2.5.2 向量在物理中的应用举例教案教学设计导入设计

第7课时

平面向量应用举例

1.能够用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

2.能够用向量方法解决物理中简单的力学问题和其他一些实际问题.

重点:用向量方法解决平面几何问题的基本方法和基本步骤,用向量方法解决与物理相关的实际问题.

难点:构建向量模型将平面几何问题化归为向量问题.

学法指导:通过自主预习课本和导学案,体会用向量方法解决平面几何问题的实际过程.合作探究用向量方法解决平面几何问题的方法,明白每个方法的实质含义.讨论构建向量模型将平面几何问题转化为向量问题,培养转化化归的思维能力.

结合下列情境思考问题.

图1中两个人提一重物怎样提最省力?图2中一个人静止地垂挂在单杆上,手臂的拉力与手臂握杆的姿势有什么关系?

问题1:利用向量法解决几何问题的一般步骤

(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,把平面几何问题转化为向量问题;

(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

问题2:向量法可以解决几何中的哪些问题?

平面几何中的距离(线段长度)、夹角、平行、垂直等都可以由向量的线性运算及数量积运算求得.

问题3:向量在物理中的应用,其步骤为

(1)建模:把物理问题转化为

数学

问题;

(2)解模:解答得到的数学问题;

(3)回答:利用解得的数学答案解释

物理

现象.

问题4:如何应用向量知识解决力学问题和速度问题?

应用向量知识解决力学问题,首先要对物体进行正确的

受力

分析,画出受力分析图形,在此基础上转化为向量问题;

应用向量知识解决速度问题,首先要对物体运动的速度进行合理的合成与

分解

,结合运动学原理,转化为数学问题.

向量方法,就是用“向量和向量的运算”来代替“数和数的运算”,把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.用向量解决物理问题的方法:把物理问题转化为数学问题,抽象成数学模型,对这个数学模型进行研究,进而解释相关物理量,在应用过程中,注意使用转化思想和数形结合思想.

1.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4=(

).

A.(-1,-2)

B.(1,-2)

C.(-1,2)

D.(1,2)

【解析】由物理知识,知f1+f2+f3+f4=0,

故f4=-(f1+f2+f3)=(1,2).

【答案】D

2.如图所示,用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10 N,则每根绳子的拉力大小是(

).

A.5 N B.5

N C.10

N D.10 N

【解析】如图,两力相等,夹角为120°,

以两力所在向量为边作平行四边形ABCD,则可得它是有一内角为60°的菱形,合力与灯具的重量大小相等、方向相反,故每根绳子的拉力为10 N.

【答案】D 3.若向量 =(2,2), =(-2,3)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|=

.

【解析】因为F1+F2=(2,2)+(-2,3)=(0,5),所以|F1+F2|=

=5.

【答案】5

4.如图所示,已知四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线.求证:AC⊥BD.

【解析】因为四边形ABCD是菱形,

|=| |.

所以|

= + , - ,

= 又因为

· + )·( - )=| |-| |=0.

=( 所以 22

⊥

,即AC⊥BD.

所以

利用向量证明垂直问题

如图,在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,D是BC的中点,E是AB上的点,且AE=2BE,求证:AD⊥CE.

·

=0即可,证明垂直时可利用基向量,也可建系.

【方法指导】要证AD⊥CE,只需证明 ·

=(

+ )·(

+

)=(

+

+

【解析】(法一)由题可得, )·( )

)

)·( =(

-

+

·

.

-

=

-

·

=0.又BC=CA,

因为BC⊥CA,所以

|=|

|,所以 ·

=(|

|-|

|)=0,

所以| 22

⊥

,即AD⊥CE.

所以

|=|

|=a,

(法二)以CA、CB为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系,设|

所以A(a,0),B(0,a),E(,),D(0,),

=(,), =(-a,).

所以 ·

=-+×=-+=0,

所以 ⊥

,即AD⊥CE.

所以 【小结】使用向量方法证明平面几何问题时,就是要把平面几何中的问题用向量的知识来表达.如证明两条线段垂直,就是证明这两条线段所表示向量的数量积等于零;证明两条直线平行可以使用共线向量定理等.在使用向量知识时,既可以使用基向量的方法,也可以使用坐标表示的方法.

利用向量证明平行问题

如图所示,若四边形ABCD为平行四边形,EF∥AB,AE与BF相交于点N,DE与CF相交于点M,求证:MN∥AD.

