二次根式的混合运算公开课参赛课教案

八

年

级

下

数

学

教

学

设

计

课题

重点

和含有二次根式的多项式乘法公式的应用。

难点

复习整式运算知识，并将该知识用于含

有二次根式的式子的乘除运算。

关键

程

序

与

内

容

一、创设情境

导入一：

教师节快要到了,为了表示对老师的敬意,小波做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师.其中一张面积为800cm2,另一张面积为4500cm2,他想如果再用金彩带镶上边会更漂亮.他现在有一条长1.2m的金彩带,请你帮忙算一算,他的金彩带够用吗?若不够用,还需要购买多长的金

引导学生计算所需金彩带的总长,列式为,思考计算方法。

如何计算呢?通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题。

师

生

活

动

创设问题情境,激起学生的探索兴趣和求知欲望。

本节课我们重点探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用和二次根式的混合运算的问题。

含有二次根式的式子进行加减混合运算16.3.2二次根式的加减乘数混合运算

第

课时

课时

二次根式的加减乘数混合运算

由整式运算知识迁移到含二次根式的运算

二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则

设计意图

教

学

目

标

彩带? 导入二：

让我们一起来回顾一下二次根式的基本运算,你会计算下面几个式子吗?

计算:

2

学生计算交流后,提出问题:应怎样计算?乘法分配律依然可以应用吗?上面的

通过复习二次根式的运算,自然过渡到二次根式的混合运算,明确本节课的目标。

用类比的方法探索二次根式混合运算的特点,使学生弄清楚新旧知识的区别和联系。

让学生亲自动手,进行实验、探究,得出结论,激发学生的求知欲望。

(1)(3x＋2x＋2)·4x；

四个式子分别用到了我们2(2)(4x－2xy)÷(－2xy)；

(3)(3a＋2b)(3a－2b)；

学过的那些运算规律和公(4)(2x＋1)2＋(2x－1)2. 式？学生回答老师完善

二、合作探究

1.探究整式的乘法法则和公式在二次根式的混合运算中仍然适用

思路一：

(1)怎样计算(8＋3)×6?

引导学生回忆学习过的整式乘法中的乘法分配律,仿照a(b+c)=ab+ac尝试计算,并全班交流.

(8＋3)×6=8×6+3×6 (2)怎样计算(5＋3)(5－3)? 下面我们看看,整式乘法法则和公式在二次根式混合运算中仍然适用吗?

(5＋3)(5－

3)=(5)2-(3)2=5-3=2

(3). (3+2)2和(3－2)2又该如何计算呢?

引导学生回忆整式乘法公式,仿照(a+b)(a-b)=a2-b2尝试计

整式运算中的x,y,z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有的式子,当然也可以代表二次根式,所以整式中

学生讨论,用完全平方公式计算.

(3+2)2=(3)2+2×3×2+(2)2=3+26+2=5+26

(3－2)2=3)2-2×3算,并全班交流.

进一步引导学生总结:整式的乘法法则和公式在二的运算规律也适用于二次根式。

×2+2)2=32-26+2=5-26

次根式的混合运算中仍然

思路二

(1)请同学们完成下列各题:

计算:

①(2x+y)·zx;

②(2x2y+3xy2)÷xy;

③(2x+3y)(2x-3y);

④(2x+1)2+(2x-1)2.

适用。

学生计算后,老师点评.这些内容是对八年级上册整式运算的再现.主要有:单项式×单项式;单项式×多项式;多项式×多项式;多项式÷单项式;完全平方公式的运用;平方差公式的运用。

自己举例验证平方差公式和完全平方公式是否可以应用于二次根式的运算。

小组讨论后,全班交流。

如果把上面的x,y,z改成

二次根式呢?以上的运算规

二次根式的混合运算顺序

下面,我们来验证一下用乘法分配律计算(+)×.

(2+3)×2=(2+3)×2=5×2=102

(2+3)×2=2×2+3×2=42+62=102. 律是否仍成立呢?仍成立.

引导学生观察,发现:这两种方法的结果是相同的.在二次根式运算中,乘法分配律依然可以应用。

与有理数中的运算顺序一样:先乘方,再乘除,最后加减;有括号时先算括号内的。

学生观察发现,两个都是“多项式×多项式”的类型,可以根据整式乘法中多项式乘多项式的法则计算即可,而(2)根据平方差公式计算更简便。

大屏幕出示教学题目，并找一名学生站起来朗读。

2.二次根式的混合运算

怎样计算(3-2)(2-2)?

