2.5.2 向量在物理中的应用举例课程导入及其完整教案

高一必修四第二章2.5.1平面几何中的向量方法

（授课人：杨文倩）

一、

教材的地位与作用

《普通高中数学课程标准》指出向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数与几何一种工具，有着极其丰富的实际背景.在平面向量这一章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.在向量的应用中，要求学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何、物理等问题的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.

二、

教学目标

知识与技能：能运用平面向量的方法解决一些简单的平面几何问题，理解相量法解决几何问题的三步曲，领悟到平面向量解决平面几何问题的优越性。

过程与方法：掌握用向量法解决平面几何问题的两种基本方法——选择基向量和建系坐标法，培养学生的向量运算能力、推理论证能力。

情感态度与价值观：通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有些平面几何问题中的优越性，培养学生用向量的“眼光”理解几何问题中的条件和结论，用向量的“手段”进行推理论证，从而活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义.

三、教学策略

1、教学重点：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”

2、教学难点：如何将平面几何问题转化为向量问题

3、教法选择：

（1）借助ppt，投影仪等多媒体；

（2）以自主学习与合作学习为主，直观展示法、设疑诱导法为辅的教学模式；

（3）讲练结合，逐层推进的方式．

4、学法指导：

（1）根据自主性和差异性原则；

（2）自主学习和合作学习结合的原则；

（3）以促进学生发展为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验．

5、课堂组织形式：

在教师指导下，实现学生的自主学习．它旨在调动学生的参与和学习的主动性，发挥学生的主体作用，改变教师讲述为主的教学模式，创造一个民主的、活跃的课堂氛围．

四、教学设计

1、导入新课

向量具有“数”与“形”的双重特点，这使得向量成为数形结合的桥梁，成为中学数学知识点的一个交汇点，由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，从而沟通了平面向量与平面几何的内在联系，在某种条件下，平面向量与平面几何可以相互转化。

2、新课探究

探究1

平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如下图，你能发现平行四边形对角线的长度

与两条邻边长度之间的关系吗？

CBDA

你能发现吗？怎么猜测？如何证明？师生交流共同探究，完成证明过程. 设计目的：培养学生的观察、发现、猜想能力，引导学生去探索，让学生体验思路的形成过程，学会分析问题的方法. 探究2 问题

如图，设△ABC的两条高AD与BE相交于点P，要说明AB边上的高CF经过点P，你有哪些办法？

思考1：三角形的三条高线具有什么位置关系？

思考2：设向量

a，

b，

c，则

PC⊥BA可转化为什么向量关系？

思考3：对于PA⊥BC，PB⊥AC，用向量观点可转化为什么结论？

PAPBPCA

E

F

P

D

C

B

F

A

a

E

P

b

D

c

C

B

思考：如何用向量的方法求解？

师生共同讨论交流，由教师给出证明过程. 设计目的：通过探究让学生学会分析问题,探究过程对照“三步曲”得出结论. 体会向量是一种处理几何问题的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力

探究（三）：计算夹角的大小

问题 如图，在等腰△ABC中，D、E分别是两条腰AB、AC的中点，若CD⊥BE，你认为∠A的大小是否为定值？

思考3：将CD⊥BE转化为向量运算可得什么结论？

思考4：因为△ABC是等腰三角形，则|a|=|b|，结合上述结论: cosA等于多少？

思考1：设向量

a，

b，可利用哪个向量原理求∠A大小？

思考2：以a，b为基底,向量

BE

，CD

如何表示？

ABAC

例2

证明直径所对的圆周角是直角

如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°

分析：要证∠ACB=90°，只须证向量

AC



CB

即

ACCB0C

bA

aO

B

学生分组讨论交流，学生说出自己的想法和思路，教师进行点评后，让学生整理解答过程，规范书写. 通过这两道题的学习，你有哪些收获？

师生交流共同完成.

思考：能否用向量坐标形式证明？

3、小结归纳

方法提炼：

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）把运算结果“翻译”成几何元素.

设计目的：帮助学生总结知识，归纳方法.有助于对知识的理解，对方法的掌握.

应用提升：

例3 如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD 、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

思考：从矩形这种特例中你发现什么结论，猜想能推广到平行四边形中吗？

学生分组讨论交流，学生说出自己的想法和思路，教师进行点评后，让学生整理解答过程，规范书写.

设计目的：针对矩形、平行四边形等特殊平面图形，建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，可使解题思路明确，过程简洁.

4、总结反馈

（1）本节课我们学到了哪些知识？

（2）学习过程中你体会了哪些数学思想和方法？

（3）通过本节课的学习你有哪些收获和困惑？

设计目的：帮助学生总结知识，归纳方法，建构知识体系，及时反馈学生掌握情况.

5、布置作业

本节内容的配套练习

设计目的：巩固所学方法，规范解题步骤.

五、板书设计

平面几何中的向量方法

一、新课引入

三、深入认识

二、合作探究

——例3（思路分析）

——例1

阶段小结

强调：平面向量基本定理和共线向量

——例2

定理，数形结合思想，“算两

六、教学反思

平行四边形是学生熟悉的重要几何图形，在平面几何的学习中，学生得到过它的很多性质，但有些性质的得出比较麻烦，例1中用向量的方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系，在用向量方法解决涉及长度、夹角问题时，常常考虑用向量的数量积，通过本例学生可以发现，由于向量能够运算，因此在解决某些几何问题时，常常考虑用到向量的数量积，它在某些几何问题上有优势。

通过本节课的教学实践，认识到多一点精心预设，就能融一份动态生成，体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”.在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，课堂上的真正主人应该是学生.一堂好课，师生一定会有共同的、积极的情感体验.本节课的教学中，知识点均是学生通过在解决实际问题的过程中“抽出”的，并通过动态地串知成链，完成知识结构框架图，学生真正体会到数学来源于生活又服务于生活.研究教材，素养落地，在本节课中，我进行了教学尝试. 成功之处：

1、教学设计独到而又新颖，打破常规，不走寻常路，让学生感受到“向量因运算而力量无限”，

体会到“向量法解决平面几何问题的优越性”。利用实例的探究完成本节课的教学目标，突出以学生为主体，教师以引导者的身份帮助他们完成知识结构体系的建构；

2、教态自然得体，亲和力强，能很好地驾驭课堂，积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃；

3、多媒体课件的内容丰富而又简洁，它仅作为课堂教学的辅助载体. 改进之处：由于时间关系，在这堂课中完成了知识结构体系的建构后，没有时间去系统梳理本节知识点，思想方法等；若时间充裕，可考虑变式题的作答让学生有更多的时间，可以考虑一题多解让学生在解题的过程中更加充分体验向量方法在解决几何问题中的优越性、工具性，从而让学生认知更上一层楼，享受更大成功的喜悦.