2.1.3 相等向量与共线向量ppt课件教学实录

2.1.3 相等向量与共线向量教学设计

乳源高级中学

杨鸿

一、教材内容分析

向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它具有几何形式和代数形式的双重特征，因而成为数形结合的桥梁，成为沟通代数、几何、三角的得力工具.向量的概念是从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，反过来它的理论和方法又成为解决生活实际问题和物理学的重要工具.它之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化.正是由于向量所特有的数形二重性，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在高中数学教学内容中有广泛的应用.

本课的教学内容：相等向量与平行向量，既是本节课的重点又是难点，重点是对相等向量和平行向量概念的理解，难点是利用向量的概念对相等向量和平行向量的辨析。本课属于是“平面向量”的概念课，具有“统领全局”的作用.基于学生理解向量的形式化定义及几个相关概念的基础上，对相等向量与平行向量概念的理解与辨析，同时在后续的教学中，为学生提供体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高学生提出问题，解决问题的能力.

二、学情分析

高一学生在认识能力、抽象能力和思维能力等方面相对较弱，由于对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以学生对它的认识不可能一步到位。因此，进行概念教学时，除了对概念进行逐字逐句分析外，还要通过日常生活中的实例和不同的问题设置引导学生对概念进行分析，使学生对概念的理解逐步深入。本课是在学生已学习了向量的物理背景与概念及向量的几何表示之后，学生对向量的概念、平行向量的概念以及向量的表示方法有一定了解的基础上所进行的教学。但依然要抓住向量的本质——大小和方向，进行分析引导教学注意在学生疑难处设问，辨析，最终实现真正理解。

教学目标

根据本课教材的特点，新课标的教学要求，学生身心发展的需要，本节课确定教学目标如下：

知识与技能

（1）理解平行向量、相等向量、共线向量等概念；

（2）会区分相等向量和共线向量

过程与方法

问题驱动教学法与自主探究法相结合，激发学生学习的积极性，提高学生提出问题，分析问题，解决问题的能力。相等向量与共线向量，是向量的概念课，学生在教师围绕向量的本质特征设置的问题的引导之下，辨析清楚与之前知识的联系与区别，理解相等向量、共线向量的概念的内涵与外延，对概念理解透彻，达到教学的真正目的。

情感目标与价值观

通过对相等向量和平行向量概念的理解，并利用向量的概念对相等向量和平行向量的辨析，培养学生认识客观事物的数学本质的能力,在学习的过程中体会分类讨论，转化化归等数学思想，提升学生的数学素养。

教学重点及难点

重点：理解相等向量、共线向量的概念

难点：利用向量的概念对平行向量、相等向量和共线向量的辨析

1

三、教法学法分析

相等向量、共线向量等概念让学生在对向量的两要素（大小、方向）的认识中结合具体案例主动构建，有助于学生认同新概念的合理性，让学生自己得出的概念比简单的告诉印象要深刻得多.总之，为了加深学生对向量内涵与外延的理解，精心设问选例，引导学生的思考置疑.通过文字符号表示→直观形象→具体→抽象→再具体→文字符号表示的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移. 四、学法指导：

本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“问题驱动教学法”进行学习。本课学生的学习主要采用下面的模式进行：

通过文字符号表示→直观形象→具体→抽象→再具体→文字符号表示的反复过程。

五、教学流程设计

复习回顾，导入新课

提出问题

，分析问题

引

出

概

念

，辨析概念

ysinx,x[0,2]

例题分析，巩固提升

课堂小结

，布置作业

ysinx,x[0,2]

六、教学过程与操作设计

复习引入

1.向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示？

联系：向量与数量都是有大小的量；

区别：向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小. 向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示. 2.什么叫向量的模？零向量和单位向量分别是什么概念？

向量的模：表示向量的有向线段的长度. 零向量：模为0的向量.

单位向量：模为1个单位长度的向量. 设计意图：学生充分理解掌握相等向量和平行向量的基础是向量的概念。在学习新课之前，对平面向量概念的复习是必要的，并且可以用复习引入新课。

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引进向量概念后，我们就要建立相关的理论体系，为了研究的需要，我们必须向量的相互关系。

问题1：向量由其模和方向所确定，对于两个向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？你能用有向线段作出示意图吗？

你认为如何规定两个向量相等？

模相等，方向相同；

模相等，方向不相同；

模不相等，方向相同；

模不相等，方向不相同；

设计意图：抓住向量的两个要素设计问题，并用有向线段将问题具体化，体现了数形结合的思想。学生可能会想到的是同向或反向的特殊情况，所以当两个向量方向不同时，课件上提供不共线的图示，弥补学生的思维漏洞，同时为后续平面向量基本定理的学习作铺垫。针对问题的分析和探索后，学生自然能得出向量相等的概念，并能理解其合理性。

1.相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

如图，向量a与b相等记作a=b。

零向量与零向量相等。

问题2:相等向量是不是一定要起点和终点都要相同呢？

问题3:任意两个相等的非零向量是否可用同一条有向线段来表示?与向量的起点有关吗？

设计意图：辨析平行向量与直线的平行的区别与联系，通过课件动画演示，对于非零向量AB和CD，如果AB=CD，通过平移使起点A与C重合，终点B与D的位置重合，从直观的角度辅助学生理解任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。

