7.公因数和最大公因数教学设计(第一课时)

《公因数和最大公因数》

教学内容：苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第41～42页例9、例10和“练一练”，第45页练习七第1～2题。

教学目标：

1．使学生理解和认识公因数和最大公因数，能用列举的方法求100以内两个数的公因数和最大公因数，能通过直观图理解两个数的因数及公因数之间的关系。

2．使学生借助直观认识公因数，理解公因数的特征；通过列举探索求公因数和最大公因数的方法，体会方法的合理和多样；感受数形结合的思想，能有条理地进行思考，发展分析、推理等能力。

3．使学生主动参加思考和探索活动，感受学习的收获，获得成功的体验，树立学好数学的信心。

教学重点：

求两个数的公因数和最大公因数。

教学难点：

理解求公因数和最大公因数的方法。

教学过程：

一、情境导入

师：用边长1厘米和2厘米的正方形纸片铺下面的长方形。哪种正方形能将长方形正好铺满？为什么？

生：第一组，因为第一组正好可以放13个共13厘米；第二组不行，因为放6个是12厘米，剩下的1厘米不够再放一个了。

师：今天我们将用刚刚的方法来探索一些更复杂的问题。

二、学习新知

1．认识公因数。

(1)出示例9，学生齐读题，并指名让学生分析题意。

师：你认为这个题目的关键词是什么？是什么意思？

生：“正好”，用正方形纸片去铺长方形，长方形不能有剩余部分，正方形铺的部分也不能超过长方形的边缘。

启发：观察正方形纸片的边长和长方形的长、宽，哪种纸片能把长方形正好铺满，哪种不能正好铺满？

生：边长6厘米的正方形也能正好铺满这个长方形，边长4厘米的正方形不能正好铺满这个长方形。

师：为什么？你是怎么看出来的？

生：12÷6=2 18÷6=3，边长6厘米的正方形也能正好铺满这个长方形。（板书：12÷6=2 18÷6=3）

生：12÷4=3 18÷4=4．．．．．．2，边长4厘米的正方形就不能正好铺满这个长方形。(板书：12÷4=3 18÷4=4．．．．．．2) 结合交流进行演示，引导观察用正方形纸片铺的结果，理解边长6是长方形两边12和18的因数，能正好铺满；边长4是12的因数，但不是18的因数，就不能正好铺满。

