方差的应用教学设计及教案分析

《数据的波动程度》教学设计

一、内容和内容解析

（一）内容

方差计算公式：（二）内容解析

．

本节课是在学生学***均数、中位数、众数这类刻画数据集中趋势的量后，学习刻画数据波动（离散）程度的量，即方差．

当两组数据的平均数相等或相近时，为了更好的做出选择经常要去了解一组数据的波动程度，可以画折线图方法来反映这种波动大小，可是当波动大小区别不大时，仅用画折线图方法去描述恐怕不会准确，这自然希望可以出现一个量来刻画，自然引入方差．方差是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量，应用它能解决很多实际问题．

教科书根据农科院选择甜玉米种子的背景提出问题，从统计上看，这个问题是要计算两组数据的平均数和比较它们的波动情况．为了直观看出数据的波动情况，教科书画出了两个散点图，通过观察散点图，可以比较两组数据的波动情况．这两个散点图使学生对数据偏离平均数的情况有一个直观的认识．在此基础上，教科书引进了利用方差刻画数据离散程度的方法，介绍了方差的公式，并从方差公式的结构上分析了方差是如何刻画数据的波动的，既方差越大，数据的波动越大．

因此本节课的教学重点是：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题．

二、目标和目标解析

（一）教学目标

1．理解方差概念的产生和形成的过程．

2．会用方差的计算公式来比较两组数据的波动大小．

（二）教学目标解析

1．学生能由实际问题中感知，当两组数据的“平均水平”相近时，而实际问题中的意义却不一样，需出现另一个量来刻画，分析数据的差异，即方差．

2．学生能根据已知条件计算方差，比较两组数据的波动大小．

三、教学问题诊断分析

由于这节课是方差的第一节课，用方差来刻画数据的离散程度，从方差公式的结构上分析了方差是如何刻画数据的波动的，这些学生理解起来有一定的难度，以致应用时常常出现计算的错误，教师要剖析公式中每一个元素的意义，以便学生理解和掌握．

本节课的教学难点为：理解方差的意义．

四、教学过程设计

（一）情景引入

问题1 教科书第124页根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？

师生活动：学生想到计算它们的平均数．教师把学生分成两组分别用计算器计算这两组数据的平均数．（请两名同学到黑板板书）

设计意图：让学生明确农科院应该选择哪种甜玉米种子？需关注平均产量．

追问：怎样估计这个地区这两种甜玉米的平均产量？这能说明甲、乙两种甜玉米一样好吗？

设计意图：让学生明确可以用样本平均数估计总体平均数，发现甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大，但需选择哪种甜玉米种子？仅仅知道平均数是不够的．

（二）探究新知

问题2 如何考察甜玉米产量的稳定性呢？请设计统计图直观地反映出甜玉米产量的分布情况．

师生活动：教师引导学生用折线图或散点图反映数据的分布情况，画出折线图或散点图后，小组讨论，得到甲种甜玉米的产量波动较大，乙种甜玉米的产量波动较小．

设计意图：让学生明白当两组数据的平均数相近时，为了更好的做出选择需要去了解数据的波动大小，画折线图或散点图是描述数据波动大小的一种方法，进而引出如何用数值表示一组数据的波动？

问题3 从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢？

师生活动：教师直接给出方差公式，并作分析和解释，波动大小指的是与平均数之间差异，那么用每个数据与平均值的差完全平方后便可以反映出每个数据的波动大小．教师说明，平方是为了在表示各数据与其平均数的偏离程度时，防止正偏差与负偏差的相互抵消．取各个数据与其平均数的差的绝对值也是一种衡量数据波动情况统计量，但方差应用更广泛．整体的波动大小可以通过对每个数据的波动大小求平均值得到．

设计意图：让学生明白方差是能够反映一组数据的波动大小的一个统计量，并从方差公式中得到方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．

问题4 利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度．

师生活动：教师示范：

；

．

关注学生是否会代值到公式中，从结果中能否知道哪种玉米的波动较大．

设计意图：使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用于实践，不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识．

