2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案设计范例

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授课人：王小军

授课时间：

2017年

3月30日

课题

必修四

2.3.1平面向量基本定理

课型

新授课

第几课时

1 课

时

教

学

目

标

1、了解平面向量的基本定理及其意义，能够将简单图形中的向量表示为一组基底的线性组合；

2、经历平面向量基本定理的探究过程，体会“由特殊到一般，一般到特殊”的思维方式，感受“数形结合”的数学思想；

3、在定理的发现过程中，感受数学探究的乐趣。

教学重点与

难点

重点

平面内任一向量用两个不共线非零向量表示。

难点

体

平面向量基本定理的理解。

教学方法

教学方法与

手段

通过不断提问引导学生逐步发现重要结论，突破各个难点；

教学手段

通过多媒体将图片展示给学生，通过启发学生、学生合作探究和分析讨论来解决问题。

类比物理中力的合成与分解，猜想数学中的向量是否也有类似的结论。从一个平行四边形的具体实使

用

教

材

的

构

想

例入手，创设问题情境，一步步的启发学生讨论探究，通过对平面内任意向量的作图表示，进而归纳总结出平面向量基本定理，并能对其进行简单的应用。本节学***面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点，因此，需要学生牢牢掌握并熟练运用。

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课时教学流程

学习过程

补充

【课前复习】

【师】前两节我们学习了向量的基本概念和基本运算，包括向量的加法、减法、数乘运算以及向量共线定理等。下面我们进行简要复习，请同学来来回答。

【生】1. 向量的加法运算有

法则和

法则.(三角形，平行四边形)。

2. 向量共线定理：如果错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)是共线向量，那么有且只有实数错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。=

.（a）。

【师】其实，向量有很多物理原型。在物理中，力就是一个向量，力的合成就是向量的加法运算. 力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和. 将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论. 这就是我们今天要学的《平面向量基本定理》。（板书

2.3.1 平面向量基本定理。）

【课内探究】

【师】我们在物理中，研究向量的合成与分解离不开画一个什么图形？（【生】：平行四边形），那么我们就先来看一个平行四边形问题。下面请看问题1，（ppt展示）.

一、问题引入

问题1

如图，在平行四边形ABCD中，

对角线AC与BD交于O点，点E为CD的中点，

AE与BD交于点F，设ABa，ADb．

试用向量a,b表示：

AC=

;

AE=

;

【数学课代表】回答，

BD

.

，

AC=

;

（向量加法的平行四边形法则）

BD

.

（向量的减法），

，

AE=

;

（向量加法的三角形法则）。

AF=

;

（直接口答，答不上来，没关系，等我们学了这一节自然就会了）【师】通过这三个等式，我们可以发现一个规律，它们都可以用平行四边形中两不共线的向量来表示成形如“1a2b”的形式。那么，请问，

1.

对于该平行四边形所在平面内的任一向量，是否都可以表示为形如“1a2b”的式子，

2.

如果可以，表示是否唯一，

3.

如果唯一，如何来求？

为了解决第一个问题，请同学们自主完成学案探究1。

二、定理发现

（1）创设问题情境，学生自主探究

探究1：如图所示，给定平面内两个不共线的向量e1，e2，a,b,c,d是平面内向量，请同学们仿照物理中的力的分解，通过作图探究，它们是否可以分解到e1，e2的方向上。

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学生在作图过程中，【师】注意我们的要求，作图工具——直尺，铅笔，作图要求——准确，美观。

e2向量平移成发现有的已经在画平行线，构造平行四边形。发现有些同学做得很好，在平移向量，将e1，和a向量共起点。有的同学作图已经完成。

选3份学生的学案进行投影展示，并请学生说明作图过程。注意学生容易出错的地方，如向量的箭头。学生通过刻度尺度量得出两个向量的系数1,2。(提示学生保留一位小数，在误差允许的范围之内系数可以不同)。

【师】比较这4幅图，能否说明，给定平面内两个不共线的向量e1，e2，平面内的任意向量都可以由它们表示。（【生】能）。表示是否唯一？（【生】唯一）。而且我们也可以通过度量得到系数。

（2）小组学习交流，明确定理条件

探究2：同桌讨论，当e1，e2共线时，它们能否表示平面内的任一向量？

【生】

当e1，。

e2共线时，无论方向如何都不能表示a吗？（与a不共线）【师】当e1，【生】可以表示）

e2共线且与a也共线时，能否表示？（【师】所以，当e1，e2共线且与a不共线时，才不能表示。

（3）总结作图过程，归纳基本定理

通过问题1级探究1，2，小组学***家有什么发现？

和学生一起总结出定理，对于平面内的两不共线的向量，任取平面内的一个向量，都可以表示为这两不共线的向量的线性组合。请同学们自己组织语言完成在学案。

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新知1：平面向量基本定理

如果

,那么

,

有且只有

,使

.

我们把

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(base).