【方法指导】本题利用平行(共线)向量基本定理证明两直线平行,解题时要注意灵活运用已知条件.

【解析】因为EF∥AB,所以△NEF∽△NAB.

=μ

(μ≠1),则设 =μ

=(μ-1)

.

, ,可得

∥ =(μ-1)

.

同理,由 =

- =(μ-1)(

-

)=(μ-1)

.

所以 ∥

,所以AD∥MN.

因为μ≠1,所以 【小结】向量法证明直线平行,恰是向量平行问题的一种存在形式——它们的基向量无公共点.此处共线的两个向量没有公共端点.

向量在物理中的应用

如图,在细绳O点处用水平力F2缓慢拉起重量为G的物体,绳子与竖直方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.求:

(1)描述|F1|,|F2|随θ的变化而变化的情况;

(2)当|F1|≤2|G|时,求θ的取值范围.

【方法指导】利用力的平衡及向量加法的平行四边形法则进行求解.

【解析】(1)由题可知,|F1|= ,|F2|=|G|tan θ .

当θ从0°趋近于90°时,cos θ的值越来越小,tan θ的值越来越大.所以|F1|,|F2|随θ的增大而增大.

(2)由|F1|= ≤2|G|,得 cos θ≥.

又因为0°≤θ<90°,所以0°≤θ≤60°.

故θ的取值范围为[0°,60°].

【小结】用向量知识解决物理问题时,要注意数形结合,通过作出向量示意图或解三角形进行求解.

1.已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,点E和点F分别为BC和CD上的一点,且四边形PFCE为矩形.求证:PA=EF且PA⊥EF.

【解析】以D为坐标原点,DC所在直线为x轴,DA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy(如图所示).

|=λ,则A(0,1),P(设正方形边长为1,|

=(-λ,1-λ),

=

于是

,

),E(1,λ),F(λ,0),

(λ-1,-λ).

|=

-因为|

=

-

,

|=

-

,

同理|

|=|

|,所以PA=EF.

所以|

·

=(-λ)(又

-1)+(1-

λ)(-

λ)=0,

⊥

.所以PA⊥EF.

所以

2.在△ABC中,M,N分别在线段AB,AC上,AM=2MB,AN=2NC.求证:MN∥BC.

=a,

=b,则

=

- =b-a.

【解析】设 又AM=2MB,AN=2NC.

=a,

=b.

所以

在△AMN中,

=

- =

(b-a),

所以

=

,即

与

共线,故MN∥BC.

3.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),试求:

(1)F1,F2分别对质点所做的功;

(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.

【解析】 =(7,0)-(20,15)=(-13,-15),

(1)W1=F1· =(3,4)·(-13,-15)=-99,

W2=F2· =(6,-5)·(-13,-15)=-3.

(2)W=F· =(F1+F2)·

=(9,-1)·(-13,-15)=-102.

1.已知作用在点A的三个力分别为f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(3,1),且A(1,1),则合力f=f1+f2+f3的终点坐标为(

A.(9,1)

B.(1,9)

C.(9,0)

D.(0,9)

【解析】f=f1+f2+f3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)

=(8,0),

设合力f的终点为P(x,y),则

= +f=(1,1)+(8,0)=(9,1).

【答案】A 2.若O是△ABC所在平面内一点,且满足| -

|=| +

-2 |,则△ABC的形状是(

).

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形

【解析】因为| -

|=|

|=| -

|,

| +

-2 |=| +

|,

所以| -

|=| +

|,

所以A,B,C是同一矩形的三个顶点,且∠BAC=90°.

所以△ABC是直角三角形.

【答案】B

3.如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若 =x +y

,则x=

,y=

.

【解析】作DF⊥AB,设AB=AC=1⇒BC=DE=

,因为∠DEB=60°,所以BD=

.

由∠DBF=45°,解得DF=BF=

×

=

,故x=

1+

,y=

.

).

【答案】

4.一轮船欲横渡某条江,到达起始点的正对面岸边,已知江水流速为3 km/h,船的静水速度为6 km/h. (1)求轮船的航行方向;

(2)若江面宽 2

km,求轮船到达对岸所需要的时间.

【解析】(1)设江水、船在静水中的速度向量分别为 、 ,如图,以OA、OB为边作平行四边形,则由平

.

行四边形法则知船的横渡江的速度向量为

⊥

,

因为

所以sin∠BOC=

==,

所以∠BOC=30°,所以∠AOB=120°,

即轮船的航行方向与江水流速的方向成120°角.

