2.3.1 变量之间的相关关系教学设计案例

线性回归方程 教学目标

【知识和技能】

1．能识别两个变量间关系是确定性关系还是相关关系．

2．会画散点图，并能利用散点图判断是否存在回归直线．

3．知道如何系统地处理数据．掌握回归分析的一般步骤． 4．能运用Excel表格处理数据，求解线性回归直线方程．

5．了解最小二乘法的思想，会根据给出的公式求线性回归方程．

6．培养收集数据、处理数据的能力；对具有相关关系的一组变量中应变量发展趋势的预测估计能力．

【过程和方法】

1．使学生在经历较为系统的数据处理的全过程中学会如何处理数据．

2．提高学生运用所学知识与方法、运用现代化信息技术解决实际问题的能力．

【情感、态度和价值观】

1．认识到线性回归知识在实际生活中的实践价值，感受生活离不开数学．

2．体验信息技术在数学探究中的优越性．

3．增强自主探究数学知识的态度．

4．发展学生的数学应用意识和创新意识．

5．培养学生的严谨、合作、创新的学习态度和科学精神．

【教学重点、难点】

线性回归分析的基本思想；运用Excel表格处理数据，求解回归直线方程．

【教学课型】多媒体课件，网络课型

教学内容

学生已经学习了初步的统计知识，如抽样方法，对样本进行特征量（均值、方差）分析；具备一定的比较、抽象、概括能力；具备基本计算机操作技能；对现实生活中的线性相关关系有一定的感性认识。线性回归问题涉及的知识有：描点画散点图，一次函数、二次函数的知识，最小二乘法的思想及其算法问题，运用Excel表格处理数据等。

教学资源

教师围绕本课知识设计一个问题（如小卖部热珍珠奶茶的销售问题），这个问题必须应用所预期的学科知识才能解决，又与学生的先前经验密切相关。

教师准备四个教学课件：学生阅读（幻灯片）、教师讲解（幻灯片）、课堂练习（Excel）、线性回归直线的探究（几何画板）。

每位同学带好课本和教师预期分发的一份学案。学案主要包括设计的引入问题，教学过程

中所遇到的主要问题，推导回归直线方程的公式的计算表格，运用Excel表格处理数据的操作步骤，课堂练习以及作业，教学评价等。

互联网上的其它相关教学资源。

教学模式

运用信息技术建立以学生为主体的自主性学习模式，包括六个环节：⑴生活现象提炼，形成知识概念；⑵提出研究问题，制定探究计划；⑶自主探究学习，总结研究规律；⑷交流探究体验，应用练习反馈；⑸反思学习过程、进行教学评价；⑹实习调查分析，生活应用实践。

教学支架

让学生在自主探究学习过程中尝试回答以下问题：

1．根据你现有的认识，两个变量之间存在哪些关系，有何异同？

2．问题中的两个变量有没有关系？如果有，是什么关系？为什么？ 3．这样的关系如何直观体现？（散点图）

4．两个变量可以近似成什么关系？（这是一个探索过程，学生可能会提出包括直线在内的多种关系，这里和必修1函数教学有密切联系。

5．如果考虑最简单的直线拟合，怎样确定一条直线最能反映这组数据的规律？（这是一个开放度很大的讨论问题，学生可以提出各种方法，之后介绍最小二乘法的思想和公式。）

6．公式的计算是比较繁琐的，能否利用信息技术来帮助我们？（学生根据操作步骤自学用EXCEL如何由一组数据画出散点图，求回归直线方程。）

7．我们得到这个模型有什么用？（进行预测，如热饮问题。）

组织形式

教师呈现问题——个人阅读学习，形成知识概念——教师引导学生分析，制定探究计划——分组进行探究，总结研究成果——全班交流探究体验心得——反馈练习——反思总结，教学评价——实习作业。

