2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学内容

课

题

§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

§2.3.3平面向量的坐标运算

课

型

新

授

课

课

时

1 知识与技能

教

学

目

标

教

学

重

点

教

学

难

点

过程与方法情感态度价值观1、理解平面向量的坐标概念

（1）在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念；

（2）会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标。

2、掌握平面向量的坐标运算

（1）能正确理解向量加、减法的坐标运算法则；

（2）能熟练进行向量的坐标运算；

（3）掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系。

1、通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；

2、通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； 3、借助数学图形解决问题,通过形与数之间关系的探究感受形式与内容、现象与本质之间的联系以及数学的形与数的和谐统一之美。

通过设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点；通过数学探究活动，培养学生的语言转化能力、分析问题、解决问题的能力，以及严谨的治学态度和不断探求新知识的精神。

1、理解向量坐标的意义

2、会运用向量的坐标运算解题

3、加强数形结合思想

1、向量的坐标表示的理解及运算的准确性

2、正确求解，评价各种不同的解法

首先，学生已经掌握了平面几何的基本知识，而且刚刚学习了向量的概念和简单运算，学

这为本节课的学习奠定了必要的知识基础；另外，学生对向量的物理背景有初步的了解，生

如力的合成；同时学生已具备一定的数学建模能力，能从物理背景或生活背景中抽象出数分

学模型，并能进一步的猜想、探讨和证明，为新课的教学提供了良好的思想基础和能力基析

础。

向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，教

具有丰富的实际背景。利用向量便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题，而平面向量材

的坐标运算则为用

“ 数

” 的运算处理

“ 形

” 的问题搭建了桥梁，同时也为进一分

步研究线段的定比分点坐标公式、平面向量的数量积以及解析几何、立体几何的相关问题析

奠定了基础。

教

针对本节课的教学目标和学生的实际

情况，在教学中采用 “引导发现、合作探究” 学

方

的教学方法。

法

教案的设计说明

教学基本流程

1、设计理念

《数学课程标准》提出数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点。本节课的设计正是尽力以此为理念，在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力.

2、设计初衷

本节课内容难度不高，但知识点比较繁多，而且各知识点之间的衔接不够紧凑，这就要求在教学设计中应力求突出知识间的联系，引导学生主动参与到思考、观察、猜想、验证、应用的教学活动中去，从而顺利地突破重、难点。

复

情

例探探探习

境

思题究究究回

设

考一

一

二

三

顾

置

一

例题3

教学情景设计设计意图

教师从学生活动生：假。因为单位向量的长度出发，进行评价、拓一定，但是方向不一定相同。

展，为新课的讲解作

铺垫。

2、坐标平面上的x轴和y轴都是生：假。因为x、y轴只有单

向量。 位长度，而没有长度。

通过第3小题复

***面向量基本定3、如果e1

、e2

是同一平面内的

理, 为下一步将基两个不共线的向量，那么对于这一平生：真。平面向量基本定理。

底特殊化引出新课面内的任一向量a,有且只有一对实做准备。 数x,y，使a = x e1 + ye2 。

二、创设问题情境

通过学生熟知的学生体会数学与现实生活的力的分解来创设问联系，并通过教师引导，体会题情境，引入新课，特殊化的思想。

并且建立数学与其它学科的联系。激发学生的学习兴趣，提高学习效率，在知识的迁移中进行创造性的学习，达到传授知识与培养学生能力融为一体的目的。

思例考题二二

教

学

内

容

一、复习回顾

判断正误

1、单位向量都相等；

探究一

探究二

师生活动

例题4

作业

变式

如图，光滑的斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用，沿斜面下滑，一是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说重力G的效果等价于F1与F2合力的效果，即F= F1+ F2,我们把它叫做重力G的分解。

教学情景设计教

学

内

容

三、新课讲授

（一）平面向量的坐标表示

1、定义

（1）根据平面向量基本定理的内容我们可以将平面内的任一向量ａ都分解为不共线的两个向量，其中垂直是一种重要的情形。把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

（2）思考：平面直角坐标系内，每个点可以用一对实数来表示，那么，对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？

