2.3.1 变量之间的相关关系ppt课件配套教案内容

《变量间的相关关系》教学设计

一、教学目标

1、知识与技能：

利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及2回归方程系数公式的推导过程，利用电子表格求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解

2 、过程与方法：

①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。 ②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计算机等现代化教学工具的必要性。

3、情感、态度与价值观：

类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。利用计算机让学生动手操作，合作交流激发学生的学习兴趣。

二、教学重点、难点

重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。

教学内容的难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解

三、教学设计

（一）、创设情境

导入新课 1、相关关系的理解 师：我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？ 让学生举例，教师总结 如： 生：不是。师：能否举出反例？ 比如，年龄与身高。

生：身高与体重 生：教师水平与学生成绩。生：网速与下载文件所需时间 师：不妨以教师水平与学生成绩为例，学生成绩与教师水平有关吗？

生：有，一般来说，教师水平越高，学生成绩越好

师：即“名师出高徒”，名师一定出高徒吗？ 生：不一定。

师：即学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容 变量间的相关关系。（板书） 生活中还有很多描述相关关系的成语，如：“虎父无犬子”，“瑞雪兆丰年”

设计意图：通过学生熟悉的函数关系，引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系。让学生体会研究变量之间相关关系的重要性。感受数学来源于生活。

（二）、初步探索，直观感知

1、根据样本数据利用电子表格作出散点图，直观感知变量之间的相关关系

师：在研究相关关系前，同学们先回忆一下：函数的表示方法有哪些？ 生：列表，画图象，求解析式。 师：下面我们就用这些方法来研究相关关系。请同学们看这样一组数据：

探究: 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？

生：随着年年23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 龄增长，脂龄

肪含量在脂9.17.21.25.27.26.28.29.30.31.30.33.35.34.增加 肪

5 8 2 9 5 3 2 6 2 4 8 5 2 6 师：有没有更直观的方式？生：画图 师生：用x轴表示年龄，y轴表示脂肪。一组样本数据就对应着一个点。由于数据比较多，我们借用电子表格来作图，请大家注意观察。

教师演示作图方法，学生观察

年龄

脂肪

23 9.5

27 17.8 脂肪含量

4039 21.2

3541 25.9

3045 27.5 2549 26.3

2050 28.2 15

53 29.6 10

54 30.2 5散点图

056 31.4 05101520253035404557 30.8

年龄58 33.5

60 35.2

61 34.6 这个图跟我们所学过的函数图象有区别，它叫作散点图。

50556065

数学实验1： 画出回归直线 脂肪含量

40

3530

25

201510

5

0

脂肪含量40353025201510500510152005101520253035年龄404550556065教师展示学生画图情况，学生说明理由

脂肪含量40353025201510学生方案一 学生方案二

525

03035年龄40455055606505101520253035年龄404550556065 脂肪含量

40

3530252015105005101520253035年龄404550556065

生总结：

第二种方法好，因为所有的点离这条直线最近。

学生方案三 师：即，从整体上看，各点与此直线的距离和最小。

2、

利用最小二乘法推导回归系数公式。

师：我们现在来求距离和。怎么求？ 生：利用点到直线的距离公式

师生共同：只要求出使距离和最小的a、b即可。但是，我们知道点到直线的距离公式计算复杂。怎么办呢？以样本数据点A为例， 60可以看出：

在RT△ABC中，（教师动画演示）

按照一对一的关系，直角边AC越小，

斜边AB越小，

当AC无限小时，

AB跟AC可近似看作相等。

-2050403020C10BA20406080x100-10-20

求AC麻烦，不妨求AB生：AByByA 师：它表示自变量x取值一定时，纵坐标的偏差。假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1,y1)(x2,y2)……(xn,yn)。当自变量x取xi（i=1，2，……，n）时，可以ˆbxia（i=1，2，……，n），它与实际收集到的yi之间的偏差是