（老师板书定理）

【师】我们要求定理准确无误，所以完成了学案的同学参考课本上的定理进行修正。

思考：平面向量基本定理中关键点有哪些？

板书

备注：

1. 基底的选取不唯一；

2.基底中的向量不共线（也不能为零向量）；

3.基底确定后，向量表示唯一。

【师】下面我们快速完成练习1。

练习1 下列关于基底的说法正确的是(

). A. 平面内任意两个向量都可作为一组基底；

B. 基底中的向量可以是零向量；

C. 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底; D. 平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．

【生】一一回答每个选项是否正确，并说明理由。

【师】平面向量基本定理保证了平面内的任一向量都可以用平面内两不共线向量线性表示，具体如何表示，如何求出系数，我们来看定理应用。

三、定理应用

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例1

同问题1，设ACe1，BDe2．

试用向量e1,e2表示：

（1）AB

;

(2)AD

.

【生】独自完成，选两位学生上黑板完成。学生展示采用了两种方法。

【师】例1说明了什么？（选取学生回答后总结）

1. 我们可以发现，选取不同的基底，向量表示不唯一。但是当基底确定之后，向量的表示就唯一确定。

2. 不同的基底可以相互表示。

3. 为了便于后续向量的运算，我们可以尽量选取适当的向量作为基底来表示向量。

4. 我们可以直接从几何角度来表示向量，也可以从代数角度来表示向量。

5. 向量其实是建立起了代数与几何之间的一座桥梁，我们学习向量的目的，其实是想将一些复杂的几何问题转化为代数问题，通过代数计算，进而解决几何问题。

变式1

在例1中，请以向量AB和AD表示向量AF. 【生】独自完成，选两位学生上黑板完成。

【师】用已知向量来表示未知向量，是否有通式通法？

对于平面内的任意向量，我们总可以采用向量的首尾相接来进行线性表示，即利用向量的加法得解。这样一来，我们就可以大大简化向量的运算。

总结提升

【学习小结】

最后，我们请同学们回忆，今天我们学到了什么？注意要从三个不同的角度来说，我们请三位同学来回答，但是要注意，前面同学说过的后面的同学不能再说。

知识层面：

;

思想层面：

; 价值观层面：

.

【师】今天我们从平行四边形的向量表示出发，通过对平面内任意向量的作图表示，得到了平面向量基本定理，并从代数和几何两个角度深入理解认识，运用定理解决问题。平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点，因此，需要学生牢牢掌握并熟练运用。

最后也希望同学们能够“青出于蓝而青于蓝”，好好学习，找到自己学习道路上的基本定理，实现自己的美丽的大学梦。

【知识拓展】

在解具体问题时，要适当地选取基底，选择了不共线的两个向量e1、e2后，平面上的任何一个向量a都可以用e1、e2唯一表示为a1e12e2，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有e1、e2的代数运算.

下面，请同学们快速完成学案当堂检测。

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课时达标检测设计（试用）

检测目标点与用时预项目

检测内容

※

当堂检测（时间：5分钟

满分：10分）计分：

1. 错误！未找到引用源。是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的是( ). 错误！未找到引用源。设；反馈、矫正方法预设与达标效果补充

(A)e1e2和e1e2；(C)e13e2和e23e1；

(B)3e12e2和4e26e1；考察基底的概(D)e2和e1e2；

念

考察平面向量基本定理的应用

2．D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的中点，且BCa,CAb，给出下列结论，其中错误的是( )．

当堂达标检测

1

(A)ADab,2

(B)BEa1b,

2

11(C)CFab,22 1(D)EFa

2

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课时教学设计尾页

板

书

设

计

2.3.1 平面向量基本定理

一．定理

二. 例题析练

任意e1，e2不共线

例1 补充设计

a=λ1e1+λ2e2

说明：（1）（2）（3）

例2

作

业

设

计

课后作业：

1. 已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1、e2不共线，向量c2e19e2，问是否存在这样的实数、，使dab与c共线？

2. ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，BF交CE于点G，若AGxAEyAF，则xy等于

（ ）

A342 A. B. 1 C.

D. 233

EGBFC教

学

后

记

经过两周的充分准备，才打磨出这一节课。在这之中，有困惑，有惊奇，有通宵达旦的独立思考，也有和同事的集体备课，特别是感谢组里的几位老教师的热情帮助和悉心指导。

平面向量基本定理的出现是由教师引导学生探究得出来的，在探究的过程中就充分考虑到数学学科的特点，针对不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用多种教学方法和手段引导学生积极主动的探究学习，掌握数学的基础知识和基本技能以及它们体现的数学思想方法，培养和发展应用意识。如何让更多学生乐在其中，如何让学生的主体作用体现出来，又能真正起到效果，这是我今后要继续学习的方向。

相比而言，通过这次“同题异构”活动，发现了每个人的特点，都有闪光点，也发现自己还有很多不足之处。“不忘初心，继续前行”。

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