2.1.2 系统抽样教学设计和教学实录

2.1.2系统抽样

一、【教学目标】

重点:

理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题. 难点：当N不是整数，如何实施系统抽样. n知识点：理解系统抽样的定义及特点，会用系统抽样的方法从总体中抽取样本．

能力点：通过对实际问题的探究，归纳应用数学知识解决实际问题的方法，理解分类讨论的数学方法.

教育点：通过数学活动，感受数学对实际生活的需要，体会现实世界和数学知识的联系.

自主探究点：理解系统抽样与简单随机抽样的关系. 考试点：会用系统抽样的方法从总体中抽取样本。

易错易混点：能运用所学知识判断、分析和选择抽取样本的方法. 拓展点：通过对系统抽样的学习，更加突出的体会它在中学数学中的地位及在日常生活中的应用. 二、【引入新课】

回顾过去，诸多食品安全事件挑战公众神经.经历过瘦肉精事件的炸雷、上海染色馒头的喧闹、浙江地沟油事件的轰动，到如今的问题胶囊事件，如何检验食品安全问题已经成为社会大众的焦点。

问题1：一家药厂某时段生产一批胶囊10000件，要求抽取200件，检验该批药品质量指标是否合格. 如何抽样？

采用抽签法，这样抽取的样本能够反映总体的情况. 考虑到总体数目为10000，较大，生1的方法在实际操作中会有两个问题：(1)制签比较繁琐.(2)不能保证总体“均匀搅拌”，即样本的代表性会降低. 抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的个体很多时，将总体“搅拌均匀”会比较困难，就不能保证每个个体被抽中的机会均等，从而使样本的代表性变差.随机数表法的优点是节省人力、物力、财力和

时间，缺点是所产生的样本不是真正的简单样本. 因此，本节课我们学习一种新的抽样方法-——系统抽样。（板书课题：2.1.2 系统抽样）

【设计意图】

通过设置问题情境，激发学生的求知欲，让他们积极主动配合老师的“诱导式”教学，顺利进入新课. 三、【探究新知】

问题2：系统抽样到底如何抽样？问题1中如何抽取这200个样本？

（1）学生带着问题阅读教材P58后，分组交流讨论，自由发言；

（2）师生共同总结.

讨论结果：

可以将这10000件胶囊随机编号110000，分成200组，每组50人，第1组是150，第二组51100，依次分下去，然后用简单随机抽样在第1组抽取1人,比如号码是2，然后每隔50个号抽取一个，得到2,52,102,,9952．这样就得到一个容量为200的样本．

这种抽样方法称为系统抽样．

【设计意图】通过问题比较，突显出总体特征的变化，引导学生探究发现新知识新方法.学生参与问题解决的全过程，通过交流与合作发现“等距抽样”的特征，从而形成感性的系统抽样的概念和方法. 1．系统抽样的定义：

一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样.

说明：由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特征：

（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样.

（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k n（3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号.

（4）系统抽样与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；

（5）简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的.

练习：下列抽样中不是系统抽样的是（

）

A.从标有115号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i,以后

为i5,i10

(超过15则从1再数起)号入样; B.工厂生产的产品，用传关带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产

品检验; C.搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止; D.电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈.

解析：（2）C不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样. 问题4：若问题1中胶囊的件数为10003件，那又如何抽取一个容量为200的样本呢？

教师引导学生讨论，并由此总结系统抽样的步骤. 讨论结果：从10003件胶囊中随机的剔除3件，再按照系统抽样的方法进行抽样. N

【设计意图】当总体数目与样本容量不能整除时，学生完成思考，并形成一般思路与方法. 问题5：系统抽样的步骤是怎样的？（全班统一意见，形成系统抽样的一般步骤，多媒体出示）

2.

系统抽样的步骤

1°编号：将总体中个体编号（可直接利用个体身份所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等）. 2°分段：对编号进行分段.如果总体中的个体数不能被样本容量整除，则利用简单随机抽样的方法剔NN'除多余（余数个）个体，确定的分段间隔为k或k. nn3°确定第一段中入样个体的编号：在第一段中用简单随机抽样的方法确定所抽取的号码l. 4°等距抽样：在各段中等距抽样，依次得到编号为：l,lk,l2k,,l(n1)k.

【设计意图】由上述过程让学生概括系统抽样的特点和步骤，教师完善，强调关键点培养学生总结归纳的能力。

四、【理解新知】

1．系统抽样的定义：

一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样(又称等距抽样).

2.

