复习参考题教学设计内容推荐

12.2几何概型（复习课）

一、教材的地位和作用

“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是高考热点，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛的满足随机模拟的需要而新增加的内容，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。本节复习课进一步巩固几何概型的概念；理解几何概型与古典概型联系与区别；以及选择适当的测度，运用几何概型的概率公式求随机事件的概率。

二、考纲要求

1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率

2.了解几何概型的意义

三、教学重点与难点

重点：掌握几何概型中概率的计算公式。

难点：在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。通过数学建模解决实际问题。

四、考情分析

1.本部分是高考中重点考查的内容，通常与平面几何、空间几何体、线性规划、不等式的求解、方程的根所在的区间，定积分等知识交汇命题，重点考查几何概型概率的求法

2.经常以选择题、填空题的形式出现，解题时经常用到数形结合思想

五、教学方法，教学模式，教学手段

本节课采用以引导发现为主的教学方法，以类比归纳启发式作为教学模式，结合多媒体辅助教学。

六、学法指导

通过合作交流，类比联想，归纳化归，总结提升，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。

七、教学过程

（一）必记知识点

1．几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的

长

度

( __面积_或

_体积__)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为

__几何概型___。

2.特点:

①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;

②等可能性:每个结果的发生具有等可能性

3.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：

P(A)＝

__________________________。

必明2个易误点

1.计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题。

2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果。

（二）核心考点、分层突破

考点一

与长度、角度有关的几何概型

例1、在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有实根的概率为

.

解：当方程x2+2px+3p-2=0有两个负根x1和x2时,

-

-

或

-

应有解得

-

所以

[2,5],由几何概型的概率计算公式可知所求概率为

-

-

变式1：上例条件不变，则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为

变式2：在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的

概率为，则m＝__________

例2.如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM＜1的概率为__________。

题后反思:解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围。当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比。

变式训练3：如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为__________。

考点二

与面积有关的几何概型

0≤x≤2例3、(1)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到≤y≤2

坐标原点的距离大于2的概率是(

)

π－2πA.

4

B.

2

C.

.

解析：(1) 如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，4－π因此满足条件的概率是4。故选D。

(2)(2015南昌二模)若在圆C:x2+y2=4内任取一点P(x,y),则满足

的概率是

.

2

解：不等式组

(1-x)dx=2

-

|

,所以其概率为

表示的区域的面积为2

4－π

π

D. 64

题后反思:数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法。用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)＝构成事件A的区域的测度。

试验的全部结果所组成的区域的测度考点三

与体积有关的几何概型

例4.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为__________。

解析：点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外。记点P到点14π23－2×3×13πO的距离大于1为事件A，则P(A)＝＝1－3212。

题后反思:很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的

关键。

变式训练4:如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，

在正方体内随机取点M，则使1四棱锥M－ABCD

的体积小于6的概率为__________。

1111解析：当VM－ABCD＝6时，即3×1×1×h＝6，解得h＝2，即点M到底面ABCD的距离，

11×1×21所以所求概率P＝1×1×1＝2。

考点四

与线性规划有关的几何概型

例5(1)(2015石家庄二中一模)若从(0,e)内随机取两个数,则这两个数之积不小于e的概率为(

)

A.1-

B.1-

C.

D.

解析：设这两个数为x,y,则所有基本事件应满足

满足两个数之积不小于e的

区域为

则其面积为

2

-dx=(ex-elnx)

=e-2e,所以所求概率为

-

=1-

,故

选B.

题后反思:解决此题的关键是将已知两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概率问题。

变式训练5：两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率。

解析：不失一般性，设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间内相见，2当且仅当|x－y|≤3。

两人到达约见地点的所有时刻(x，y)的可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点表示，即阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，11－3S阴影即P＝＝12S单位正方形28＝9。

（三）课堂小结

1、知识方面:几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个．它的特点是试验结果在一个区域内的分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所

在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．

2、思想方法方面：注重转化思想在几何概型中的应用。很多几何概型,往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来,在解决问题时,要善于根据问题的具体情况进行转化,这种转化策略是解决几何概型试题的关键.如建立坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概型概率公式计算.

3、易错警示：解决几何概型问题时,有两点容易造成失分: ①不能正确判断事件是古典概型还是几何概型; ②利用几何概型的概率公式时,忽视事件是否等可能.

高考模拟

1．(2015·陕西卷)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(

) 31111111A.4＋2π

B.4－2π

C.2－π

D.2＋π

12．(2015·湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥2”的概率，p2为事件“|x11－y|≤2”的概率，p3为事件“xy≤2”的概率，则(

) A．p1＜p2＜p3

B．p2＜p3＜p1

C．p3＜p1＜p2

D．p3＜p2＜p1

3．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为(

) 4321A.5

B.5

C.5

D.5

4．如图在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为__________。

5．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30－7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________。(用数字作答)