追问：农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？

设计意图：让学生类比用样本的平均数估计总体的平均数一样，用样本的方差来估计总体的方差，但用样本的方差来估计总体的方差时，先要计算它们的平均数．

（三）运用新知

例1

在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是：

甲

乙

163

163

164

165

164

165

165

166

165

166

166

167

166

168

167

168

哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？

师生活动：引导学生分析：（1）题目中“整齐”的含义是什么？学生通过思考可以回答出整齐即身高的波动小，所以要研究两组数据的波动大小，即求方差．

（2）在求方差之前先要求哪个统计量？（平均数）．（3）老师板书解题过程，学生和老师一起计算、判断、解决问题．

设计意图：使学生明确利用方差计算的步骤，以及方差反映数据波动大小的规律．

（四）巩固新知

练习1

计算下列各组数据的方差：

（1）

6 6 6 6 6 6 6；

（2）

5 5 6 6 6 7 7；

（3）

3 3 4 6 8 9 9；

（4）

3 3 3 6 9 9 9．

师生活动：教师重点关注：学生能否正确运用方差计算公式计算方差．

设计意图：让学生更好的掌握方差的计算方法．

练习2

教科书126页第2题．

师生活动：（1）从折线图可以看出乙的成绩波动较小；（2）分别计算甲、乙的方差．

设计意图：用方差的计算公式解决问题．

（五）归纳小结

师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：

1．方差怎样计算？

2．方差的适用条件是？

3．你如何理解方差的意义？

设计意图：引导学生回顾方差计算公式及方差是如何刻画数据的波动的．

（六）布置作业

教科书第128页第1，2题．

五、目标检测设计

1．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是（ ）．

A．平均数

B．中位数 C．众数 D．方差

设计意图：考查方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．

2．一组数据：，，0，1，2的方差是（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

设计意图：熟练应用方差公式求方差．

3．如果样本方差本的平均数为 ，样本容量为 ．

设计意图：考查对方差公式的理解．

4．已知差为 ．

的平均数10，方差3，则那么这个样的平均数为 ，方

设计意图：考查对平均数与方差的理解．

5．甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品分别是

甲：0 1 0 2 2 0 3 1 2 4

乙：2 3 1 2 0 2 1 1 2 1

分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？

设计意图：综合运用方差的有关知识解决实际问题．

《数据的波动程度》同步测试 湖北省嘉鱼县高铁中学

王素琴

一、精心选一选

1．甲、乙两组数据，它们都是由n个数据组成，甲组数据的方差是0．4，乙组数据的方差是0．2，那么下列关于甲乙两组数据波动说法正确的是（

）．

A．甲的波动小 B．乙的波动小

C．甲、乙的波动相同 D．甲、乙的波动的大小无法比较

分析：根据方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

答案：B．

点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

2．方差反映了一组数据的波动大小．有两组数据，甲组数据：组数据：A．，=，0，1，1；它们的方差分别记为 B．＞ C．和＜和，，0，1，2；乙，则（

）．

D．无法比较

和．

分析：根据方差的公式计算答案：B．

，再比较点评：熟练掌握方差的计算．方差是各数据与其平均数差的平方的平均数，它反映数据波动的大小．

3．某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是千克，千克，亩产量的方差分别是，，则关于两种小麦推广种植的合理决策是（

）．

A．甲的平均亩产量较高，应推广甲

B．甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广

C．甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲

D．甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙

分析：要做出合理决策需考虑两种小麦的平均亩产量及产量的稳定性．

答案：D．

点评：此题主要考查了方差的作用．

二、细心填一填

4．已知甲、乙两组数据的平均数相等，若甲组数据的方差差=0．105，则 组数据波动较大．

分析：只要比较二者的方差即可作答．

答案：乙．

点评：本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

5．甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：

甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4

乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7

经过计算，两人射击环数的平均数相同，但 ，所以确定 去参加比赛．

=0．055，乙组数据的方分析：只要分别算出甲、乙的方差，再比较大小．

答案：＞

，乙

点评：此题主要考查了方差的计算和意义．

6．在植树节当天，某校一个班同学分成10个小组参加植树造林活动，10个小组植树的株数见下表：

植树株数（株）

小组个数

5

3

6

4

7

3

则这10个小组植树株数的方差是 ．

分析：先算出平均数，再求方差．

答案：0．6．

点评：此题主要考查了求方差的步骤．

三、专心解一解

7．甲、乙两个样本的相关信息如下：样本甲数据：1，6，2，3；样本乙方差：（1）计算样本甲的方差；

（2）试判断哪个样本波动大．

分析：（1）先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可．

（2）先比较出甲和乙的方差，再根据方差越大，波动性越大，即可得出答案．

答案：（1）

=3．4．

．

（2）∵=3．5，=3．4， ∴＞．

∴样本甲的波动大．

点评：此题主要考查方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

8．某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近10次选拔赛中，他们的成绩（单位: cm）如下：

甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601

乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624

（1）他们的平均成绩分别是多少？

（2）甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？

（3）这两名运动员的运动成绩各有何特点？

（4）历届比赛表明，成绩达到5．96 m就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6．10 m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛．

分析：（1）分别计算出平均数和方差；

（2）根据平均数判断出谁的成绩好，根据方差判断出谁的成绩波动大．

答案：（1）甲、乙两人的平均成绩为：

==（2）［585+596+610+598+612+597+604+600+613+601］=601．6（cm）；

［613+618+580+574+618+593+585+590+598+624］=599．3（cm）．

=65．84，=284．21，＜．

（3）由上面方差的结果可知：甲队员的成绩比较稳定；乙队员的成绩相对不稳定．但甲队员的成绩不突出；乙队员和甲队员相比比较突出．

（4）由历届比赛的分析表明，成绩达到5．96 m很可能达冠．从平均值分析可知，甲、乙两队员都有夺冠的可能．但由方差分析可知，甲成绩比较平稳，夺冠的可能性比乙大．

但如果历届比赛成绩表明，成绩达到6．10 m就能打破纪录，因此，要打破纪录，成绩要比较突出，因此乙队员打破纪录的可能性大，我认为为了打破纪录，应选乙队员参加这项比赛．

点评：本题考查了平均数与方差的综合运用，运用它们来解决实际问题．