探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学设计(教案)

单位圆与三角函数线

一、教学目标：

（一）知识目标

知识目标：

1.说出单位圆的概念2.说出有向线段的概念

3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值（二）能力目标：

正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来，经历知识产生的过程，培养分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点难点分析

教学重点：

1.

单位圆的概念2.有向线段的概念

3.用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值. 三、教学难点：

正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值

四、教学过程设计

（一）引入新课

1、校对课前导学和预习测评答案

2、解读学习目标

（二）概念讲解

理解单位圆，单位圆中的角，点的射影，引入三角函数线的概念：正弦线、余弦线、正切线

（三）概念理解加深

1.判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值．

(

) (

) (

) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负． (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．

2.已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边(

) A．在x轴上

C．在直线y＝x上

答案：B 3.角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相

异，那么α的值为

πA.

4 答案：D 4.sin 1.5________ sin 1.2.(填“>”或“<”) 答案：> （四）例题讲解

题型一：三角函数线的作法

3π例1：作出的正弦线、余弦线和正切线．: 43π解：在直角坐标系中作单位圆，如图，以Ox轴为始边作角，

4 角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴，垂足为M，由单位

圆与x轴正方向的交点A作x轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，

3π3π3π3π则sin ＝MP，cos＝OM，tan＝AT，即的正弦线为MP，余弦线

4444为OM，正切线为AT. 小结：三角函数线的作法

(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．

(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线

AT，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再

B．在y轴上

D．在直线y＝－x上

(

)

3π7πD. 或

443π7πB. C. 44按上述作法来作正切线．

9π

练习1：作出－的正弦线、余弦线和正切线．

4题型二：三角函数函数线的应用

（1）比较大小

例2：利用三角函数线比较下列各组数的大小：

2π4π2π4π①sin 与sin ；②tan 与tan . 3535

解：如图所示，角2π的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A32π2π4π的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sin ＝MP，tan ＝AT；335的终边与单位

圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线

4π的交点为T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′，则sin

54π＝MP，tan ＝AT，由图可见，|MP|＞|MP|，且

5MP与MP都与y轴正方向相同，所以①sin2π4π＞sin；|AT|＞|AT|，且AT 352π4π与AT都与y轴正方向相反，所以②tan＜tan. 35 （2）利用三角函数线解不等式

例3：在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：

(1)sin α≥31；(2)cos α≤－. 22

解：(1)作直线y＝3交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图2①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为

π2πα|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z. 33

1(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图2②中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为2π4πα|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z. 33（3）利用三角函数线求定义域

例4：求函数f(x)＝1－2cos x＋lnsin x－解：由题意，得自变量x应满足不等式组

2的定义域．

21－2cos x≥0，2sin x－>0，2

1cos x≤，2即2sin x>.2

则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，

π3π即定义域为α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z. 34小结：1．利用三角函数线比较大小的两个关注点

(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．

(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．

2．利用三角函数线解三角不等式的方法

(1)正弦、余弦型不等式的解法．

对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．

(2)正切型不等式的解法．

对于tan x≥c，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．

3．利用三角函数线求函数的定义域

解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．