4.1.2函数的表示法教案及板书设计

课

题

编写时间

4.1函数和它的表示法（1）

年

月

日

总第

课时

年

月

日

执行时间

1、借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数教学目标

学问题，能指出具体问题中的常量、变量．

2、初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。

重点难点

学具教具

教学过程：

借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念

一、创设情境、导入新课

我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的，例如：地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间。

二、合作交流、解读探究

1、气温问题：上图是北京春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：

（1）这天的8时的气温是 ℃，14时的气温是 ℃，最高气温是 ℃，最低气温是 ℃；

（2）这一天中，在4时~12时，气温（ ），在16时~24时，气温（ ）。

A.持续升高 B.持续降低 C.持续不变

思考：

（1）天气温度随 的变化而变化，即T随 的变化而变化；

（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？

2、当正方形的边长x分别取1、2、3、4、5、6、7……时，正方形的面积S分别是多少？

333、某城市居民用的天然气，1m收费2.88元，使用x（m）天然气应缴纳费用y=2.88x ,当x=10时，缴纳的费用为多少？

思考：上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？那些量是变化的？那些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？

在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如正方形的面积……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个。

2019年上期八年级数学教案

教师根据学生的回答，在黑板上板书：

时间－－－－气温

正方形边长－－－－正方形面积

天然气费用－－－－天然气体积

都有两个变量x,y都是变量y随着x的变化而变化学生们会得出：

当x取一个确定值的时候，y只有一个值与之对应师生对上述三个问题进行分析，找出它们的共性，归纳出函数的概念。

在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。

三、应用迁移、巩固提高

例1

已知圆柱的高是4cm，底面半径是rcm，当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的3体积Vcm是r的函数。（1）用含r的代数式来表示圆柱的体积V，指出自变量r的取值范围；（2）当r=5,10时，V是多少（结果保留）？

（1）r的变化会引起圆柱中哪些量发生变化？这些变量是高r的函数吗？

（2）试求体积V随r变化的关系式，并指出其中的常量、变量与自变量。

课堂练习

1.请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量和函数：

2（1）y =3000-300x； (2) y=x； (3) S= r；

2.根据所给的条件，写出y与x的函数关系式：

① y 比 x的1/3 少2。② y 是 x的倒数的4倍。

③

矩形的周长是18 cm ,它的长是ycm，宽是x cm。

④

等腰三角形的顶角度数y与底角x的关系

板书设计教学反思4.1函数和它的表示法（1）

因变量、自变量、常量

例题与练习

函数的概念与两个要点

2019年上期八年级数学教案

课

题

编写时间

教学目标

重点难点

学具教具

教学过程：

4.1函数和它的表示法（2）

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总第

课时

年

月

日

执行时间

1、了解函数的三种表示法：(1)解析法(2)列表法(3)图象法; 2、进一步理解函数值的概念; 3、会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值。

认清函数的不同表示方法及各自优缺点，能按情况选用适当的方法。

一、创设情景，导入新课

实验演示：倾斜木板，将小车置于木板顶端，观察小车下滑过程.

小车沿斜坡下滑，下滑速度与其下滑时间的关系如上图所示. 1.填写上表： 2.写出V与t之间的关系式.

二、探究新知

1、说一说

1）上节问题1是怎样表示气温T与时间t之间的函数关系的？

2）上节问题2是怎样表示正方形的面积S与边长x 之间的函数关系的？

3）上节问题3是怎样表示交纳的费用y与使用天然气的体积x之间的函数关系的？

像上节问题1那样，建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的值（即因变量的对应值）为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象.这种表示函数关系的方法称为图象法. 像上节问题2那样，列一张表，第一行表示自变量自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即因变量的对应值），这种表示函数关系的方法称为列表法. 像上节问题3那样，用式子表示函数关系的方法称为公式法，这样的式子称为函数的表达式. 我们可以看到，用图象法、列表法、公式法均可以表示两个变量之间的函数关系. 用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化；用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值；用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值. 通过观察、作图、交流归纳等数学实践活动，使学生加深对函数三种表示方法的认识，提高把实际问题转化为数学问题的能力

2019年上期八年级数学教案

三、新知应用

例1.用边长为1的等边三角形拼成图形，如图4-3所示，用y表示拼成的图形的周长，用n表示其中等边三角形的数目，显然拼成的图形的周长y是n的函数.

