小结课时教案

[核心必知] 1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P135～P136，回答下列问题．

(1)教材问题中甲获胜的概率与什么因素有关？

提示：与两图中标注B的扇形区域的圆弧的长度有关．

(2)教材问题中试验的结果有多少个？其发生的概率相等吗？

提示：试验结果有无穷个，但每个试验结果发生的概率相等．

2．归纳总结，核心必记

(1)几何概型的定义与特点

①定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

②特点：(ⅰ)可能出现的结果有无限多个；(ⅱ)每个结果发生的可能性相等．

(2)几何概型中事件A的概率的计算公式

P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积. 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积[问题思考] (1)几何概型有何特点？

提示：几何概型的特点有：

①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

②每个基本事件出现的可能性相等．

(2)古典概型与几何概型有何区别？

提示：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．

[课前反思] 通过以上预习，必须掌握的几个知识点：

(1)几何概型的定义：

；

(2)几何概型的特点：

；

(3)几何概型的计算公式：

.

某班公交车到终点站的时间可能是11∶30－12∶00之间的任何一个时刻．

往方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．

[思考1]

这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？

提示：无限多个．

[思考2]

古典概型和几何概型的异同是什么？

名师指津：古典概型和几何概型的异同

如表所示：

名称

相同点

古典概型

几何概型

基本事件发生的可能性相等

①基本事件有限个

①基本事件无限个

A为不可能事件

B为必然事件

不同点

②P(A)＝0⇔A为不可能事件

②P(A)＝0③P(B)＝1⇔B为必然事件

③P(B)＝1讲一讲

1．取一根长为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？

[尝试解答]

如图所示．

记“剪得两段绳长都不小于2 m”为事件A.把绳子五等分，当剪断位置处在中间一段上1时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的，

51所以事件A发生的概率P(A)＝. 5

求解与长度有关的几何概型的关键点

在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，

确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事件A的概率．

练一练

1．(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(

) 1123A.

B.

C.

D.

3234解析：选B

如图，

7：50至8：30之间的时间长度为40 分钟，而小明等车时间不超过10 分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20120 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.故选B. 402

讲一讲

2．(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(

)

ππππA.

B.

C.

D.

2468[尝试解答]

由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝12π·1半圆的面积2π＝＝，故选B. 长方形的面积1×24答案：B

解与面积相关的几何概型问题的三个关键点

(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；

(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；

(3)套用公式，从而求得随机事件的概率．

练一练

2．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围

分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(

)

ππππA．1－

B.－1

C．2－

D.

422412×1－×π×12×24S图形DEBFπ解析：选A

由几何概型知所求的概率P＝＝＝1－. 4S矩形ABCD2×1讲一讲

3．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1

中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1

内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

[尝试解答]

点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记14π23－××1323π点P到点O的距离大于1为事件A，则P(A)＝＝1－. 3212π答案：1－

12

如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．

练一练

3．如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小水杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．

解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．

∵小水杯中有0.1升水，原瓶中有2升水，

0.1∴由几何概型求概率的公式得P(A)＝＝0.05. 2——————————————[课堂归纳·感悟提

升]———————————————

1．本节课的重点是了解几何概型的意义，会求几何概型的概率．难点是理解几何概型的特点和计算公式．

2．本节课要掌握以下几类问题：

(1)理解几何概型，注意与长度有关的几何概型的求解关键点，见讲1. (2)求解与面积相关的几何概型问题的三个关键点，见讲2. (3)注意与体积有关的几何概型的求解策略，见讲3. 3．本节课的易错点：

不能正确求出相关线段的长度或相关区域的面积或相关空间的体积，如讲1,2,3.

课下能力提升(十九) [学业水平达标练] 题组1

与长度有关的几何概型

1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为(

) 4321A.

B.

C.

D.

5555解析：选B

在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝3. 52．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是(

) 1111A.

B.

C.

D.

109118解析：选A

试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 1min，故P(A)＝. 1053．在区间[－2,4]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________. 62m5解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m，当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，66舍去．

m－－25当2

4．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．

解：弦长不超过1，即|OQ|≥过1}．

3×223由几何概型的概率公式得P(A)＝＝. 22∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－题组2

与面积、体积有关的几何概型

5.在如图所示的正方形中随机撒入1 000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________(结果保留整数)．

3. 23，而Q点在直径AB上是随机的，记事件A＝{弦长超2

解析：设正方形边长为2a，则S正＝4a2，S圆＝πa2. πa2ππ因此芝麻落入圆内的概率为P＝2＝，大约有1 000×≈785(粒)．

4a44答案：785 6．一个球型容器的半径为3 cm，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个H7N9

病毒，从中任取1 mL水，含有H7N9

病毒的概率是________．

441解析：水的体积为πR3＝×π×33＝36π(cm3)＝36π(mL)．故含有病毒的概率为P＝. 3336π答案：1

36π7．(2015·西安质检)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1

内随机取点，则该点落在三棱锥A1-ABC内的概率是________．

解析：设正方体的棱长为a，则所求概率

VA1-ABCP＝

VABCD-A1B1C1D1112×a·a321＝＝. 3a61答案：

68．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图1内的概率是，则此长方体的体积是________．

4

解析：设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展2＋4h11开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，故长方体的体积为1×1×322h＋22h＋14＝3. 答案：3 9．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：

(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？

(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？

解：(1)如图(1)所示，因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1 cm时，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接，这个范围的面积等于923232－72＝32(cm2)，因此所求的概率是2＝. 981

(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半π径1 cm时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为π cm2，故所求概率是. 81

[能力提升综合练] 1．下列关于几何概型的说法中，错误的是(

) A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性

B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关

C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个

D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性

解析：选A

几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A. 2．已有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(

)

3221解析：选A

利用几何概型的概率公式，得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，

8863∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)，故选A. S3．如图，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是4(

)

1132A.

B.

C.

D.

4243S解析：选C

因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于”等价于41S|PA|3事件“|BP|∶|AB|＞”．即P(△PBC的面积大于)＝＝. 44|BA|44．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机地取一点P，使△APB的最大边是AB”发1AD生的概率为，则＝(

) 2AB

11A.

B.

24C.37

D.

24解析：选D

依题可知，设E，F是CD上的四等分点，则P只能在线段EF上且BF

3a2272b72＝AB.不妨设CD＝AB＝a，BC＝b，则有b2＋＝a，即b＝a，故＝. 416a4

5．(2016·石家庄高一检测)如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．

解析：记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有60°1基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝＝. 360°61答案：

66．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M是AB的中点．

一只苍蝇在几何体ADF-BCE内自由飞行，求它飞入几何体F-AMCD内的概率．

解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a. 11111因为VF-a·a＝a3，

AMCD＝S四边形AMCD×DF＝×(a＋a)·33224121VADF-a＝a3，

BCE＝a·2213a41所以苍蝇飞入几何体F-AMCD内的概率为＝. 132a27．在长度为10 cm的线段AD上任取两点B，C.在B，C处折此线段而得一折线，求此折线能构成三角形的概率．

解：设AB，AC的长度分别为x，y，由于B，C在线段AD上，因而应有0≤x，y≤10，由此可见，点对(B，C)与正方形K＝{(x，y)|0≤x≤10,0≤y≤10}中的点(x，y)是一一对应的，先设xCD，BC＋CD>AB，CD＋AB>BC，注意AB＝x，BC＝y－x，CD＝10－y，代入上面三式，得y>5，x<5，y－x<5，

符合此条件的点(x，y)必落在△GFE中(如图)．

同样地，当y

S△GFE＋S△EHI1利用几何概型可知，所求的概率为＝. 4S正方形