2.1.2 向量的几何表示名师教学设计2

2.1平面向量的实际背景及基本概念 教学设计

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学必修四》（人教A版）第二章第一节的第一课时《2.1平面向量的实际背景及基本概念》。本节内容属于概念性知识。

向量是集数与形于一身的数学概念，有着丰富的实际背景和广泛应用，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁。在现实生活中随处可见的力、位移、速度等既有大小，又有方向的量是其物理背景，有向线段是其几何背景，向量就是从这些实际对象中抽象出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学工具，广泛地应用于解决数学、物理学科或实际生活中的问题.因此，它在整个高中数学的地位是很重要的。

本节课是《平面向量》的起始课，通过本节课的学习，让学生体会到向量具有大小和方向两个基本特征，研究向量我们可以从大小和方向两个角度入手。另外，实数学习的经验可以启发我们对向量的学习，引进一个量，就要研究它的运算，研究相应的运算律，因此，《平面向量》这一章，后续将要研究的内容就比较明朗了，这体现了本节课内容，对这一章的教学具有“统领全局”的作用。

二. 学生学情分析

学生在物理中已经学习了力、位移、速度等矢量的概念，认识到一些既有大小，又有方向的量，也能认识到生活中一些只有大小，没有方向的量，这些学习内容及生活经验为本节课奠定了一定的基础。

学生在之前也学习了实数的概念及实数的运算，也学***行等知识，这都为本节课的学习作了一定的准备。

三、教学目标设置

《课程标准》的表述——通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量与向量相等、相反的含义，理解向量的几何表示。

《教学大纲》的要求——理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量。

可以看出，《课程标准》注重了概念的产生及发展形成的过程，更关注相等向量，对向量的几何表示在要求上有所降低.所以我将本节课的教学目标确定为：

1、知识与技能目标：

（1）通过力和力的分析等实例，了解向量的物理背景。

（2）理解向量、相等向量的概念和向量的几何表示。

（3）掌握平行向量、共线向量的概念。

2、过程与方法目标：

培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法，培养学生观察问题,分析问题,解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标：

通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。

素养名称

数学抽象

逻辑推理

数学建模

直观想象

数学运算

数学分析

目标培养

学生通过本节课可以培养上述核心素养中的数学抽象，逻辑推理，数学建模和直观想象。

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四、教学重难点分析

掌握向量的概念，要抓住向量的本质——大小和方向。尽管学生有着相对比较丰富的物理素材，但对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以平面向量的含义是本节课的重点也是难点。解决这一难点的关键是多用几何图形中相等的有向线段让学生辨认，加深对向量的理解。同时，相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示也是本节课的重点。

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，向量的几何表示。

教学难点：向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。。

五、教法学法分析

1、教法分析：向量的概念是从生活实例和物理素材中抽象出来的，如物理学中的位移、力、速度等概念，其几何背景是有向线段，虽然是抽象的形式符号，教学时依然可以用位移、力等物理量为背景，理解上并不困难。因此教学时要注意把握概念的物理意义，理解有关概念的实际背景，有助于学生认同新概念的合理性.而相等向量、共线向量等概念可以让学生在对向量的两要素（大小、方向）的认识中结合具体案例主动构建，让学生自己得出的概念比简单的告诉印象要深刻得多。

2、学法分析：学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备；学生间通过一学期的共同学习，其合作探究的习惯和意识已然养成，这就为本节课的学习提供了认知准备。

教法：问题式、启发诱导式 学法：自主探究，小组合作比赛式

六、教学手段与教具 多媒体辅助教学

七、课前准备

1、全班同学分为8个学习小组，每一大组的前三桌为一组，后面的为一组；

2、本节课采用小组比赛形式展开，采取计分制，最终积分第一名的小组获特等奖，积分第二名的小组获一等奖，积分第三、四名的小组获二等奖。

3、题型分为抢答题、必做题、加分题。题号前有 的均为抢答题，抢答要求：在老师发出指令“开始答题”后方可抢答，否则抢答无效.抢答成功后要答完该大题所有小题，直至答错，才开始下一轮抢答。

4、计分规定：抢答题：（1）答对每小题加1分，反之扣1分；（2）必做题：无特别说明每小题1分；（3）加分题：根据题目所给分数打分. 八、教学过程

1、多媒体展示学习目标 （1）通过力和力的分析等实例，了解向量的物理背景． （2）理解向量的几何表示及向量、相等向量的概念．

（3）掌握向量、共线向量的概念．

设计意图：让学生知道本节课的学习目标，明确本节课的学习方向，培养学生的目标意识。

2、向量的物理背景 问题1：观察下列图形，所画的力是否正确？若不正确请改正并说明理由。

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设计意图：学生通过一组力的实例的分析，知晓力有一个重要的因素就是方向，强化方向的重要性。

问题2:

（1）力既有大小，又有方向，在物理学中称为什么？你能举例吗？

（2）在物理学中，只有大小，没有方向的量称为什么？你能举例吗？ （3）在数学中把这些量分别称为什么？

展示一组力，位移，速度，加速度的图片，让学生有更深的体会。

设计意图：问题2和这样一组实例为学生得出向量模型（位移、速度、力）提供依据，同时也适合学生的“最近发展区”，为学生类比到数学当中奠定基础。

3、向量的概念

数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，把只有大小，没有方向的量称为数量。

问题3:

（1）你能举出现实生活中向量与数量的例子吗？ （2）数轴是向量吗？

设计意图：让学生区别向量和数量，体会方向和大小对向量而言同等重要。

4、向量的几何表示

类比物理中的矢量，得出向量的几何表示。

设计意图：通过物理中矢量的表示方法有向线段类比到数学向量的表示方法，提高学生迁移的能力。

（必做题）问题4:

（1）有向线段包含几个基本要素？ （2）如图，如何用符号表示该向量？

（3）如何用符号表示线段AB的长度？ （4）向量的长度(大小)也称为向量的模，类比线段的长度，如何用符号表示

向量AB或a的模(长度、大小)？

（5）①向量的模可以为0吗？若可以，它叫做什么？它的方向是怎样的？ ②可以为1吗？可以为负数吗？若可以，它又叫做什么？ （6）①对于两个向量ab,就其模等与不等,方向同与不同,有哪几种可能情形？

②你认为应如何规定两个向量相等？

PPT展示向量的几何表示的相关概念。

设计意图:通过一组问题，让每一个学生都思考，讨论，得出结果，最后以抽签的方式点人来进行回答，确保每一人都弄清楚了，然后概念的得出是由学生自己思考问题得出来的会使学生的印象更为深刻。

5、小试牛刀

1、判断下列说法是否正确。

（1）若ab，则|a||b|。

（

）

（2）若|a||b|，则ab。

（

）

（3）起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量。（

）

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（4）若a与b同向，且|a||b|则ab。

（

）

设计意图：这样一组判断题的目标主要是为了强化学生对于相等向量的概念的理解记忆及加强，其次是向量不能比较大小这样一个重要的事实。

6、平行向量与共线向量

平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

规定：零向量与任何向量平行。

问题5:（1）已知l1//l2，点A、B在l1上，C、D在l2上，则AB与CD的方向有什么关系？

（2）则AB与CD有什么关系？如何用符号表示则AB与CD的关系？

设计意图：强化平行向量的概念，以及通过小试牛刀2得出平行向量就是共线向量这一概念。

7、小试牛刀

2、（加分题 5分）判断以下说法是否正确，并说明理由。

如图,点O，A，B在直线l上，则OA//OB。

A O B l 展示微课视频，让学生更进一步体会共线向量。

3、判断下列命题是否正确：

（1）若两个单位向量共线，则这两个向量相等。（

）

（2）0不与任何一个向量平行。（

）

bc共线，则a与c共线。（3）若a与b共线，与（

）

设计意图：强化平行向量的概念，对容易忽视的零向量进行着重的讲解。

4、（加分题 6分）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量。

设计意图：本题是教科书上的例二，目的是回归教材，对相等向量的概念强化。

8、挑战自我

（必做题）1、判断：若AB与CD共线，则A，B，C，D四点必在同一直线上。（ 5分

）

2、在平面直角坐标系中，起点在原点的所有单位向量，它们的终点组成的图形是什么？（ 5分

）

3、根据下列小题的条件，分别判断四边形ABCD的形状。

（1）ADBC（ 5分

）

（2）ABDC且|AB||AD|（ 5分

）

设计意图：每个同学都要对这样的基本概念进行辨析和强化，通过第三题让

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学生对于相等向量进一步理解掌握。

向量

9、课堂小结

（1）知识方面

向量的表示

向量的大小（模）

向量的方向

零向量

单位向量

（共线向量）

相等向量

平行向量

相反向量

（2）数学思想方面

设计意图：用知识框架的形式来总结本节的内容，目的是为了让学生更好的掌握知识的完整性，以及学生自己画框架，可以让学生也进一步掌握知识能力，最后数学思想的总结让学生知道类比的学习方式。

10、课后作业

必做题：课本P77习题2.1中的第2，3，4，5，6 选做题：某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向，向北偏西30°走了450m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点。

（1）选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移；（2）求向量DA的模。

设计意图：分层作业的形式让不同的学生有不同的发展。

11、统计各小组得分

对八个小组得分进行统计，最终积分第一名的小组获特等奖，积分第二名的小组获一等奖，积分第三、四名的小组获二等奖，积分后三名的小组在以后的学习中还要继续努力，小组合作还要加强。

12、板书设计

平面向量实际背景

记分牌

及基本概念

1

5

1、

定义

2

6

2、

向量的表示

投影

3

7

3、

向量的模

4

8

4、

零向量和单位向量

5、

相等向量

6、

平行向量与共线向量

结束语：

南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！”

结果 原因 引申到生活中与学习上的做事与学习，我们不仅需要向量的大小——即努力程度，同时，我们更需要明确的方向，只有这样才能使我们的学习与生活少发生位移，而多走距离。

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