小结教学活动设计方案

几何概型复习与针对训练

1．几何概型的概念与计算公式

(1)事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如图所示)，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积、体积) 成比例，而与A的位置与形状

无关，称满足以上条件的概率模型为几何概型．

注意：①古典概型适用于所有试验结果是有限个且结果是等可能出现的情况，而几何概型则适用于试验结果是无穷多的情形．

②几何概型的特征：ⅰ)每个试验结果有无限多个，且全体结果可以用一个有度量的几何区域来表示；ⅱ)每次试验的各种结果是等可能的，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积”与“试验的基本事件所占总面积(总体积、长度)”之比来表示(体积、长度)．

(2)几何概型的概率计算公式

μA在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)＝，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．

μΩ2．几何概型的特点

(1)________，在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；

(2)__________，每个结果的发生具有等可能性．

无限性 等可能性

3．古典概型与几何概型的区别

古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有______个，几何概型要求基本事件有________个．

有限 无限多个

4．随机数

随机数就是____________________产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的______一样．

在一定范围内随机 机会

5．产生随机数的方法

(1)用函数型计算器产生随机数的方法

每次按SHIFT+Ran#键都会产生0～1之间的随机数，而且出现0～1内任何一个数的可能性是相同的．

(2)用计算机软件产生随机数(这里介绍的是Scilab中产生的随机数的方法) ①Scilab中用rand( )函数来产生0～1的均匀随机数．每调用一次rand()函数，就产生一个随机数．

②如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换rand( )*(b－a)＋a

得到．

类型一

与长度有关的几何概型求法

例1：取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，求剪得两段的长都不小于1米的概率．

练习2：在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．试求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率．

类型二

与角度有关的几何概型求法

1

例2：如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．

练习1：在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．

练习2：在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|<|AC|的概率．

类型三

与面积有关的几何概型求法

例3：已知正方形ABCD的边长为2，在正方形ABCD内随机取一点P，则点P满足|PA|≤1的概率是(

) πA．

8πB．

8πC．1－

16πD．

16练习1：

若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(

) ππππA． B． C. D．

2468练习2：水池的容积是20m3，水池里的水龙头A和B的水流速度都是1m3/h，它们一昼夜(0～24h)内随机开启，则水池不溢水的概率为(

) 5A．

625B．

725C．

181D．

3类型四

与体积有关的几何概型求法

例4：在1L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10mL，含有小麦锈病种子的概率是多少？

练习1：在100m3沙子中藏有一个玻璃球，取出1m3的沙子，则取出的沙子中含有玻璃球的概率．

类型五

用随机数进行排序

例5：试用随机数把6名同学排成一列．

练习1：某校高二全年级共有20个班1200名学生，期末考试时应如何把学生随机地分配到40个考场中去．

类型六

用随机模拟方法估计古典概型的概率操作步骤及方法

例6：同时抛掷两枚骰子，计算都是1点的概率．

练习1：一个口袋中有大小相等的5个白球和3个黑球，从中有放回地取出一球，共取两次，求取出的球都是白球的概率．

练习2：用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度决定于(

) A．产生的随机数的大小B．产生的随机数的个数C．随机数对应的结果D．产生随机数的方法

类型七

用随机模拟方法估算几何概型的概率

例7：取一根长度为6m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2m的概率有多大？

练习1：如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm，某人站在3m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：

(1)投中大圆内的概率是多少？

(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？

(3)投中大圆之外的概率是多少？

2

1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需进行的变换为(

) A．a＝a1＋8

B．a＝a1×8＋2 C．a＝a1×8-2 D.a＝a1×6 2．天气预报说，在接下去的一个星期里，每天涨潮的概率均为20%，这个星期里恰好有2天涨潮的概率是(

) A．20%

B．30% C．40%

D．50% 3. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率. 可利用计算机产生0～9之间的整数值的随机数，如果我们用1、2、3、4表示下雨，用5、6、7、8、9、0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 631 257 393 027 556 488 730 113 137 989，则这三天中恰有两天下雨的概率均为(

) 13A．

207B． 20C.9 2011D．

2014．有一根长为1m 的绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于m的概率为________．

815．在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于的概率是________．

46．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？

(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．

7. 甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人半小时，过时即可离开．求甲、乙能见面的概率．

8．在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取1支，求取得一级品的概率．

基础巩固（1）

一、选择题

1．下面关于几何概型的说法错误的是(

) A．几何概型也是古典概型的一种B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关

C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D．几何概型中每个结果的发生具有等可能性

2．平面上有一组平行线且相邻平行线的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是(

) 1112A．

B．

C．

D．

43233．一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方砖的概率为(

) 1727A．

B．

C．

D．

89916S4．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是(

) 41132A．

B．

C．

D．

42435．在1 000mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率(

) A．0 B．0.002 C．0.004 D．1 6．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于112420cm2的概率为(

)

A．

B．

C．

D．

63353

二、填空题

7.

如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．

8．设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间

[0,1]上的数字，另一半均匀地刻上区13间[1,3]上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于2，2上的概率是____________．

三、解答题

9．某同学向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分内的概率．

基础巩固（2）

一、选择题

1．随机摸拟法产生的区间[0,1]上的实数(

) A．不是等可能的B．0出现的机会少C．1出现的机会少D．是均匀分布的

2．用函数型计算器能产生0～1之间的均匀随机数，其按键的顺序为(

) A．SHIFTRND

B．SHIFTRanC．SHIFTRan#

D．STORan#

3．将[0,1]内的随机数a1转化为[－2,6]内的随机数a2，需实施的变换为(

) A．a2＝a1*8

B.a2＝a1*8+2

C．a2＝a1*8-2

D.a2＝a1*6 4．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为67410的区域的概率为(

)

A．

B．

C．

D．

131313135．若x可以在－4≤x≤2的条件下任意取值，则x是负数的概率是(

) 1312A．

B．

C．

D．

44331156．在集合P＝{m|关于x的方程x2＋mx－m＋＝0至多有一个实根(相等的根只能算一个)}中，任取一个元素x，24使得式子lgx有意义的概率是(

) 33A．

B．

C．0

D．1 84二、填空题

7．假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率是____________．

能力提升（1）

一、选择题

1．如图所示，设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径2倍的概率是(

) 3113A．

B．

C．

D．

4235，则指针停在红色或蓝色4