系统抽样的特点：

（1）总体容量N较大. NN'（2）总体分段：分成均衡的若干段，且分段间隔为k或k.

nn（3）预先制定的规则有两个：①确定起始编号l，在第1段内采用简单随机抽样确定；②等距抽样，依次得到编号：l,lk,l2k,,l(n1)k. （4）等可能抽样. 3. 系统抽样的一般步骤: 简记为：编号；分段；在第一段确定起始号；加间隔获取样本

（1）从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想. （2）如果遇到N不是整数的情况，可以先从总体中随机的剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数n能被样本容量整除

【设计意图】应用整合，举一反三，强化新知，让学生进一步熟悉系统抽样，触类旁通，做到烂熟于心. 五、【运用新知】

例1．某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5 的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．

分析：按1∶5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号．

解：抽样过程是：

（1）按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=59，我们把259名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1—5的5名学生，第2组是编号为6—10的5名学生，依次下去，59组是编号为291—295的5名学生；

（2）采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l(l5)；

（3）按照一定的规则抽取样本．抽取的学生编号为l5k(k0,1,2,得到59个个体作为样本，,58)，如当k3时的样本编号为3，8，13，…，288，293．

点评：系统抽样与简单随机抽样一样，每个个体被抽到的概率都相等,从而说明系统抽样是等概率抽样，它是公平的．系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，当将总体均分后对每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样．

变式训练

1.某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是_________抽样方法．

答案：系统

2. 从已编号为1—50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（

）

A. 5，10，15，20，25

B. 3，13，23，33，43 C. 1，2，3，4，5

D. 2，4，6，16，32 分析：用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为k,kd,k2d,k3d,k4d,其中d5010,k5是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B满足要求. 答案：B

点评：利用系统抽样抽取的样本的个体编号按从小到大的顺序排起来，从第2个号码开始，每一个号码与前一个号码的差都等于同一个常数，这个常数就是分段间隔．

【设计意图】实例巩固，在得出新课的有关知识之后，再次让学生在解决实际问题的过程中，进一步理解掌握系统抽样的方法步骤，达到学以致用的技能，培养“学数学，用数学”的意识。

例2

为了了解参加某种知识竞赛的1 003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本．

分析：由于1003不是整数，所以先从总体中随机剔除3个个体．

50步骤：

（1）随机地将这1003个个体编号为1，2，3，…，1003．

（2）利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体（可利用随机数表），剩下的个体数1 000能被样本容量50整除，然后再重新编号为1，2，3，…，1000．

（3）确定分段间隔．1000=20，则将这1 000名学生分成50组，每组20人，第1组是1，2，3，…，5020；第2组是21，22，23，…，40；依次下去，第50组是981，982，…，1000．

（4）在第1组用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l20). （5）按照一定的规则抽取样本．抽取的学生编号为120k(k0,1,2,如当k2时的样本编号为2，22，42，…，982．

点评：如果遇到19)，得到50个个体作为样本，N不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数n能被样本容量整除．

变式训练

1.某校高中三年级有1242名学生，为了了解他们的身体状况，准备按1∶40的比例抽取一个样本，那么（

）

A. 剔除指定的4名学生

B. 剔除指定的2名学生

C. 随机剔除4名学生

D. 随机剔除2名学生

分析：为了保证每名学生被抽到的可能性相等，必须是随机剔除学生，由于1242的余数是2，所以要40剔除2名学生. 答案：D

2.从2 005个编号中抽取20个号码，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为（

）

A.99

B. 99.5

C. 100

D. 100.5 答案：C

【设计意图】]通过题目设置，让学生体会当N不是整数时，系统抽样的一般思路与方法. n知能训练

1．从学号为0—50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学竞赛，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号不可能是（

）

A. 1，2，3，4，5

B. 5，15，25，35，45 C. 2, 12, 22, 32, 42

D. 9，19，29，39，49 答案：A

2．采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，那么每个个体入样的可能性为（

）

A.111

B.

C.

D.不相等

108380答案：A 3．某单位的在岗工人为624人，为了调查工作上班时从家到单位的路上平均所用的时间，决定抽取10%的工人调查这一情况，如何采用系统抽样的方法完成这一抽样？

答案：先随机剔除4人，再按系统抽样抽取样本．

4．某学校有学生3 000人，现在要抽取100人组成夏令营，怎样抽取样本？

分析：由于总体人数较多，且无差异，所以按系统抽样的步骤来进行抽样．

解：按系统抽样抽取样本，其步骤是：

①将3 000名学生随机编号1，2，…，3000；

②确定分段间隔k＝3000=30，将整体按编号进行分100组，第1组1—30，第2组31—60，依次分100下去，第100组2971—3000；

③在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号l(lN,0l30)；

④按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号l加上间隔30得到第2个个体编号l30，再加上30，得到第3个个体编号l60，这样继续下去，直到获取整个样本．比如l15，则抽取的编号为：15，45，75，…，2985．这些号码对应的学生组成样本．