(1) 填写下表：

n y 1

2

3

4

5

6

7

8

…

(2) 试用公式法表示这个函数关系. (3) 试用图象法表示这个函数关系. 例2.某天7时，小明从家骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 图4-5反映了他骑车的整个过程，结合图象，回答下列问题：

（1）自行车发生故障是在什么时间？此时离家有多远？

（2）修车花了多长时间？修好车后又花了多长时间到达学校？

（3）小明从家到学校的平均速度是多少？

四、巩固练习

练习1，2，

（说明：函数的图象是由一系列的点组成，图象上每一点的坐标（x,y）代表了该函数关系的一对对应值。1、读懂横、纵坐标分别所代表的实际意义；2、读懂两个量在变化过程中的相互关系及其变化规律。

板书设计教学反思4.1函数和它的表示法（2）

函数的三种表示法 例题与练习

三种表示法的优缺点

2019年上期八年级数学教案

课

题

编写时间

教学目标

重点难点

学具教具

教学过程：

4.1函数和它的表示法（3）

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总第

课时

年

月

日

执行时间

1、运用丰富的实例,帮助学生全面理解函数的三种表示方法

2、通过观察、作图、交流归纳等数学实践活动，使学生加深对函数三种表示方法的认识，提高把实际问题转化为数学问题的能力

根据表示函数的三种方法分析应用题

一、创设情境 问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得报酬为m元，填写下表后回答下列问题：

工作时间t（时）

1 5 10 15 20 ……

报酬m（元）

（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16，变量t、m）

（2）能用t的代数式来表示m的值吗？（能，m=16t）

指出：在这个变化过程中，有两个变量t，m，对t的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与它对应．

问题2 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s(米)与助跑的速度v(米／秒)有关．根据经验，跳远的距离s0.085v2(0

（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量0.085，变量v、s）

(2)计算当v分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s是多少(结果保留3个有效数字)? (3)给定一个v的值，你能求出相应的s的值吗? 指出：在这个变化过程中，有两个变量v，s，对v的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与它对应．

二、探究新知

例1: 等腰△ABC的周长为20，底边BC长为y，腰AB长为x，求：

（1）y关于x的函数解析式；

（2）当腰长AB=7时，底边的长；

（3）当x=11和x=4时，函数值是多少？

说明（1）第1问中的函数解析式不能写成y2x20的形式，一定要把y写成x的代数式，（2）实际问题中，自变量的取值范围往往受到条件的限制，本题的自变量的取值范围是5

2019年上期八年级数学教案

例2 某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示: 月用水量x(度) 收费标准y （元/度）

018 3.00 （1）y是x的函数吗？为什么？

（2）分别求当x=10,16,20时的函数值，并说明它的实际意义．

说明

本例安排的目的两个：①是让学生进一步巩固函数的概念；②让学生体会当函数用列表法给出时函数值的求法．本例教学时教师应向学生解释“收费实行阶梯水价”的含义，即月用水量不超过12度时每度2元，超过12度不超过18度时每度2.5元，超过18度时每度3元，如月用水量为38度时，应交水费y =2×12+6×2.5+3×20=99（元）

练习:下图是小明放学回家的折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程．

请根据图象回答下面的问题：(1)这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？路程s可以看成t的函数吗？(2)求当t=5分时的函数值？(3)当 10≤t≤15时对应的函数值是多少并说明它的实际意义？(4)学校离家有多远？小明放学骑自行车回家共用了几分钟？

三、课堂小结：

1、函数图象与函数性质之间存在着必然联系，我们可以归纳如下：

图象特征

函数变化规律

由左至右曲线呈上升状态．y随x的增大而增大．

由左至右曲线呈下降状态．y随x的增大而减小．

曲线上的最高点是（a，b）．x=a时，y有最大值b．

曲线上的最低点是（a，b）．x=a时，y有最小值b．

2、能够分析图象信息，解答有关问题．通过例题学会了用描点法画出函数图象，这样我们又一次利用了数形结合的思想．

板书设计教学反思4.1函数和它的表示法（3）

图象特征

函数变化规律

例题与练习

由左至右曲线呈上升状态．y随x的增大而增大．

由左至右曲线呈下降状态．y随x的增大而减小．

曲线上的最高点是（a，b）．x=a时，y有最大值b．

曲线上的最低点是（a，b）．x=a时，y有最小值b．

2019年上期八年级数学教案

课

题

编写时间

教学目标

重点难点

学具教具

教学过程：

4.1函数和它的表示法（4）

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课时

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执行时间

1.会根据实际问题构建数学模型并列出函数解析式；2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值，或是根据函数值求对应自变量的值；3.会在简单的情况下根据实际背景对自变量的限制求出自变量的取值范围. 重点：求函数解析式