同桌讨论,类比(a-2b)(2a-b)的计算方法计算上式.

(3-2)(2-2)

=3×2-3×2-2×2+2×2

=23-6-4+22

3.例题讲解

(教材例3)计算:

二次根式的混合运算顺序也与整式混合运算顺序一样吗?

(1)(8＋3)×6；

(2)(42－36)÷22.

引导学生先观察式子的特点,确定:(1)属于“多项式×单项式”,直接用乘法分配律计算;(2)属于“多项式除以单项刚才已经分析,二次根式仍然满足整数的运算律和有理数的混合运算顺序,下面我们直接运用这些运算律和公式来解决一些问题。

式”,“用多项式的每一项除以单项式,再将结果加在一起”即可。

(教材例4)计算:

例2中的1、2两题可让学生自主完成，然后相互交流，教师根据反馈情况，及时查漏补缺，优化课堂教学。

例1可让学生自主完成，并选派三名代表上黑板进行演算.教师巡视，了解学生对二次根式混合运算的掌握情况，及时予以帮助，帮助学生更好地掌握新知识.最后全班同学分析三位代表的解答过程及结果，深化理解。

对算式的结构进行观察分析，运用二次根式加、减、乘、除的法则进行运算，需注意乘法公式（a+b）（a-b）

(1)(2＋3)(2－5)；

学生独立思考，然后进行(2)(5＋3)(5－3)；

三、展示帮扶

例1 计算下列各题：

小组交流，教师参与学生交流达成共识，先让几名学生进行口述，最后由3名学生板演过程，其他同学在练习本上完成。

分析：对算式的结构进行观察分析，运用二次根式加、减、乘、除的法则进行运算，需注意乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）=a±2ab+b的灵活运用. 解：（1）原式=（46-22+62）÷22222

可让学生尝试解决，也可由师生共同分析，形成解题思路后再由学生自主完善解题过程。

。

2=（46+42）÷2÷2=46÷22+422=23+2；

学生小组交流讨论后，教师例2

已知x==a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2的灵活运用。

例2仍可让学生先自主探究，如果大部分学生选用直接代入求值时，教师仍应肯定他们的成绩，但需展示本3+1，讲评。

y=3-1，求下列代数式的值. （1）x2+2xy+y2；

（2）x-y 22.分析：由条件易知

x+y=23，x-y=2，而需求代数式

中的

（1）可化为（x+y）2，

（2）可化为（x+y）（x-y），因而整体代入更简洁些，当然直学生自主探究，并写出替换后的式子。先让一名学生例的最佳解题思路，达到融会贯通的目的。

说下自己的解题思路，其他

让全班同学共同参与探究，相互交流，在类比的过程中尝试给出问题的答案.教师巡视，予以点拨，肯定学生的成绩，并引导学生完善对二次根式混合运算的初步认识，最后师生共同给出问题的结果。

接代入求值也是可行的，只不过同学给予补充。

要复杂多了. 解：∵x=3+1，y=3-1，∴x+y=23，x-y=2.

学生独自练习后，进行小组交流，教师参与学生交2（1）原式=（x+y）=（23）流，达成共识，然后让四名2=12；

（2）原式=（x+y）·（x-y）同学板演解题过程，其他学生在练习本上完成。

=23×2=43. 四、能力提升

（1）若a=3+22，b=3-22，

求a2b-ab2的值；

（1）由a-b=42，a·b=1第2题即可让学生尝试解（2）若x=2-1，求x2+2x+2011得a2b-ab2=ab（a-b）=1×决，也可由师生共同分析，的值.

42=42；

（2）∵x=x+1=形成解题思路后再由学生自

五、课堂小结

通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有哪些疑惑？谈谈你的看法，并与同伴交流. 课后作业

1.布置作业：从教材“习题2-1，∴主完善解题过程。

2，两边平方，得x2+2x+1=2. ∴x2+2x=1.故教师以设问的形式和学生一道回顾本节主要知识及所涉及到的解题方法、技巧和x2+2x+2011=1+2011=2012.

学生独立完成并上交，检测学生学习情况，及时反馈数学思想方法，既是对知识的一次梳理，也是一次必要的提炼升华，完善认知。

16.3”中选取。

总结。

2.完成练习册中本课时练习。

板

书

设

计

同步解析与练习

16.3.2二次根式的加减乘数混合运算

一、创设情境

二、合作探究

三、展示帮扶

四、能力提升

五、课堂小结

教

学

反

思