探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期主要内容及教案内容

§1.4.2 正弦函数、余弦函数的

周期性

学习目标

1.了解周期函数及最小正周期的概念. 2.会求一些简单三角函数的周期.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P34~ P36，找出疑惑之处）

自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，引入一个新的数学概念——函数周期性.

二、新课导学

※

探索新知

问题1：观察下列图表

从中发现什么规律？是否具有周期性？

x -2

0 -3

2-

-

20



21 

0 3

2-1 2

0 sinx 1 0 -1 0

问题1：.如何给周期函数下定义？

问题2：判断下列问题：

（1）对于函数y=sinx

x∈R

有sin(周期？

（2）f(x)x2是周期函数吗？为什么？

（3）若T为f(x)的周期，则对于非零整数k,kT(kZ)也是

f(x)的周期吗？

问题3：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？

问题4：最小正周期的含义；求f(x)sinx,

42)sin4成立，能说2是正弦函数y=sinx的f(x)cosx的最小正周期？

※

典型例题

例1:

求下列函数的周期：

（1）f(x)cos2x；

（2）g(x)2sin(

变式训练:1. ⑴求f(x)cos(2x)

x)

26⑵g(x)2sin(

2.已知f(x)cosx)的周期

26kx，其中k0，当自变量x在任何两个整数间（包括整数本身）变化10时，至少含有一个周期，求最小正整数k的值.

例2：证明函数ysinxcos2x不是周期函数.

※

动手试试

1、求下列函数的周期：

(1)正弦函数y3sinx的周期是_________. (2)正弦函数y3sinx的周期是________. (3)余弦函数ycos2x的周期是__________. (4)余弦函数yy2cos(1x-)的周期是______. 26(5)函数ysin(-

x)的周期是________. 242.函数fxsinx

2,则=____________. 0的周期是34

3.若函数f(x)是以

为周期的函数，且2f1,则317f6__________. 4.函数f(x)sinx是不是周期函数？若是，则它的周期是多少？

三、小结反思

对周期函数概念的理解注意以下几个方面：

（1）f(xT)f(x)是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x值，xT仍在定义域内且使等式成立. （2）周期T是常数，且使函数值重复出现的自变量x的增加值. （3）周期函数并不仅仅局限于三角函数，一般的周期是指它的最小正周期.

学习评价

※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

1、设a0，则函数ysin(ax3)的最小正周期为（

）

A、

22

B、

C、

D、

aa|a||a|k)1的周期不大于2，则正整数k的最小值是（ ）

432、函数f(x)2cos(A、13

B、12

C、11

D、10

3、求下列函数的最小正周期：

（1）ysin(3x2),T

.

（2）ycos(2x

6),T . 4、已知函数y2sin(x

5、求函数的周期：

3)的最小正周期为，则

. 31cosx周期为： . 23x（2）ysin周期为： . 4（1）y

（3）y2cos4x周期为： . （4）y3sin2x周期为： . 4

课后作业

6、ysinxcosx是周期函数吗？如果是,则周期是多少？

7、函数f(x)c（c为常数）是周期函数吗？如果是，则周期是多少？

8、已知函数y3sin(kx)1,(k0)

36（1）求最小正整数k，使函数周期不大于2；

（2）当k取上述最小正整数时，求函数取得最大值时相应x的值.