教学环境

硬件：多媒体网络教室，每人一台联网计算机，教师的计算机可控制学生的计算机。

软件：每台计算机上必须安装：

①几何画板、Powerpoint、Excel软件；

②四个教学课件：学生阅读（幻灯片）、教师讲解（幻灯片）、课堂练习（Excel）、线性回归直线的探究（几何画板）。

教学评价

【知识和技能】

1．能识别两个变量间关系是确定性关系还是相关关系．5分

2．会画散点图，并能利用散点图判断是否存在回归直线．10分

3．能运用Excel表格处理数据，求解线性回归直线方程．35分

（练习1 10分；练习2 10分；练习3 15分）

4．通过学习，掌握并能熟练运用现代化信息技术解决实际问题．10分

【过程和方法】

1．能认真学习、积极思考、全程参与较系统的数据处理的全过程．10分

2．知道如何处理系统地处理数据．掌握回归分析的一般步骤．10分

【情感、态度和价值观】

1．在学习中感受到激情、愉悦，感悟到数学与现代化信息技术的作用．10分

2．在探究学习中能提出自己的看法、见解，能体验到某种成就感．10分

教学过程

一、呈现问题

（一）呈现探究问题

教师联机呈现实际生活中的一个问题：

下表是一小卖部某６天卖出热珍珠奶茶的杯数与当天气温的对比表．

气温（℃）x

杯数y

一些？

这个问题足以引发学生的好奇心和兴趣，要解决这个问题，要先研究这组数据的规律。

分析：卖出热珍珠奶茶的杯数与当天气温之间虽有一定的联系，但两者之间没有必然的确定性关系，从表中就可以看出这一点．我们把这种不确定性关系称为相关关系．

（二）自主阅读学习，形成知识概念

请大家阅读课本或观看幻灯片，并思考下面几个问题：

１．什么是相关关系？你能举出几个属于相关关系的例子吗？

２．什么是散点图？画散点图有什么作用？

３．若两个变量具有相关关系，则最能代表这两个变量之间关系的的直线具有什么特征，又该如何刻画它？

二、制定计划

（一）利用散点图形象地表示数据的分布情况，直观发现初步规律

我们用x表示气温（℃），y表示当天卖出热珍珠奶茶的杯数，将表中的各对数据(x，y)在平面直角坐标系中描点，得到下图．

26 20 18 24 13 34 10 38 4 50 -1 64 现在的问题是：如果某天的气温是-5℃，这天小卖部大概要准备多少杯热珍珠奶茶比较好

706050403020100-5051015202530

可以发现，图中的各个点，大致分布在一条直线的附近，如图所示．

706050403020100-5051015202530

我们把具有这种图形特征的两个变量之间的关系称为线性相关关系．

（二）深入分析问题

上图中的直线，可以画出不止一条，那么，其中哪一条直线最能代表变量x与y之间的关系呢？

在整体上与数据点最接近的一条直线，是指所有的数据点分布在这条直线附近，且相对更集中，离散程度更小．

我们可以借助什么量来刻画某条直线在整体上与图中点最接近呢？

（三）制定探究计划

方案一、实验探究——直观寻求

方案二、理论推导——代数演绎

方案三、现代技术——EXCEL表格

三、自主探究

根据探究计划，选择不同的方案，学生分组进行自主探究。

方案一、实验探究——直观寻求

借助课件，进行探究

几何画板课件《线性回归直线的探究》．

方案二、理论推导——代数演绎

（一）理论分析

一般地，设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n个点Pi（xi，yi）（i1，2，3，…，n）大致分布在一条直线的附近，我们来探求在整体上与这n个点最接ˆbxa（其中a，b是待确定的参数）近的一条直线l：y．

ˆibxia（i1，2，当变量x取一组数值xi（i1，2，3，…，n）时，相应地有yˆiyi(bxia)（i1，2，3，…，n）3，…，n）．于是得到各个偏差yiy．

能否用上面各个偏差的和的最小值来代表n个点与相应直线在整体上的接近程度？

706050403020100-5051015202530

因为上面各个偏差的符号可能有正有负，如果将它们相加会造成相互抵消，因此它们的和不能代表n个点与相应直线在整体上的接近程度．

为了解决这一问题，我们采用n个偏差的平方和，即

Q(y1bx1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2

来表示n个点与相应直线在整体上的接近程度．当Q取得最小值时对应的直线最能体现出n个点最接近这条直线．怎样求出这条直线的方程呢？

运用最小二乘法的思想，推导回归直线方程：

上式展开后，是一个关于a，b的二次多项式，且a，b的二次项系数均为正值．结合二次函数求最值的方法——配方法（先将字母a看成未知数进行一次配平方，并变形整理后，再将字母b看成未知数进行一次配平方），可以求出使Q取得最小值的a，b的值（具体推导过程请参看：人民教育出版社数学教材(试验修订本)第三册(选修Ⅱ)第42页）。

n(xix)(yiy)bi1n解得(xix)2i1aybx．xi1nniyinxy，2ixi1nx2我们将满足上述条件的方程ˆbxa叫做回归直线方程，相应的直线叫做回归直线．而对两个变量所进行的上述统计分y析叫做线性回归分析．

（二）数据处理

上述公式中要计算的量较多，为简化计算，尽可能避免出错，可利用EXCEL的制表功能制成下表：

i

1 26 20

2 18 24

3 13 34

4 10 38

5 4 50

6 -1 64

合计

xi

yi

xi2

yi2

xiyi

具体计算时给学生提供两种计算工具，即带简单统计功能（求和、求均值方差等）的计算器和EXCEL工具软件。计算完毕，利用网络教室的联机功能两种算法中各派代表展示其计算过程和结果，并比较优劣。

