2.1.3 相等向量与共线向量教学设计(教案)

§2.1

相等向量与共线向量

一、教学分析

本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础. 二、教学目标

1、知识与技能：

掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。

2、过程与方法：

通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。

3、情感态度与价值观：

通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。

三、重点难点

教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 四、教学设想：

（一）导入新课

1.向量与数量有什么联系和区别？

向量有哪几种表示？

联系：向量与数量都是有大小的量；

区别：向量有方向且不能比较大小，数

量无方向且能比较大小. 向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示. 2.什么叫向量的模？零向量和单位向量分别是什么概念？

向量的模：表示向量的有向线段的长度. 零向量：模为0的向量.

单位向量：模为1个单位长度的向量.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

探究点一

平行向量与共线向量

思考1

如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

答

方向相同或相反.

小结

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b平行，通常记作a∥b.

规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.

判断下列各组向量是否平行？

探究点二相等向量与相反向量

思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？

模相等，方向相同；

模相等，方向不相同；

模不相等，方向相同；

模不相等，方向不相同；

思考2：两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别，你认为如何规定两个向量相等？

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

向量a与b相等记作a=b.

思考3：用有向线段表示非零向量

和

，如果

，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？

图3

③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量. ④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. ⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.

图4 又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA＝a,OB=b,

OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量. 说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系. ⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小. ⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.

（三）应用示例

例1

例1 判断下列命题是否正确：

（1）若两个单位向量共线，则这两个向量相等；

（

）

（2）不相等的两个向量一定不共线；

（

）

（3）在四边形ABCD中，若向量与共线，则该四边形是梯形；

（

）

（4）对于不同三点O、A、B，向量与一定不共线.

（

）

例2

一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.

(1)作出向量

(2)求AD

图8

例3 如图8,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与OA、OB、OC、相等的量.

活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断OA与EF,OB与AF是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念. 解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO.

点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同. 变式训练

本例变式一:与向量OA长度相等的向量有多少个？

(11个) 本例变式二:是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？(存在)

例4 下列命题正确的是(

) A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确. 答案:C 点评:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合. 变式训练

1.判断: (1)平行向量是否一定方向相同？(不一定) (2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定) (3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量) (4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量) (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？(平行向量) (6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同) (7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)

2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是(

) A.一条线段B.一段圆弧C.两个点D.一个圆

答案:D

3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是(

) A.一个点B.两个点

C.一个圆D.一条线段

答案:B

（四）课堂小结

本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:

几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.

（五）作业