3.1.2 概率的意义评课稿

几何概型的常见题型归类

这段时间学生学习概率中的几何概型感觉非常之头痛，现对几何概型的常见题型归类如下：

1．与长度有关的几何概型

例1．在区间[1,1]上随机取一个数x，cosx21212A.

B.

C.

D.

323的值介于0到1之间的概率为(

).

2分析：在区间[1,1]上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间[1,1]的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件. 解：在区间[1,1]上随机取一个数x,即x[1,1]时,要使cos需使x1的值介于0到之间, 22223322222∴1x或x1，区间长度为，

333x1由几何概型知使cos的值介于0到之间的概率为

22x或x

2符合条件的区间长度1P3.

故选A. 所有结果构成的区间长度232．与面积有关的几何概型

例2．

四边形ABCD为长方形，AB2,BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（ ）

A．

4B.1

4C. D.1

88分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，基本事件是无限多个，所以符合几何概型. 解：长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为因此取到的点到O的距离大于1的面积为2则取到的点到O的距离大于1的概率为



2C2，

DAOB图1

P(A)故选B. 取到的点到O的距离大于1的面积长方形ABCD的面积221. 243．与角度有关的几何概型

例3．在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点做射线OC，求使得AOC和BOC都不小于30°的概率？

分析：此题关键是搞清过O作射线OC可以在扇形的任意位置，而且是等可能的，因此基本事件的发生是等可能的. 解：记事件A是“做射线OC，使得AOC和BOC都不小于30°”，BMOCNA图2AONBOMMON300，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，

MON的度数3001所以P(A)0.

AOB的度数9034．与体积有关的几何概型

例4．在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是多大？

分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的，取得的1升水可以看作构成事件的区域，5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域，因此可以用体积比公式计算其概率. 解：“取出1升水，其中含有病毒”这一事件记作事件A，

则P(A)取出的水的体积1.0.2.

所有水的体积5从而所求的概率为0.2. 5．与线性规划有关的几何概型

例5．小明家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？

分析：该题题意明确，但如何转化为数学模型需要从实际问题中分析出存在的两个变量.由于晚报送到和晚饭开始都是随机的，设晚报送到和晚饭开始的时间分别为x、y，然后把这两个变量所满足的条件写成集合的形式，把问

题转化为线性规划问题进行求解. 解：设晚报送到和晚饭开始的时间分别为x、y.用表示每次试验的结果，则所有可（x，y）能结果为：(x,y)5:30x6:30,6y7，

即为图3中正方形ABCD的面积；记晚报在晚餐开始之前被送到为事件A，则事件A的结果为：A(x,y)5:30x6:30,6y7,xy，即为图2中阴影部分区域. 1117SABCD111，S阴影1. 2228所以所求概率为：PS阴影SABCD778. 187. 8故晚报在晚餐开始之前被送到的概率是反思：此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系，其求解的步骤为：

（1）找设变量.从问题中找出两个随机变量，设为x,y；

（2）集合表示.用(x,y)表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出全部结果和事件A所包含的试验结果.一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集. （3）作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出，并求出集合,A对应的区域的面积. （4）计算求解.由几何概型公式求出概率.