拓展提升

将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下000，001，002，…，999，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样方法分成50个部分，第一组编号为000，002，…，019，如果在第一组随机抽取的一个号码为015，则抽取的第40个号码为_____________．

分析：利用系统抽样抽取样本，在第一组抽取号码为l015，分段间隔为k＝1000=20，则在第i组50

中抽取的号码为01520(i1)．则抽取的第40个号码为015＋(40-1)×20=795．

答案：795 【设计意图】让学生进一步理解和掌握系统抽样的方法和步骤，达到学以致用.. 六、【课堂小结】

1. 系统抽样的优点是（1）简单易行；（2）对总体结构有一定的了解时，可以更合理地分段，从而提高分段效率；（3）当总体的个体存在自然编码时，便于实施系统抽样. 缺点是：不了解总体结构时，抽取的样本可能有一定的偏差. 2.当总体和样本容量都较小时，或当总体容量较大，样本容量较小时，可用简单随机抽样法；当总体的容量较大或非常大，样本容量也较大时，可用系统抽样法. 3.当N不是整数是，为了保证“等距”分段，须先从总体中用简单随机抽样法剔除多余（余数个）个n体，然后再用系统抽样法进行抽样. 4.

两种抽样方法比较

抽样方法

抽签法

简单随机抽样

随机数表法

系统抽样

共同点

（1）抽样过程中每个个体被抽到的概率相等；（2）都要先编号

各自特点

从总体中逐一抽取

先均分，再按事先确定的规则在各部分抽取

相互联系

在起始部分抽样时采用简单随机抽样

适用范围

总体中的个体数较少

总体中的个体数较多

【设计意图】在轻松、愉快的氛围中结束课程，使学生学会回顾反思，培养学生良好的学习习惯. 七、【布置作业】

1、必做题：（必做题）1．从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为 （ ） A. 99 B. 99.5 C. 100 D. 100.5 2．从学号为1～50的50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是 （ ）

A. 1，2，3，4，5 B. 5，16，27，38，49

C. 2, 4, 6, 8 D. 4，13，22，31，40 3．某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程. 2、选做题：

一个学校有30个班级，每班有50名学生，男女生各有25名.如果要从每个班级抽选一人为代表参加座谈会，若学校学号的排列是根据在每个班级中按先女生后男生，男女生中再按姓名的拼音排列，那么采

用系统抽样的方法抽样合适吗?请谈谈你的看法. 【设计意图】分层作业的布置是为了检验学生对本节课内容的理解和运用程度以及实际接受情况，并促使学生进一步巩固和掌握所学内容.

3. 课外思考:

在数字化时代，各种各样的统计数字和图表充斥着媒体，由于数字给人的印象直观、具体，所以让数据说话是许多广告的常用方法，下列广告中的数据可靠吗？

①“…… 瘦体减肥灵真的灵，其减肥的有效率为75%”；

②“现代研究证明，99%以上的人皮肤感染有螨虫……”；

③“……美丽润肤膏，含有多种中药成分，可以彻底清除脸部皱纹，只需10天，就能让你的肌肤得到改善”. 【设计意图】激发学生兴趣，引导学生对抽样方法的进一步思考和研究，从而让知识在课堂以外得到延伸. 八、【教后反思】

这篇案例主要研究了系统抽样的思想方法，属于概念课．我主要采用“学生为主体，教师为主导”的探究性学习模式。教学过程首先从学生日常熟悉的问题情境入手，然后展开讨论，并让学生大胆设想抽样方法．虽然他们的方法并不完善，但可以充分使学生参与知识的形成，并形成合作学习的意识，最后的“课外延伸”是本节内容的应用和深化．该案例充分体现了从具体到抽象又从抽象到具体的模式，符合学生的认知规律．整堂课设计思路清晰，目标明确．在数学课堂教学中，注重调动学生的积极性，让学生充分的参与课堂教学，较好的发挥了教师的主导和学生的主体作用．学生在有层次的问题驱动下高效地完成了既定的数学学习任务．在教学中，让学生能够在解题过程中，灵活地选择适当的抽样方法，以解决学习问题，这是我做得成功之处。但我在锻炼学生的实际应用能力、创新能力方面，还做得不够，我将在以后的教学过程中更加注重培养学生的实践能力和创新精神. 要注重信息反馈，坚持师生间的多向交流。要引导学生多思、多说、多练，要充分暴露他们所遇到的知识障碍，并在师生之间的多向交流中，不断的得到解决，使知识深化. 九、【板书设计】

2.1.2系统抽样

一、新知探究

系统抽样的含义

系统抽样的步骤

二、例题讲解

例1

例2 三、课堂小结