,

(2)由(1)知轮船速度向量为

|=| |cos ∠BOC=6×cos 30°=3

,

且| 则轮船到达对岸所需的时间t=

= h.

=3

· · 的值

=2,则 (2014年·江苏卷)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5, ,

是

.

=

, , - .因为

=3

= + +

- = +

= -

,得 =

=

= 【解析】由

· +

-

-

-

=25, =64,所以

=2,所以( )·( )=2,即 ·

=2.又因为

· =22.

【答案】22

1.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是(

).

A.2

B.

C.3

D.

【解析】由题可知,BC边的中点为D(

,6), =(-

,5),

所以| |=

.

【答案】B 2.点O是△ABC所在平面内的一点,满足 · = ·

=

· ,则点O是△ABC的(

A.三个内角的角平分线的交点

B.三条边垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条高的交点

【解析】因为 · = ·

,

所以( -

)· =0.

所以

· =0.

所以OB⊥AC.

同理,OA⊥BC,OC⊥AB,

所以O为垂心,即O为三条高的交点.

).

【答案】D 3.一纤夫用绳牵船沿直线方向前进60 m,若牵绳与行进方向夹角为60°,人的拉力为50 N,则纤夫对船所做的功为

.

【解析】W=50×60×cos 60°=1500 J.

【答案】1500 J =(3,-4), =(6,-3),

=(5-m,-3-m).

4.已知 (1)若点A,B,C能构成三角形,求实数m应满足的条件;

(2)若点A,B,C构成以∠A为直角的三角形,求实数m的值.

=(3,1),

=(2-m,1-m),由 与

不共线,得【解析】(1)若点A,B,C能构成三角形,则这三点不共线, 3(1-m)≠2-m,解得m≠.

⊥

,所以3(2-m)+(1-m)=0,解得m=.

(2)因为∠A为直角,所以

·

等于(

).

5.在边长为1的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E是BC的中点,则 A.

B.

C.

D.

【解析】建立如图所示平面直角坐标系,则A(-,0),C(,0),B(0,-).

所以E点坐标为(,-).

=(

,0),

=(所以

【答案】D

·

=

×

=

.

,-),所以

=(2,2), =(4,1),在x轴上取一点P,使

·

有最小值,则点P的坐标为(

).

6.已知 A.(-3,0)

B.(2,0)

C.(3,0)

2D.(4,0)

2

=(x-2,-2),

=(x-4,-1),

【解析】设点P(x,0),则

·

=(x-2)(x-4)+2=x-6x+10=(x-3)+1.

故

·

取得最小值,故点P的坐标为(3,0).

当x=3时,

【答案】C

7.在如图所示的直角坐标系xOy中,已知两个力F1,F2的大小和方向,用坐标表示合力F,则F=

,合力F的大小为

N.

【解析】从图中可以看出F1=(2,3),F2=(3,1),F1+F2=(5,4),所以合力F的坐标为(5,4),其大小为|F|=

=

N.

【答案】(5,4)

8.已知在等腰△ABC中,BB',CC'是两腰上的中线,BB'⊥CC',求顶角A的余弦值.

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则 =(0,a), =(c,a),

=(c,0),

=(2c,0).

B(-c,0), 因为BB',CC'都是中线,

=(

+ )=(,),

所以

=

(

+

)=(- ,

).

因为BB'⊥CC',

所以-c+=0,即a=9c.

222

所以cos A=

-

-

===.

9.在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,则船行驶的方向为

.

,水流速度为 ,

【解析】如图所示,渡船速度为

.

则船实际垂直过江的速度为 |=,| |=25,

依题意知|

= + ,所以

· = · + .

因为

⊥

· 因为

,所以

=0,

所以25×cos(∠BOD+90°)+()=0,

2

化简得cos(∠BOD+90°)=-,即sin∠BOD=,

所以∠BOD=30°,故船行驶的方向为北偏西30°.

【答案】北偏西30°

10.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AC,E是垂足,F是DE的中点,求证:AF⊥BE.

【解析】因为AB=AC,D是BC的中点,

⊥

,即 ·

=0.

所以

=0.

· 又DE⊥AC,所以

=-

因为F是DE的中点,所以 .

·

+ =(

)·(

+ )

所以

·

·

+

·

+

· =

+

·

+

·

+

· =

+ )·

+

·

+

·

=( ·

+

+

·

+

· = ·

-

- = ·

·

·

· · -

=

·( · -

=0.

)= =

故AF⊥BE.