2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示设计意图

茶陵三中2018高一年级数学统一教案

2.3.2 平面向量的坐标运算

【教学目的】：

知识目标：

掌握平面向量的正交分解及坐标表示

通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量. 能力目标： 让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法. 情感目标： 通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求. 【教学重点】：平面向量的正交分解及坐标表示

【教学难点】：平面向量的正交分解及坐标表示

【教学过程】：

一、导入新课

1．复习向量相等的概念

相等向量OA=BC，方向相同，大小相等. 2．平面向量的基本定理（基底）a=λ1e1+λ2e2,其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合. 二、新课讲解：

1．正交分解的物理背景及其概念

图2.3－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的F1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2，G＝F1＋F2，叫做把重力G分解. 由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量a=λ1e1+λ22e.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2．平面向量的坐标表示

宝剑锋从磨砺出

梅花香自苦寒来

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取x轴、y轴上两个单位向量i,

j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj，

记作：a=(x, y)

称作向量a的坐标，这就叫做向量的坐标表示. i＝（1,0），j＝（0,1），0＝（0,0）

如图，分别用基底i,

j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标.

解：由图可知：aAA1AA2＝2i＋3j,所以，a＝（2,3）, 同理，有：

b＝－2i＋3j＝（－2,3）,

c＝－2i－3j＝（－2,－3）,

d＝2i－3j＝（2,－3）. 3．平面向量的坐标运算

（1）已知a(x1, y1)，b(x2, y2)，求a+ b，a b的坐标；

（2）已知a (x, y)和实数λ,求λa的坐标. (3)、已知a(x1, y1)，b(x2, y2)，求3a+4 b的坐标；

. （4）、已知A(x1, y1)，B

(x2, y2)，则

解：（1）即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)

(2)、a(x,y)

（3）、3a+ 4b =(3x1+4 x2, 3y1+4y2)

(4)、ABx2x1,y2y1即终点坐标减去始点坐标。

 例1:已知a(2,1),b(3,4),求:ab,

ab,

3a4b.

例2 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是(

) A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

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答案:B 例3、设e1与e2是两个不共线向量,a=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数λ、μ满足λa+μb=5e1-e2, 求λ、μ的值. 解:由题设λa+μb=(3λe1+4λe2)+(-2μe1+5μe2)=(3λ-2μ)e1+(4λ+5μ)e2. 325,又λa+μb=5e1-e2.由平面向量基本定理,知解之,得λ=1,μ=-1. 451.

例4、已知如图，平行四边形ABCD的三个顶点的

坐标分别为A(2，

1)，

B(1，

3)，

C(3，

4)，

求点D的坐标。

变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2，

1)，

B(1，

3)，

C(3，

4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2，

2) 当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，

6)，

当平行四边形为DACB时，得D3=(6，

0)

四、课堂练习

1.已知G为△ABC的重心,设AB=a,AC=b,试用a、b表示向量AG. 2.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等,其中A(1,2),B(3,2),求x. 解答:

1.如图, 宝剑锋从磨砺出

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AG=12111AD,而ADABBDABBCa+(b-a)=a+b, 23222221111∴AGAD(a+b)=a+b. 332233点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB=(2,0). ∵a=AB,∴(x+3,x2-3x-4)=(2,0).∴∴x=-1. 五、课堂小结：

取x轴、y轴上两个单位向量i,

j作基底，则平面内作一向量a=xi+yj，

记作：a=(x, y)

称作向量a的坐标，这就叫做向量的坐标表示. 六、课后作业：

七、教学后记

x32,2x3x40解得x1,

x1或x4.宝剑锋从磨砺出

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