习题训练教学设计(第二课时)

人教版二次根式小结与复习

1、知识与技能目标 （1）理解二次根式的概念，二次根式的性质及运算法则，会运用勾股定理；

（2）熟练运用二次根式的性质及运算法则解决简单的几何图形问题； 2、过程与方法目标 （1）经历应用二次根式的性质、运算法则以及勾股定理解决问题的过程，进一步发展学生的推理能力。

（2）在解决问题的过程中，让学生学会聆听、学会思考，同时发展学生归纳和概括能力。 3、情感、态度与价值观目标 通过对几何图形问题的解决，培养学生勇于探索的精神，激发学生的学习兴趣和学习积极性。 三、教学重难点 重点：利用二次根式的性质与运算法则和勾股定理解决简单的几何图形问题。

难点：利用数形结合的思想解决问题。

基础盘点

1.二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，“”称为二次根式. 4是a（a___0）定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如二次根式；

（2）形如ba（a≥0）的式子也叫做二次根式；

（3）二次根式a中的被开方数a，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a≥0. 2.二次根式的基本性质

（1）

；

a_____0（a___0）第

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（2）a＝_____（a___0）；

2（3）（4）（5）a2a＝______a__0；

a__0；

ab____________（a___0，b___0）a_____________（a___0，b___0）. b3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含_______；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都______. 4.二次根式的乘、除法则：

（1）乘法法则：（2）除法法则：；

a·b=___________（a___0，b___0）a____________（a___0，b___0）. b复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用aaa2a

a0进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号a0外；

（2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简. 5.同类二次根式：几个二次根式化成_________后，如果_______相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_______，然后把___

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______进行合并. 复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；

（2）不是同类二次根式的不能合并，如：35≠8；

（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算. 7.二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先____，再____，最后

____，有括号的先_____内的. 复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；

（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式. 8.二次根式的实际应用

利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值. 考点呈现

考点1 二次根式有意义的条件

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例1

若式子围是（

）

3x4在实数范围内有意义，则x的取值范A.x≥4 B.x＞4 C.x≥3 D.x＞3

3344解析：要使3x4在实数范围内有意义，必须满足条件433x4≥0，所以x≥，故应选A. 方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0.

考点2 二次根式的性质

例2

下列各式中，正确的是（ ）

A.323 B.323 C.323 D.323

解析：本题利用二次根式的性质aa2aa0进行解答，a0运用排除法不难知道只有选项B正确，故应选B. 方法总结：a2a成立的条件是a≥0，而在化简a时，2先要判断a的正负情况. 考点3 二次根式的非负性

例3

已知y2x552x3，则2xy的值为（ ）

22A.—15 B.15 C.15 D.15

解析：由2x5≥0，且52x≥0，解得x5，所以y3，2因此2xy＝2×5×（—3）＝—15，故应选A. 2

方法总结：二次根式a（a≥0）具有双重非负性，即a≥0、

a≥0. 第

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考点4 最简二次根式

例4

下列二次根式中，最简二次根式是（ ）

A.1 B.0.5 C.5 D.50

515，0.512，5052，所以5522解析：因为A、B、D均不是最简二次根式. 方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止. 考点5 二次根式的运算

例5 计算2418×1＝____. 3解析：本题是二次根式的混合运算，必须按法则进行，要注意最后结果的化简问题，即原式＝×3＝266＝6. 32418×1＝26323方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则. 考点6 二次根式的化简求值

例6 若m解析：2013，则m52m42013m3的值是_____. 20141先化简m的值，得m＝

2013201412013201412014＋1. 再变形所求代数201412014120141第

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式m52m42013m3＝m3m22m2013m3m122014

＝32201412014112014＝0. 方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用. 误区点拨

一、考虑问题不全面

例1 代数式1中，x的取值范围是______. x2错解：根据题意，得x2≥0，解得x≥2，故填x≥2. 剖析：整体观察式子的特点，存在分母，应满足分母不为0的条件；又存在二次根式，应满足被开方数为非负数. 错解只注意被开方数的非负性，而忽略了分式中分母不为0的条件. 正解：根据题意，得x2＞0，解得x＞2，故填x＞2. 二、理解性质出错

例2

求32的值. 错解：32＝—3. 剖析：32表示32的算术平方根，应为正数. 错解由于对二次根式的性质理解不透而犯错. 正解：32＝9＝3. 三、忽略运算顺序

例3

计算213. 3

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错解：原式＝212. 剖析：由于乘除是同一级运算，应按照从左到右的顺序进行. 正解：原式＝23332. 四、对最简二次根式判断不准

例4 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）

A.32 B.63 C.1.2 D.49

错解：选C. 剖析：最简二次根式的被开方数中既不含开的尽方的因式或因数，也不含分母，满足条件的只有B. 错解只看表面形式，不求甚解，C中被开方数是小数形式，化为分数后，可继续化简. 正解：选B. 跟踪训练

1.根式A.x≥x3中x的取值范围是（ ）

3 B.x≤3 C.x＜3 D.x＞3

2.下列各式是最简二次根式的是（ ）

A.20 B.2.1 C.27 D.1

53.下列各式中，与A.3是同类二次根式的是（ ）

18 B.24 C.12 D.9

54112的结果是（ ）

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4.化简

A.52 B.63 C.3 D.53

5.下列运算正确的是（ ）

A.C.25＝±5 B.43271

1829 D.2436

26.已知：ab2A.31，ab3，则a1b1的值为（ ）

3 B.33 C.322 D.31

18cm、12cm、18cm，则7.已知三角形三边的长分别为它的周长为_____cm. 8.当m＜0时，化简9.计算：m2m＝____. 5082的结果是_____. 10.实数在数轴上的位置如下图所示，化简a1a22＝_____. 11.已知

a1b10，则a2013b2013＝____. 2m是同类二次根式，则a12.如果最简二次根式ma7a与＝____，m＝____. 13.先化简，再求值：a14.先化简，再求值：a小亮和小芳的解答过程：

2解：原式＝a1a

a1a1

3a3aa6，其中a512. 12aa2，其中a1007. 下图是1a2解：原式＝a＝a

a1＝2013

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（1）_____的解法是错误的；

（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___________. （3）先化简，再求值：a2 跟踪训练参考答案：

1.A 2.C 3.C 4.D 5.D 6.A 7.612.1，3 13.解：（1）原式＝a23a26a6a3，当a式＝6×（51）—3＝65. 2512a26a9，其中a2007. 223

8.—1

9.3

10.2a3

11.0 时，原14.解：（1）小亮；

（2）；

a2a（a＜0）a23a＝6a＝6—（—2007）（3）原式＝a2a32＝2013.

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