解决途径：以向量i、j为基底，利用平面向量基本定理构造平行四边形，如图：

y

a C D

j o A x B

i

2、应用(课本P96例2) 例1：

用基底i、j分别表示向量a、b、c、d。B2 师生活动

师：对于这一平面内的任一向量a都可以用此平面内的两个不共线的向量表示，那么在平面直角坐标平面内，我们可以选择哪两个向量呢？

生：坐标轴上的单位向量。

师：我们怎样将向量a分解呢？

生：由平行四边形法则有a=AB+AC。

师：AB与i有什么关系呢？

生：是共线向量。

师：那么，我们就有AB=xi。同理，AC= yj

所以我们有a=xi+yj。

（多媒体课件演示）

结论：若a= xi+ yj，则a

=(x,y)叫做向量的坐标表示。

师：利用上面的结论，本题b可以表示为哪两个向量的和？

生：b=BB1+BB2=-2i+3j。

则b=（-2，3）

师：我们知道向量的坐标也有正负之分。那么，用同样的道理，你能迅速找到其他三个向量的坐标吗？

生：a(2,3)

设计意图

设置探究式教学，让学生经历知识的形成、发展、应用的过程，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用，充分体会数学探索的乐趣。

通过多媒体课件演示，使学生直观理解平面向量的坐标概念,明确求向量坐标的思路。

以向量b为例讲解本题，可以让学生体会向量的坐标与点的坐标一样，有正负之分。

y 4 b

3 2 a

x

0 1 B1

B

1 jO

i2 3 4

c2i3j(2,3)

c

d

并求它们的坐标。

d2i3j(2,3)

教师以课件给出上述答案，并提醒学生注意坐标符号。

教学情景设计教

学

内

容

变式探究：

（1）若向量d的方向取反向得到向量e，则b、e两向量有何关系。

（2）相等向量的坐标有什么关系？

（3）将表示向量的有向线段的起点放在坐标原点后有何结论呢？

（二）平面向量的坐标运算

思考：已知a=（x1 ,y1）,

b

=(x2 ,y2), 你能得出λa的坐标吗？

解：

法则：若a

=（x1 ,y1）,b

=(x2 ,y2),则：

a

＋

b = (x1＋x2 ,y1＋y2 ), a

－

b = (x1－x2 ,y1－y2 ) λa=λ(xi+yj)=λx i+λyj

师生活动

师：我们观察b、e的方向、大小有什么关系？

生：大小相等、方向相同。

师：这样的两个向量相等吗？

生：相等。所以b=e。

师：我们通过向量b、e的关系，猜想相等向量的坐标有什么关系？

生：相等。

师：相等向量的坐标也是相等的，这正体现了向量与其坐标的对应关系。

师：我们将上述向量a、b、c、d的起点都移至原点，他们的坐标有什么变化？

多媒体课件给出图形供同学们观察。

生：向量坐标没有变化。

师：此时向量坐标与这条有向线段的终点坐标有什么关系。

生：相等。

师：我们就有：当向量的的起点在坐标原点时，向量的坐标就由终点坐标唯一确定了。

教：我们已经知道向量在坐标平面内任意平移而坐标不变，那么将其起点放在什么位置更有利于研究呢？

生：原点。

师：我们将a、b都写成xi+yj

的形式，看看a+b的结果？

生：a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =x1i+y1j+x2i+y2j

师：往下怎么办呢？

生：合并同类项得，

a+b =（x1+x2)i+（y1+y2)j

师:在这里我们叫做向量线性运算的结合律。那么a+b的坐标就有了。

师：请同学们自己计算a-b

设计意图

在学生掌握课本例题的基础上进行挖掘、引申，探究新知，使得前后知识衔接自然。

在教学中渗透类比和特殊化的数学思想，形成新的知识结构体系，为下一步突破教学难点做准备。

此处，层层设问，为例2做好铺垫。

让学生经历主动观察、大胆猜想、积极验证，顺利得出向量的坐标运算法则，突出重点。同时培养学生的观察能力、推理能力、逻辑思维能力。

教师生活动

及λa的坐标。

∴λa=(λx, λy) 学生计算，教师巡视，最后课

件给出结论。

师：因此，如果求某一向量的

坐标，我们可以将其分解为两

个向量的和或差的形式，我们

分解为什么样的两个向量比

较好呢？

生：向量的起点在原点最好。

师：也就是说任意向量都可以

用起点在原点其他两个的向

量来表示。循着这条思路，我

们看下面的例题。

2、应用(课本P96例3)（由多媒体课

件给出例题）

师：AB可以写成那两个向量例2：

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，的和或差呢？

求的AB坐标。

y A (x1,y1)

B(x2,y2)

x

O

变式探究

（1）例1中向量a、b、c、d的坐标与它对应的有向线段的起点、终点坐标有何关系？任意向量都有这此关系吗？

（2）一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？

结论：向量的坐标与表示它的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系。

生：AB=OB-OA。

师：我们把过程完整的说一下。

学生口答，之后教师用多媒体给出结果。

解：∵AB=OB-OA

=( x2, y2)  (x1,y1) = (x2 x1, y2 y1)