问题4：如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作出OA=a，OB=b，OC=c，那么点A、B、C的位置关系如何？

设计意图：通过课件动画演示，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，从直观的角度辅助学生理解平行向量就是共线向量。

规定：零向量与任一向量共线，即对于任意向量a，都有0∥a。

问题5：平行向量所在的直线一定互相平行吗？

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设计意图：从几何特征的角度，分析平行向量。

问题6：向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不是相同的概念？

设计意图：认清平行向量的概念，辨析平行向量与直线的平行：平行向量即共线向量，两向量平行包含表示向量的有向线段在同一条直线上以及在两条平行线上。而两直线平行是不包括重合的情况。

问题7：两个非零共线向量a、b，就其模等与不等，方向相同与相反而言，有哪几种可能情形？

因为向量完全由它的模和方向确定.对于两个非零向量a，b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有四种可能情形：模相等, 方向相同; 模相等, 方向不相同;模不相等,

方向相同;

模不相等,

方向不相同。

设计意图：从向量的概念的角度，弄清概念的内涵，正确辨析共线向量的概念。

问题8：相等向量一定是平行向量吗？平行向量一定是相等向量吗？

相等向量是指方向与长度都相同的向量，共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量是共线向量，但共线向量不一定是相等向量。

设计意图：辨析相等向量与平行向量的关系，弄清概念的外延。

问题9：以上几个问题对我们寻找相等向量和共线向量有何启示？

设计意图：平行向量的问题转化为平面几何的问题解决，关键是找与已知的向量的有向线段平行或重合的线段，在跟据定义下结论,体现转化与化归的数学思想。

问题10：用有向线段表示非零向量AB和CD，如果AB=CD，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？

设计意图：对相等向量的概念的直接运用，也是几何直观表示，更是对前面问题概念辨析的实际运用一次检验。

辨一辩

1.下列说法正确的是

(

) (A) 0 是零向量

(B) 长度相等的向量叫做相等向量

(C) 共线向量是在一条直线上的向量

(D) 方向相同或相反的非零向量是平行向量

2、下列命题正确的是

(

) （A）共线向量都相等

（B）单位向量都相等

（C）平行向量不一定是共线向量

（D）零向量与任一向量平行

设计意图：从文字语言的角度考查学生对平面向量概念的辨析，让学生巩固相等向量与平行向量的概念。

4

例1设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量. 变式一：

(1)

OA

与

EF

相等吗? (2)

OB

与

AF

相等吗? (3) 与

OA

长度相等的向量有几个? (4) 与

OA

共线的向量有哪几个?

变式2

如下图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC与BD 相交于点O，在向量AO，AC，OC，BO，DO，AB，CD，等中，哪些向量是共线向量？

设计意图：从几何特征的角度考查学生对平面向量概念的辨析，让学生巩固相等向量与平行向量的概念，同时体现数形结合的解决问题的方法。

3、判断下列命题是否正确(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同;(2)若|a||b|,则ab;(3)若ABDC，则四边形ABCD是平行四边形;(4)平行四边形ABCD中，一定有ABDC;(5)若ab,bc,则ac;(6)若a//b,b//c,则a//c其中不正确命题的个数是A.2B.3C.4D.5

4.已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b;

②|a|=|b|;

③a与b的方向相反; ④a=0或b=0;

⑤

a与b都是单位向量. 其中是向量a与b平行的有_____. 设计意图：从文字符号语言的角度考查学生对平面向量概念的辨析，让学生巩固相等向量与平行向量的概念，概念是主线。

课堂小结

1.相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念. 2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. 3.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线。

4.平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性。

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作业

P77

A组3、5 思考题

如图,以1

3方格中的格点为起点和终点的所有向量中,有多少种大小不同的模?有多少种不同的方向?相等的非零向量共有几对？

设计意图：作业布置有助于让学生巩固相等向量与平行向量的概念与运用，思考题拓展学生思维和能力提高。

板书设计

练习

多媒体

概念

教学反思

向量作为现代数学重要标志之一，在其引入中学数学以后，给中学数学带来了无限生机。相等向量与平行向量，既是本节课的重点又是难点，重点是对相等向量和平行向量概念的理解，难点是利用向量的概念对相等向量和平行向量的辨析。本课属于是“平面向量”的概念课，具有“统领全局”的作用.基于学生理解向量的形式化定义及几个相关概念的基础上，对相等向量与平行向量概念的理解与辨析，同时在后续的教学中，为学生提供体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高学生提出问题，解决问题的能力.概念的教学应在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目，本课通过教师精心设计的围绕向量的概念本质特征的问题驱动的形式，让学生参与概念本质特征的研究活动中，逐步揭示相等向量与共线向量的内涵与外延，让学生透彻的理解概念，在学习的过程中体会分类讨论，转化化归等数学思想，提升学生的数学素养，从而实现教育学生的最终目的。

2019.6.13

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