方案三、现代技术——EXCEL表格

利用Excel表格来处理数据，求解回归直线方程．

利用Excel表格求解回归直线方程的步骤及操作说明：

⑴直接在工作表中输入数据。

⑵选中数据(单击数据区域的第一个单元格，再拖动鼠标到最后一个单元格)。

⑶单击“图表向导”⑷单击“图表类型”单中单击“添加趋势线”)。

⑹单击选中

“类型”选项卡中

“线性”选项，单击“确定”按钮，得到数据的回归直线。

⑺单击选中数据的回归直线，在“格式”菜单上单击“趋势线格式”(或右击，在弹出的菜单中单击“趋势线格式”)。

⑻单击选中“选项”命令，单击选中“显示公式”复选框，单击“确定”按钮，得到数据的回归直线方程。

四、解决问题

(或在“插入”菜单上单击“图表”)。

，单击“完成”按钮，得到数据的散点图。

⑸单击选中散点图中的任一点，在“图表”菜单上单击“添加趋势线”(或右击，在弹出的菜ˆ．例如当气温x是-5℃时，卖出根据求出的回归直线方程，可以求出相应于x的估计值yˆ1.6477(5)57.55766杯．于是这天小卖部大概热珍珠奶茶的杯数y的估计值是y要准备66杯热珍珠奶茶比较好一些. 五、总结交流

（一）总结知识规律

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析．

运用回归分析的方法来分析、处理数据的一般步骤是：

①收集数据，并制成表格；

②画出数据的散点图；

③利用散点图直观认识变量间的相关关系；

④运用科学计算器、Excel表格等现代信息技术手段求解回归方程；

⑤通过研究回归方程，提取有用信息，作出比较可靠的趋势预测，服务于现实生活．

（二）交流探究体验

认识到线性回归知识在实际生活中的实践价值，感受生活离不开数学。感受到数学思维的重要性，增强了对数学的情感态度。在探究过程中，体验到信息技术的优越性，在合作中获得成功的愉悦。

六、反馈练习

练习１：一个工厂在某年里每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据：

月份

１

２

３

４

５

６

７

８

９

１０

１１

１２

月产量x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 总成本y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 由以上数据作出散点图，并由图判断总成本与月产量之间是否近似成线性关系，若近似成线性关系请求出其回归直线方程．

答案提示：

ˆ1.216x+0.9728．

近似成线性关系，其回归直线方程为y练习２：在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验中得到的一组数据(单位：kg)．见下表：

施化肥量x

水稻产量y

15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455 由以上数据作出散点图，并由图判断施化肥量和水稻产量之间是否近似成线性关系，若近似成线性关系请求出其回归直线方程．并请预测施化肥量28 kg时水稻产量约为多少kg．

答案提示：

ˆ4.75x257；⑶x28（kg）时，⑴散点图略；⑵近似成线性关系，其回归直线方程为yˆ4.7528257390（kg）y的估计值是y．

练习3（思考题）：

下表是某小卖部连续６天部分商品的销售情况与当天气温的对比表．

日期

气温（℃）

热奶茶(杯) 矿泉水(瓶) 4月23日 4月24日 4月25日 4月26日 4月27日 4月28日

29 12 23 26 24 15 21 30 1 23 28 2 25 23 16 28 14 28

冰淇淋(个) 牛奶(袋) 面包

42 50 15 34 48 20 5 46 20 8 50 20 26 49 18 40 50 17 ⑴试判断表中哪些商品的销售与气温之间近似成线性相关关系；若近似成线性相关，请求出线性回归方程。⑵若已知4月29日的气温为27℃，假设你是店老板，你该如何预备商品？

七、反思过程

教学中，教师可以组织学生有意识的明确反思探究过程，尤其是探索设计思路的重要环节，例如：用 n个y的偏差的平方和来表示 n个点与相应直线在整体上的接近程度；用EXCEL的计算功能解决繁杂计算等。教师还可以建议学生探索EXCEL的非线性模拟功能。

这一节课中，信息技术发挥出了不可替代的作用，如果没有信息技术，学生将把大量的时间花在求x,y,x,y,xy等量的繁杂计算上，在这一点上信息技术确实是一根救命稻草，22ii这也是信息技术自身产生的动力之一。

进行教学评价。

八、实习作业

请同学们，利用课余时间，到现实生活中去调查、研究，收集与生活、生产息息相关的数据，并运用所学的知识、方法去分析、处理，从中提取有用信息，并尝试用你所得到的信息、结论、预测指导于生活、生产。

请把你收集的数据，以及你是如何处理数据的，得出什么结论，以小论文的形式总结出来，供下次交流。

可以也提倡分小组进行活动。