2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案和学案内容

平面向量的正交分解及坐标表示

一、教材分析

本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。

2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容1.平面向量的基本定理，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。本节教学的内容是本单元的第2节。

本节课的核心知识是“平面向量正交分解条件下坐标表示”，学生正确建构了向量的坐标表示，才能真正理解向量的“代数化”，进而从代数的角度理解向量的运算，所以本节课的设计，力图呈现平面向量坐标表示的发生、发展过程。对于本节课的知识，如果学生记住向量坐标表示的结论，学生也能解决一系列的问题，教学的重心放在学生对向量坐标表示的意义理解上。

二、教学目标

（1）知识与技能

1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：（1）能写出给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；

2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1）知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；（2）向量的坐标等于终点减去起点坐标。

3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。

（2）过程与方法

学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。

（3）情感态度与价值观

在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。

三、教学重点

：平面向量坐标表示的定义

四、教学难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解

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五、教学过程

（一）问题情境1：倾斜角为30度的斜面上，质量为100kg的物体匀速下滑，

欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解? 设计说明：引出课题。

回顾向量基本定理，构造建立直角坐标系条件，为研究问题做铺垫。

（二）向量坐标表示的定义探究

问题1：如图所示，取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底，分别用i,j表示向量a、b.

设计说明：由特殊归纳一般，提炼方法。

问题2：由特殊到一般，你能归纳概括出平面内任意一个向量a的坐标定义吗? 设计说明：为学生提供归纳、概括的机会。（辨析讨论后得出定义）

教师操作：平移向量，追问：向量的坐标是否改变？表示向量的有向线段的起点和终点坐标是否改变？在变与不变中是否蕴含着规律？

(三)向量坐标与表示该向量有向线段起、终点坐标之间的关系

思考：向量a有坐标，表示向量a的有向线段起点和终点也有坐标，这三个坐标之间有怎样

的关系呢？

问题3：如图所示，

y4B321j-4-3-2-1o-1i1234xC-2A-3

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（1）分别用基底i、j表示向量OA,OB,OC,并写出它们的坐标；

（2）由向量OA,OB,OC的坐标，对比点A、B、C的坐标，你有什么发现? 能用自己的语言概括出来吗? 设计说明：提供学生发现规律的引导题解，让学生在特殊中发现规律，进而利用几何画板验证一般情况，即起点在坐标原点，终点的坐标即为向量的坐标。

问题4：如图所示，分别用基底i,j表示向量

a,b,c,d，并求出它们的坐标。

设计说明：让学生感受猜想——验证——推理的数学结论的认知过程。

（四）向量与坐标的对应关系

思考：在直角坐标系下，点和它的坐标之间是一一对应的，即给出一个点，有唯一的坐标；反之，给出坐标，点的位置也唯一确定。向量有坐标，向量和它的坐标之间是否也有一一对应的关系呢？为什么？

问题5：给出向量坐标，在直角坐标系中如何画出向量？如a=(-2,-4),画出表示向量a的有向线段. 设计说明：由点与它的坐标的一一对应关系，类比向量和它的坐标之间的对应关系。

（五）本课时的小结。

（六）作业布置。

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