师：12÷6=2 18÷6=3这两个算式中2和3分别表示什么？为什么？

生：2表示2行，3表示3列。6是12和18的因数，所以才能整除。

师：12÷4=3 18÷4=4．．．．．．2这两个算式中3,4和2分别表示什么？为什么？

生：3表示3行，4表示4列，2表示剩余2厘米。4是12的因数，所以12能被4整除；但是4不是18的因数，所以18不能被4整除。

说明：观察正方形的边长和长方形边的长和宽，6是1 2的因数，又是18的因数，所以能正好铺满；4是12的因数，但不是18的因数，所以不能正好铺满。

启发：想一想，还有其他哪些边长是整厘米数的正方形，也能把这个长方形正好铺满？为什么？先独立思考，再和同桌说一说，并说说你的理由。

生：边长1厘米、2厘米、3厘米的正方形也能正好铺满这个长方形。

师：你发现正方形边长的厘米数符合什么条件，就能把这个长方形正好铺满？

说明：因为1，2，3，6它们既是1 2的因数，又是1 8的因数。可见，当正方形边长既是12的因数，又是18的因数时，就能正好把这个长方形铺满。

(3)引导：现在你发现，哪些数既是12的因数，又是18的因数？

指出：大家发现，1、2、3、6这几个数，既是12的因数，又是18的因数，也就是12和18公有的因数，我们称它们是1 2和18的公因数。这就是我们今

天要学习的新内容。（板书）（揭题）

追问：4是1 2和18的公因数吗？为什么不是？

说明：两个数公有的因数，叫作这两个数的公因数。

2．求公因数。

(1)出示问题。

引导：我们已经知道，两个数公有的因数，是它们的公因数。那如果已知两个数，该怎么找他们的公因数，你能试一试吗？

出示例10，让学生明确要找出8和1 2的所有公因数，并找出其中最大的一个。

(2)探索方法。

引导：先想想怎样的数是8和12的公因数；再想怎样可以找到8和12的公因数。和同桌商量商量，找出它们的公因数，并找出最大的一个。

学生思考、尝试，教师巡视、指导。

交流：你是怎样找8和12的公因数和最大的公因数的？

结合交流，引导学生理解不同思考方法：（在交流中板书过程）

①先分别找出8和12的因数，再找公因数，并确定最大的一个。（板书）

②先找出8的因数，再从8的因数里找1 2的因数，并确定最大的一个。

提问：为什么可以这样找8和12的公因数？

说明：因为公因数一定在8的因数里，所以只要在8的因数里找出也是12的因数，就是它们的公因数。

③先找1 2的因数，再从1 2的因数里找8的因数，并确定最大的一个。

追问：这种方法是怎样想的？

小结：大家用不同的方法找出了8和12的公因数有1,2,4，其中最大的是4。

4是8和12的最大公因数。可见，两个数公因数里最大的一个，就是这两个数的最大公因数。（板书：最大公因数——公因数中最大的一个）

3．用集合图表示公因数。

师：我们还可以用另外一种形式来表示两个数的公因数。

出示两个圈：8的因数 12的因数（图略）

让学生分别说出8和12的因数，教师板书。

引导：如果要在图里既看出8的因数和12的因数，又能把公有的因数写在共同的部分，这两个圈怎样合并到一起比较合适？

学生交流，引导出正确表示的方法，呈现把两个圈部分合并的图，（图见教材，略）再引导在合适的部分分别填写因数，并标注出“8和12的公因数”。

师：说一说集合图各个部分分别表示什么？应该填写哪些数字？

生：中间交叉部分表示既是8也是12的因数，也就是应该填写8和12的公因数；左边的部分表示是8的因数但不是12的因数，应该填写8的所有因数中除去公因数的因数；右边的部分表示是12的因数但不是8的因数，应该填写12的所有因数中除去公因数的因数。

提问：从图上看，哪些数是8的因数，哪些数是12的因数？哪几个数是8和12的公因数，最大公因数是几？

指出：从图上可以直接看出：8和12公有的因数，是它们的公因数，其中最大的一个，是它们的最大公因数。

4．回顾内容。

提问：回顾今天的学习，我们认识了哪些内容？（板书课题）

什么是公因数和最大公因数？

三、巩固深化

1．挑战第1关。

让学生按要求完成，填写公因数和最大公因数。（找学生在白板上直接圈）

交流：18的因数有哪些？30的因数呢？它们的公因数和最大公因数呢？

师：从表里看，怎样的数是18和30的公因数和最大公因数？

说明：先在表里分别圈两个数的因数，其中两个数公有的因数，就是两个数的公因数。公因数中最大的一个就是最大公因数。

2．挑战第2关。

让学生先分别填15和20的因数，再填右图。（让学生在白板上板演）

交流各是怎样填的，说说15和20各有哪些因数，再说说它们的公因数和最大公因数。

说明：15和20的因数中公有的因数，就是15和20的公因数，在公因数中就能找出最大公因数。

3.挑战第3关。

把下面两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有多余，每根短彩带最长是多少厘米？

师：每根彩带剪多长才能没有剩余？最长又是多少？

生：应该找两根彩带长度的公因数就能没有剩余，那么找他们的最大公因数就是最长的。

4．挑战第4关。

互动小游戏，请学生直接上黑板PK。

四、小结收获

师：今天这节课你收获了什么？在学习过程中你还有哪些体会？

生：今天我学会了找两个数的公因数和最大公因数。

生：我体会到要选择边长为长方形长和宽的公因数的正方形才能恰好铺满长方形纸片。

五、作业布置

1.数学补充习题。

2.第45页练习七第2～8题。

板书设计：

公因数与最大公因数

12÷6=2 18÷6=3 12÷4=3

8的因数：1,2,4,8 18÷4=4……2 12的因数：1,2,3,4，6，12 8和12的最大公因数：4 1,2,3,6既是12的因数，也是18的因数， 8和12的公因数：1，2，4 它们是12和18的公因数。