得到yˆiyi(bxia)（i=1，2，……，n）

yiyˆi)，这样用n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。总的偏差为(yiyi1nˆi，由于带绝对值计算不方便所以换成平方，偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值yiyi1nˆi)(y1bx1a)2(y2bx2a)2(y3bx3a)2(ynbxna)2现在的问题就归结为：当a，bQ(yiyi1n2取什么值时Q最小。

将上式展开、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值时

22n(xx)(yy)(xx)(yy)iinnii2

i122i1Qna(ybx)(xx)b(yy)iinn22i1i1nn(xix)(xix)(xx)(yy)xynxyi1i1iiiibi1ni11n1nn2xi，yyi） 推导过程(xix)2xi2nx（其中xnni1i1ni1i1aybx用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差的和”最小的方法叫

“最小二乘法”。

设计意图：培养学生的动手操作能力，最小二乘法的思想是本节课的教学难点，先让学生动手操作画回归直线，教师动画演示，进一步演绎推理来分解难点、突破难点

3、利用电子表格的计算功能求出回归直线方程，并分析它的意义

师：利用最小二乘法就可以求出回归系数，进一步求出回归方程。下面我们具体操作一下。

我们先明确几个符号的含义：xi表示年龄，x1是23，x2是27，直到x14是61。i从1到14 ，

yi表示脂肪，y1是9.5，y2是17.8 。xiyi表示年龄与脂肪的成绩，xi2

表示

年龄的平方

xi

yi

xiyi

218.5 480.6 826.8 1061.9 1237.5 1288.7 1410 1568.8 1630.8 1758.4 1755.6 1943 2112 2110.6 19403.2

2xi年龄

23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 48.071

脂肪

9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 27.264286

529 729 1521 1681 2025 2401 2500 2809 2916 3136 3249 3364 3600 3721 34181

2n1n1nxxi表示自变量年龄的平均数，yyi表示因变量脂肪的平均数，xi表示自变量ni1ni1i1n的平方和，xiyi表示自变量与因变量乘积的和。要求出 a，b，必须先求出这些量。由于计i1算量大，我们用EXCEL来计算。 请大家注意观察

教师利用电子表格完成数学实验2、学生观察

数学实验2：求出下列各式的值（n=14）

xy14xyiii1214xii1

x11= xyiyi= ni1ni1nnxy= xiii1nn2i= i1bxynxyiii1nnxi2nxi12 aybx= ˆbxa yˆ0.5765x0.448（板书） 求出师：

通过计算，求出了a0.448,b0.5765 y回归直线方程有什么用呢？

ˆ的值，

生：知道x的值可以求y师：请同学们从表格中选取年龄x的一个值代入上述回归直线的方程，看看得出的数据与真实数值之间的关系。

学生代入检验 ˆ0.5765500.448y

29.272生；估计值是29.272，与实际值28.2有偏差， 师；为什么会出现这样的结果？

生：回归直线是估计出的，把a带入肯定有误差。

师：试预测某人37岁时，他体内的脂肪含量。并说明结果的含义。

学生代入计算 ˆ0.5765370.448y

20.882师：我们能不能说他的体内脂肪含量的百分比一定是20.882%,？ 生：不能。只能说他体内的脂肪含量在20.90%,附近的可能性比较大

（四）、线性回归分析思想在实际中的应用

总结：我们利用回归直线对年龄与脂肪的关系做了上述分析，这种分析方法叫做线性回归分析。利用这种分析方法可以对生活中的很多问题进行分析与预测。下面请同学们自己动手解决这样一个问题

例2有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对销售热饮的影响,经过统计,

摄氏温度/℃

热饮杯数

-5 0 4 7 12 15 19 23 27 93

31 76

36 54 156 150 132 128 130 116 104 89

得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表, （1）画出散点图

（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律

（3）求回归方程

（4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数

采用分组合作方式，学生分机操作，（一个学生操作，一个记录）展示学生操作情况

（五）、归纳总结，内化知识

1、回归直线方程的求法

①先判断变量是否线性相关

②若线性相关，利用公式计算出a、b ③利用回归方程对生活实际问题进行分析与预测

（六）作业布置与板书设计：