二次根式应用PPT及专用教学设计内容

新课标（ZJ）/数学/八年级下册

1.3

二次根式的运算

第3课时

二次根式的应用

知识点1

坡比问题

1．如图1－3－3，已知斜坡AB，且BC⊥AC，坡比指的是哪两条线段的比(

)

图1－3－3 A．AB∶BC

B．AB∶AC

C．AC∶BC

D．BC∶AC

2．已知一道斜坡的坡比为1∶3，坡长为26米，那么坡高为(

) A．13 3米

B．13米

26 3C．26 3米

D.米

33．在坡比为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树之间的水平距离)为6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米．

4．如图1－3－4，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD的值(i＝CE∶ED，单位：m)．

图1－3－4

知识点2

几何图形问题

5．长方形相邻两边长分别为2，8，则它的周长和面积分别是(

) A.10，4

B．210，4 C．4，3 2

D．6 2，4 6．因实际需要，用钢材焊制三个面积分别为2 m2，18 m2，32 m2的正方形铁框，则需要准备的钢材的总长度为________m．(各种损耗忽略不计)

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7．如图1－3－5，面积为48 cm2的正方形，四个角是面积为3 cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积．

图1－3－5

8．一个长方形花坛与一个圆形花坛的面积相等，长方形花坛的长为240πm，宽为60πm，求圆形花坛的半径．(结果化为最简二次根式)

9．如图1－3－6所示，人民公园在一块长方形花坛ABCD上划出面积为72 m2的长方形ABEF和面积为48 m2的正方形ECDF分别种植凤仙花和太阳花，现在要给花坛ABCD围一圈栅栏，则栅栏的总长度应为多少？

图1－3－6

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10．已知直角三角形的周长为4＋26，斜边长为4，则该三角形的面积是(

) 355A．2

B.

C.

D.

22411．如图1－3－7，长方形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么长方形内阴影部分的面积是________(结果保留根号)．

图1－3－7 12．现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图1－3－8所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？

图1－3－8

13．在Rt△OAB中，∠B＝90°，OA＝2 3，AB＝2，把△OAB按图1－3－9所示的方式放置在平面直角坐标系中，使点O与原点重合，点A落在x轴正半轴上，求点B的坐标．

图1－3－9

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14．庞亮和李强相约周六去登山，庞亮由北坡山脚C处出发，以24米/分的速度攀登，同时李强从南坡山脚B处出发，如图1－3－10所示，已知小山北坡的坡比为1∶3，坡面AC长240米，南坡的坡角是45°，李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？(将山路AB，AC看成线段，结果保留根号)

图1－3－10

15．在如图1－3－11所示的9×9的正方形网格内，取A，B，C，D四个格点，使AB＝BC＝2CD＝4，P是线段BC上的动点，连结AP，DP. (1)设BP＝a，用含字母a的代数式分别表示线段AP，DP的长．

(2)设k＝AP＋DP，k是否存在最小值？若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由．

图1－3－11

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教师详解详析

1．D

2.B

3．3 5 4．解：过点B作BF⊥AD于点F，则BF＝CE＝4 m，EF＝BC＝4.5 m. 在Rt△ABF中，AF＝AB2－BF2＝52－42＝3(m)．

CE在Rt△CED中，根据i＝，

EDCE4可知ED＝＝＝4 3(m)，

i13则AD＝AF＋EF＋ED＝3＋4.5＋4 3＝(7.5＋4 3)m. 答：坝底宽AD为(7.5＋4 3)m. 5．D

[解析] 周长＝2(2＋8)＝2(2＋2 2)＝2×3 2＝6 2，面积＝2×8＝2×2 2＝4，故选D. 6．32 2 7．解：∵大正方形的面积为48 cm2，

∴大正方形的边长为48＝4 3 cm. ∵小正方形的面积为3 cm2，

∴小正方形的边长为3 cm，

∴长方体盒子的体积为(4 3－2 3)2·3＝12 3(cm3)．

8．[解析] 首先求得长方形花坛的面积，根据二者面积相等和圆的面积公式列出方程求解即可．

解：设圆形花坛的半径为r m. 根据题意，得πr2＝240π×60π，

即πr2＝120π，

∴r＝120＝230. 答：圆形花坛的半径为230 m. 9．[解析] 由题意，首先利用面积为48 m2的正方形ECDF求得长方形花坛ABCD的宽；再利用长方形的面积公式求出长方形ABEF的长，从而进一步求得长方形花坛ABCD的长，最后利用长方形周长的计算方法求得结果即可．

解：由题意，得长方形ABCD的宽CD为48＝4 3(m)，长方形ABEF的长为72÷48＝6 3(m)，则长方形ABCD的长为6 3＋4 3＝10 3(m)，即栅栏的总长度为(10 3＋4 3)×2＝14 3×2＝28 3(m)．

答：栅栏的总长度应为28 3 m. 10．[全品导学号：76034045] C

[解析] 设直角三角形的两条直角边长为a，b，由题可得a＋b＝26，a2＋b2＝42＝16，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝16＋2ab＝26，∴ab＝5，∴该三角15形的面积＝ab＝.故选C. 2211．[全品导学号：76034046] 2 3－2 12．[全品导学号：76034047] 解：∵8＝2

2，18＝3

2，

∴两个正方形的边长之和为8＋18＝2

2＋3

2＝5

2(dm)．

∵18＝3

2<5，8＋18＝5

2<7.5，

∴在这块木板上可以截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板．

13．[全品导学号：76034048] 解：在Rt△OAB中，OA＝2 3，AB＝2，

∴OB2＝OA2－AB2＝12－4＝8，

∴OB＝2 2. 如图所示，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，

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AB·OB4 22 6则BC＝＝＝. OA32 3

816164 3在Rt△OBC中，OC2＝OB2－BC2＝8－＝，∴OC＝＝. 33334 32 6∴点B的坐标为. 3，314．[全品导学号：76034049] [解析] 根据AC的长以及庞亮的速度，可求出两人用的时间，再求出李强走的路线AB的长即可得解．

解：过点A作AD⊥BC，垂足为D. 在Rt△ACD中，设AD的长为x(x>0)米．

∵AC的坡比为1∶3，∴CD的长为3x米．

由勾股定理，得AC＝AD2＋CD2＝x2＋（3x）2＝2x(米)．

∴2x＝240，解得x＝120，

∴AD＝120米．

在Rt△ABD中，∵∠B＝45°，

∴AD＝BD＝120米，

∴AB＝1202＋1202＝120 2(米)．

由题意可知庞亮用的时间为240÷24＝10(分)，若李强和庞亮同时到达山顶A，则李强的攀登速度为120 2÷10＝12 2(米/分)．

15．[全品导学号：76034050] 解：(1)由题意结合图形知AB＝4，BP＝a，PC＝4－a，CD＝2. ∴AP＝AB2＋BP2＝a2＋16，

DP＝PC2＋CD2

＝（4－a）2＋22

＝a2－8a＋20. (2)存在．

作点A关于BC的对称点A′，连结A′D，延长DC到点E，使A′E⊥DE，则A′D的长即为所求．

易得A′E＝4，DE＝6，

∴A′D＝A′E2＋DE2＝42＋62＝52＝213，

∴k存在最小值，k的最小值为213.

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