2.1.3 相等向量与共线向量教案1

《相等向量与共线向量》教学设计

———惠州一中实验学校 高燕翔 一、教学目标

（1）知识点：理解相等向量、共线向量概念理解. （2）核心素养：培养学生数学抽象，直观想象，逻辑推理的核心素养

二、学情分析

（1）

学生程度：我所授课的对象是惠州一中实验学校的学生，学生的水平一般，虽然基础知识掌握得尚可，但是对向量的学习和认识还处于初期阶段，在思想方法上还有待于进一步提高。

（2）

知识层面：通过上节课的学习，学生经历了向量及相关概念的形成过程，能够准确地理解向量、单位向量、零向量、平行向量等概念，会用有向线段表示一个向量。

（3）

能力层面：通过前面对基本初等函数的学习，学生具备了一定的用数形结合思想解决数学问题的能力。

根据以上三个方面的分析，从学生的认知水平出发，充分运用上节课的知识铺垫，以问题串驱动学生自主探究，同时使用多媒体展示图形和学生动手作图相结合，变抽象为直观，使学生对相等向量与共线向量的理解由感性认识逐步上升为理性认识，从而更直观、形象地突出教学重点，突破教学难点。

三、教学内容分析

（1）本小节内容选自人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书数学必修四第二章平面向量2.1.3相等向量与共线向量，在教材的第76页至77页。相等向量与共线向量是平面向量这一章第一节的最后一个小节，具有承上启下的作用。承接前面学***行向量的概念，同时为第二节向量的线性运算打下知识基础和认知基础。

（2）教学重点:

理解并掌握相等向量、共线向量的概念，能在图形中辨认相等向量和共线向量．

（3）教学难点：从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点．

四、教学过程

（一）复习引入

问题1：向量与数量有什么联系和区别？

向量有哪几种表示？

问题2：什么叫向量的模？零向量、单位向量、平行向量分别是什么概念？

【设计意图】复习回顾，便于学习新知．

【设计说明】学生回答．

引入：数学中，引进一个新的量后，为了进一步研究的需要，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．那么如何规定“相等向量”呢？

【设计意图】使学生在已有知识的基础上，探索新知，引出本课题．

【设计说明】教师指出相等向量正是我们接下来要探究的问题．

（二）探究新知

探究一：相等向量

探究概念

思考1：因为向量完全由它的方向和模确定．对于两个非零向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？ 思考2：我们知道两个向量不能比较大小，只有模等与不等，方向同与不同的区别，那么我们如何规定两个向量相等？

得出概念

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量．

说明：（1）向量a与b相等，记作a

=b； （2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. 思考3:在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段是否表示同一个向量？

【设计意图】加深对有向线段和向量的理解，便于学生正确理解相等向量的概念．

【设计说明】让学生独立思考，自己归纳总结．

理解概念

思考4：对于非零向量AB和CD，如果AB=CD，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？

思考5：对于非零向量AB和CD，如果AB=CD，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？

学生画图寻找答案

A

A B C B D C D 探究二：共线向量

探究概念

思考1：如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

学生：方向相同或相反．

思考2：两个向量的关系是什么？

学生：平行向量．

思考3：将向量平移，不改变其长度和方向．如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作OA=a，OB=b,

OC=c，那么点A、B、C的位置关系如何？

师生共同：

a

b c B O C A l

学生：A、B、C三点共线．

老师总结：上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．

得出概念

共线向量：平行向量也叫共线向量．这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上．

思考4：如果非零向量AB和CD是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？

学生：四点不一定共线．

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．

【设计意图】进一步理解平行向量、共线向量的概念，区别相应直线平行、共线．

【设计说明】让学生结合上图自己归纳总结．

（三）理解新知

弄清相等向量、平行向量、共线向量三者间的关系：

1.平行向量就是共线向量．

2.相等向量一定是共线向量．

3.共线向量不一定是相等向量．

【设计意图】进一步理解相等向量、平行向量、共线向量三个概念，弄清它们的区别与联系．

【设计说明】组织学生进行思考、交流，得到结论．

（四）运用新知

例1.

如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量．师生活动：学生口答，教师板书．

B 解：OACBDO

C O A F E 

OBDC

OCABE

OD ED

OF变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量OA共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）

【设计意图】让学生巩固相等向量与共线向量的概念．

【设计说明】培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯．

例2.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. (1)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；

(2)不相等的两个向量一定不共线；

(3)向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

(4)两个向量相等当且仅当它们的起点相同，终点相同共线的向量；

(5)若向量a与b共线，b与c共线,则向量a与c共线；

(6)在四边形ABCD中，向量AB＝DC当且仅当ABCD是平行四边形．

解：(1) 不正确．相等向量要求大小相等且方向相同，而共线向量方向可以相反．

(2) 不正确．方向相反的两个向量不相等但共线．

(3) 不正确．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量在同一直线上．

(4) 不正确．如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同．

A B C (5) 不正确．共线向量即平行向量，规定零向量与任意向量平行，因此b可以是零向量．

(6) 正确．

引申：可利用向量的方法证明直线与直线的平行问题．

【设计意图】让学生能够通过这些问题，弄清向量学习中比较容易混淆的几个基本概念．

【设计说明】师生共同分析，学生自己找出错误的原因．

（五）课堂小结 1．知识：(1)相等向量的定义．

(1)共线向量的定义．

(3)相等向量、平行向量、共线向量三个概念的区别与联系．

2．思想：数形结合的思想．

（六）布置作业 1．书面作业

必做题：

1.P77-78习题2.1

A组

第3，4，5题

2.在四边形ABCD中，AB=DC，且|AB|=|AD|，判断四边形ABCD的形状．

选做题：

B组

第2题

2．课外思考

在四边形ABCD中，AB=DC，且|AC||BD|，则四边形ABCD是什么形状？