难点：根据实际问题求自变量的取值范围并化归为解不等式(组)

一、创设情境

问题1 填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，你能写出y与x的函数关系式吗?

解

如图能发现涂黑的格子成一条直线．（ y＝10－x．）

问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．

二、探究归纳

思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．

(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？

分析

问题1，观察加法表涂黑的格子的横向的加数的数值范围．问题2，因为三角形内角和是180°所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°．

（(1)问题1， 1≤x≤9；问题2， 0＜x＜90；

(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4．）

2上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：s＝60t， S＝πR．

2019年上期八年级数学教案

在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S＝πR2中自变量R的取值范围是全体实数，但如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围就应该是R＞0．

三、交流反思

1.求函数自变量取值范围的两个依据：

(1)要使函数的解析式有意义．①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．

(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．

2.求函数值的方法：跟求代数式的值的方法一样就是把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．

四、检测反馈

1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：

(1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm．求y和x间的关系式；

(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式；

(3)矩形的周长为12 cm，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积．

2.求下列函数中自变量x的取值范围，并分别求出x＝2的函数值：

(1)y2x5x2； (2) y＝x(x＋3)；

(3)y6x； (4)y2x1．

x3板书设计4.1函数和它的表示法（4）

函数自变量的取值范围

问题与例题

函数值的求法

检测与练习

教学反思

2019年上期八年级数学教案

课

题

编写时间

教学目标

重点难点

学具教具

4.1函数和它的表示法（练习）

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总第

课时

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执行时间

1、理解函数的概念，能准确识别出函数关系中的自变量和函数

2、会用变化的量描述事物；

3、会用运动的观点观察事物，分析事物

领会函数的意义，分析概括图像中的信息

1、等腰△ABC的周长为10cm，底边BC的长为ycm,腰AB的长为xcm. （1）写出y关于x的函数关系式

（2）求x的取值范围 （3）求y的取值范围

2、小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10 分钟报纸后，用15分钟返回家里．图中表示小明的父亲离家的时间与距离之间的关系是（ ）．

3．某运动员将高尔夫球击出，描绘高尔夫球击出后离原处的距离与时间的函数关系的图像可能为（ ）．

4．飞机起飞后所到达的高度与时间有关，描绘这一关系的图像可能为（ ）．

5、假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间T的关系在平面直角坐标系中所示，如图，请结合图形和数据回答问题：

（1）这是一次 米赛跑；

（2）甲、乙两人中先到达终点的是 ；

（3）乙在这次赛跑中的速度为____________；

（4）甲到达终点时，乙离终点还有__________米。

2019年上期八年级数学教案

6、

已知函数y2x1，则自变量x的取值范围是__________。

x3

7、下列各图象中，y不是x的函数的是（

）

8、汽车加油时，加油枪的流量为10L/min．

①如果加油前，油箱里还有5 L油，写出在加油过程中，油箱中的油量y（L）与加油时间x（min）之间的函数关系；

②如果加油时，油箱是空的，写出在加油过程中，油箱中的油量y（L）与加油时间x（min）

之间的函数关系．

9、某地在调整电价时，为了鼓励居民节约用电，采取了居民用电分段计价的办法：若每月每户用电量不超过80度，按0.48元/ 度收费；用电量在80～180度（含180度）之间，超过80度的部分按0.56元/度收费；用电量在180度以上，超过180度的部分按0.62元/度收费．若用x表示某居民某月的用电量（单位：度），用y表示该月用电的电费（单位：元）

试写出y是x的函数的关系表达式。

板书设计教学反思4.1函数和它的表示法（练习）

练习与分析

练习与分析

2019年上期八年级数学教案