(x)的取值范围是__________．

29.已知向量m(2cosx,1),n(sinxcosx,2)(0)，函数f(x)mn3，若函数f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为（Ⅱ）若将函数f(x)的图象先向左平移.（Ⅰ）求函数f(x)的单调增区间；

2个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的41倍，得到函数g(x)的图象，当x[,]时，求函数g(x)的值域.

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10．已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)m(mR)，将yf(x)的图像向左平移单位后得到yg(x)的图像，且yg(x)在区间[0,（1）求实数m的值；

（2）在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若g(B)1，且ac2，求ABC的周长l的取值范围．

个4]内的最大值为2．

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