复习参考题教案和学案内容

学习目标

1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率；2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率；3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率.

[知识网络]

[知识梳理] 1.频率与概率

频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率. 2.求较复杂概率的常用方法

(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；

(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解. 3.古典概型概率的计算

m关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝求解.n有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏. 4.几何概型事件概率的计算

关键是求得事件A所占区域和整个区域的几何测度，然后代入公式求解.

类型一

频率与概率

例1

对一批U盘进行抽检，结果如下表：

抽出件数a 次品件数b b次品频率

a(1)计算表中次品的频率；

(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？

(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？

解

(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018. (2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02. (3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘. 反思与感悟

概率是个常数.但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计. 跟踪训练1

某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：

射击次数n 击中靶心次数m 击中靶心的频率

10

8

0.8

20

19

0.95

50

44

0.88

100

92

0.92

200

178

0.89

500 455 0.91 50

3

100

4

200

5

300

5

400

8

500 9

(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？

(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？

(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？

(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？

解

(1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9. (2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270. (3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化.后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心. (4)不一定. 类型二

互斥事件与对立事件

例2

甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题. (1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？

(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

解

把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；

“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；

“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种. 因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20种. (1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为63＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”2010633的概率为＝，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为＋20101033＝. 10521(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”201019的概率为1－＝. 1010反思与感悟

在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解. 跟踪训练2

有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券. (1)有放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率；

(2)无放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率.

解

(1)把4张债券分别编号1,2,3,4，其中3,4是中奖债券，用(2,3)表示“第一次取出2号债券，第二次取出3号债券”，所有可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}. 用C表示“有放回地从债券中任取2次，取出的2张都不是中奖债券”，则C表示“有放回地从债券中任取2张，取出的2张中至少有1张是中奖债券”，则C＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，43(2,2)}，所以P(C)＝1－P(C)＝1－＝. 164(2)无放回地从债券中任取2张，所有可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}. 用D表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张都不是中奖债券”，则D表示“无放回地从债券中任取2张，取出的2张至少有1张是中奖债券”，

25则P(D)＝1－P(D)＝1－＝. 126类型三

古典概型与几何概型

例3

某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级.若S≤4，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：

产品编号

质量指标(x，y，z)

产品编号

质量指标(x，y，z)

A1

(1,1,2)

A6

(1,2,2)

A2

(2,1,1)

A7

(2,1,1)

A3

(2,2,2)

A8

(2,2,1)

A4

(1,1,1)

A9

(1,1,1)

A5

(1,2,1) A10

(2,1,2) (1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；

(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，

①用产品编号列出所有可能的结果；

②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率. 解

(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：

产品编号

S A1

4

A2

4

A3

6

A4

3

A5

4

A6

5

A7

4

A8

5

A9

3

A10

5 6其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可10估计该批产品的一等品率为0.6. (2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，

A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种. ②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种. 62所以P(B)＝＝. 155反思与感悟

古典概型与几何概型的共同点是各基本事件等可能；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限. 跟踪训练3

如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为(

)

4321A.

B.

C.

D.

13131313答案

D 解析

设阴影小正方形边长为x，则在直角三角形中

有22＋(x＋2)2＝(13)2，

解得x＝1或x＝－5(舍去)，

∴阴影部分面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为1. 13类型四

列举法与数形结合

例4

三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A发球算起，经4次传球又回到A手中的概率是多少？

解

记三人为A、B、C，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出：如下图.

每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16个，而又回到A手中的事件个数为6

63个，根据古典概型概率公式得P＝＝. 168反思与感悟

事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达. 跟踪训练4

设M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，任取x，y∈M，x≠y.求x＋y是3的倍数的概率. 解

利用平面直角坐标系列举，如图所示.

由此可知，基本事件总数n＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.而x＋y是3的倍数的情况有m1m＝1＋2＋4＋4＋3＋1＝15(种).故所求事件的概率＝. n3

1.下列事件中，随机事件的个数为(

) ①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；

②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；

③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；

④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰. A.1

B.2

C.3

D.4 答案

C 解析

①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件.故选C. 2.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(

) A.对立事件

C.不可能事件

答案

B 解析

根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙B.互斥但不对立事件

D.必然事件

分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件. 3.下列试验属于古典概型的有(

) ①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；

②在公交车站候车不超过10分钟的概率；

③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；

④从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌. A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案

A 解析

古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性.①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A. 4.甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是(

) 111A.

B.

C.

D.无法确定

342答案

C 解析

共有4个事件“甲、乙同住房间A，甲、乙同住房间B，甲住A乙住B，甲住B乙住1A”，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是. 25.任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是(

) 1A.

2251C.

300答案

C 解析

三位正整数有100～999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27,28,29，共3个，31故所求事件的概率为＝. 900300

1.两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 2.关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：

(1)本试验是不是等可能的？

(2)本试验的基本事件有多少个？

(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？

3B.

8991D.

450

只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错. 3.几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解. 4.关于随机数与随机模拟试验问题

随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，我们可以从以下两个方面考虑：

(1)确定产生随机数组数，如长度型、角度型(一维)一组，面积型(二维)二组. (2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式.