二次根式的混合运算优秀教案

课 题

16.1二次根式（1）

知识与技能目标：

理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．

教 学

目 标

过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

教学重点

形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

教学难点

利用“a（a≥0）”解决具体问题．

教 具

多媒体课件

教 法

授课时数

1课时

一、创设情境

提出问题 电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间

存在近似关系r=

，其中地球半径R≈6 400 km．

如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比是

2Rh12Rh22Rh1你能化简这个式子吗？式子2Rh2

表示什么？

公式中

r=2Rh

中的

r=2Rh表示什么意义？ 思考：

用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：

（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______． 问：（1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什么不同？

（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．

问：（2）中得到的式子有什么意义？

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则 _____．

问：（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？

怎样变化？

二、合作探究

形成知识 上面问题中，得到的结果分别是：

,

,

（1）这些式子分别表示什么意义？

（2）这些式子有什么共同特征？

分别表示3，S，65，

的算术平方根． 这些式子的共同特征是:都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根． （3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．

把形如

,

,

用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式．

h5

表示的数

二次根式： 一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号．

二次根式 被开方数a≥0；根指数为2．

三、初步应用

巩固知识 1342练习1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、3、x、x（x>0）、0、2、1-2、xy、xy（x≥0，y•≥0）．

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、xy（x≥0，y≥0）；不是二次根式的1134有：3、x、2、xy．

练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式． 例1 当x 是怎样的实数时，

在实数范围内有意义？ 解：要使

在实数范围有意义，

必须

x+2≥0，

∴

x≥-2． ∴

当x≥-2时，

在实数范围内有意义．

例2 当x 是怎样的实数时，

在实数范围内有意义？

呢？ 例3 a 取何值时，下列根式有意义？

（1）

；（2）

；（3）

．

变式

a 取何值时，下列根式有意义？

22-（a-1）（1） （2） ．

a-2a+1；四、比较辨别

探索性质 问题

请比较

和0 的大小 分类讨论思想

当a＞0 时，

表示a 的算术平方根，因此

＞0； 当a =0 时，

表示0 的算术平方根，因此

=0； 这就是说，

（a≥0）是一个非负数． 双重非负性

五、综合应用

深化提高 练习1 判断下列各式哪些是二次根式：

（1）

；（2）

(a＞0)；

（3）

；（4）

(x≤ 0)．

练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义．

（1）

； （2）

；

（3）

； （4）

-

．

练习3 若

整数，则自然数n 的值为___________. 六、课堂小结

（1）本节课你学到了哪一类新的式子？

（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？

（3）二次根式与算术平方根有什么关系？一般地，我们把形如

（a≥0）的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号．

中的a≥0； 双重非负性

二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根是二次根式． 七、课后作业 作业：教科书第5页第1，3，5，6，7，10题． 教学反思：

课 题

16.1 二次根式(2) 2知识与技能目标：理解（a）2=a（a≥0）,a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．

教 学

目 标

2a过程与方法目标：

通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

教学重点

（a）2=a（a≥0）,a2＝a（a≥0）．

教学难点

探究结论．

教 具

多媒体课件

教 法

授课时数

1课时

【教学过程】

一、复习引入

（学生活动）口答

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？

二、性质的探究

问题1：做一做：根据算术平方根的意义填空：

（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；

（1272）=______；（）=_______；（0）2=_______．

32 老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．

同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（121727）=，（）=，（0）2=0，所以

3232（a）2=a（a≥0）

例1 计算

1．（325272 ） 2．（35）2 3．（） 4．（）226 分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题．

解：（323） =，（35）2 =32·（5）2=32·5=45，

2252572(7)27（）=，（）=2．

62426问题2：（学生活动）填空：

1 22=_______；0.012=_______；()2=______；

1023 ()2=________；02=________；()2=_______．

37 （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

123123 22=2；0.012=0.01；()2=；()2=；02=0；()2=．

10371037 因此，一般地：a2=a（a≥0）

例2

化简

（1）9 （2）(4)2 （3）25 （4）(3)2

分析：因为（1）9=32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，

（4）（-3）2=32，所以都可运用a2=a（a≥0）去化简．

解：（1）9=32=3 （2）(4)2=42=4 （3）25=52=5 （4）(3)2=32=3 三、巩固练习

计算下列各式的值：

（18）2 （2272 92） （） （0）2 （4）438(35)2(53)2 教材P4练习1、2．

四、性质再探究 问题3 回顾我们学过的式子，如 5，a,a+2b,-ab,

,-

,

,

(a≥0)这些式子有哪些共同特征？

（1）含有表示数的字母；

（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母． 用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式．

五、综合运用 练习1 对于性质 （a）2=a（a≥0），逆向思考可得：a=（a）2 （a≥0）. 请根据

这一结论把下列非负数写成一个数的平方的形式:

1 （1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0）

6例3

填空：当a≥0时，a2=_____；当a<0时，a2=_______，并根据这一性质回答下列问题．

（1）若a2=a，则a可以是什么数？

（2）若a2=-a，则a可以是什么数？

（3）a2>a，则a可以是什么数？

分析：∵a2=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，a2=(a)2，那么-a≥0．

（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知a2=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．

解：（1）因为a2=a，所以a≥0；

（2）因为a2=-a，所以a≤0；

（3）因为当a≥0时a2=a，要使a2>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，a2=-a，要使a2>a，即使-a>a，a<0综上，a<0 例4当x>2，化简(x2)2-(12x)2．

分析：(略) 六、课堂小结 （1）你知道了二次根式的哪些性质？

（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？

（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？

（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识． 七、课后作业

作业：教科书第4页练习第1，2题；习题16.1第2，4题．

教学

反思