由多媒体课件给出例1及答案，让学生思考后回答。

生：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

课件给出，学生思考。

生：不矛盾。因为，向量的平移是起点和终点同时平移的过程，而向量坐标=终点坐标-起点坐标，故差不改变。

教师用多媒体课件给出结论。

教

学

内

容

教学情景设计设计意图

本问题为例2的向量坐标运算的推到打下基础，使学生在解例2时很自然的想到将向量分解为两个起点在原点的向量的差的形式。

寻找各知识点的联系，挖掘问题实质。

体现了向量坐标的意义，通过提出矛盾、回顾旧知、推理验证，对难点层层突破。

教学情景设计

例4是对本节内容的综合训练，培养学生善于思考和严谨的学习态度，并对新知识进行深层次y 的理解和应用。

B 作图的目的是希望学生根据图形特征建立数式与图形A 的联系。

O

y

B 标也相等就可以求了。

D

A

师：还有其他的方法吗？

x 生：O 如图，可以利用向量加法

的平行四边形法则和减法的

三角形法则来求。

解法1：设顶点D的坐标为（x，y）

师：那我们就分成两组来求

吧。（还可以看一下有没有其　AB(1（2），31）（1，2）

他的思路。）

DC(3x,4y)

然后找两名思路不同的学生(1,2)(3x,4y)

板书，体会两种解法的难易差

别，最后，多媒体课件给出两　3x1x2　　



种不同的解答途径，如左栏。

教

学

内

容

例3：（课本P97例4）已知a=(2，1)，

b=(-3，4)，求a+b，

a-b，3a+4b的坐标。（多媒体课件给出例题）

例4：（课本P97例五）如图已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2， 1)、(-1， 3)、(3， 4)，试求点D的坐标。

师生活动

学生口答：

学生1：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；

学生2：a-b=（2，1）-（-3，4）

=（5，-3）；

学生3：3a+4b =3（2，1）+4（-3，4）

=（6，3）+（-12，16）

=（-6，19）。

教师进行评价，最后，由多媒体课件给出结果。

教师由多媒体课件给出例题。

C 师：请同学们根据已知条件作出平行四边形，想一想用哪些向量的运算可以求出点D的D 坐标。

如图，可以利用相等的向x 生：量坐标相等来求。

那你想利用哪两个向量相师：等呢？

C 生：ABDC，则他们的坐设计意图

24yy2

教

学

内

容

　顶点D的坐标为（2，2）解法2：由平行四边形法则可得

BD

BABC

(2(1),13)(3(1),43)

(3,1)

OBBDOD

(1,3)(3,1)

(2,2)变式探究：

1、已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。

2、平行四边形ABCD的两个顶点A、B的坐标分别是(-2， 1)、(-1，

3)，且对角线的交点坐标为（教学情景设计设计意图

写出规范化的解

答，便于交流。

师：本题的解法有两类，解法对解题方法进行1用的是方程的思想，解法2比较，总结思想方直接通过向量加法运算。

法。

若时间不允许，可作为课让学生熟练向量下作业或思考题。

的坐标运算。

师生活动

作业

课后附记记板书设计

1，25），试求点C、D的坐标。

2

帮助学生把所学在教师提问的基础上，让知识纳入知识体系，⑴通过本节课的学习，你收获了什学生自己进行归纳总结，教师形成良好的认知结么？ 加以补充

构，有益于学生对知⑵我们已经学习了利用图形来进行识的巩固、理解和掌握。

向量的运算，为什么还要引进坐标运五、归纳总结

算呢？

1、（必做）课本101第1、2、3题。

2、（选做）例题4变式。

（1）这节课指导思想是发挥学生的主体性，所以在教学上给予学生足够的时间，并组织同学交流；同时又没忽视教师的主导地位。

（2）教师在提出问题情境时，引入了物理中的力的分解，这样的方式有利于培养学生的学习兴趣，加深对数学知识的理解。

（3）课程标准提倡“合作交流”的学习方式，但不能简单追求热闹。因此，在提问时，都是要求学生先独立思考，然后参与讨论、交流。这样有利于增强学生的智力参与，减少个别学生一味等待别人的成果。

§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

§2.3.3平面向量的坐标运算

一、平面向量的二、平面向量的坐标例2 例4 坐标表示

运算

例3 例5