探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学创新设计

探究与发现：函数y＝Asin(ωx＋φ)

及函数y＝Acos(ωx＋φ)的周期

教学目标

1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性。

2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及函数y＝Acos(ωx＋φ)的周期。

3．通过学生观察、类比、思考、交流、讨论感知函数的周期性，提高学生解决问题的逻辑思维能力。

教学重点与难点

1．周期函数的概念。

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)及函数y＝Acos(ωx＋φ)的周期求解。

过程与方法

通过创设情景：古诗《赋得古原草送别》、年有四季更替、月有阴晴圆缺等，让学生感知周期现象，从数学的角度分析这种现象，从而得到周期函数的定义，并根据周期函数的定义，再在实践中加以应用。

情感态度与价值观

通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生学习的积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。

教学过程设计

出示学习内容：

板书课题：探究y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期

一、创设情景，引入新课

古诗《赋得古原草送别》体现原上野草秋枯春荣，岁岁循环的变化规律。世界上还有许多事物呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺。这种现象在数学上称为周期性，而周期函数是描述现实世界“周而复始”与“因果关系”的重要数学模型。

1

二、概念形成，尝试定义

1、思考：函数f(x)=x被3整除的余数？

x f(x) 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

通过观察表格，同学们有什么发现？能否用表达式来反映？

f(x+3)=f(x) 2、观察正弦、余弦函数图像

y=sinx

-2π

-π

ppy y π

ππ

p2π

p3π

px 4π

y=cosx

-2π

p-π

p

π

px

通过观察，同学们有什么发现？（图象有规律地不断重复出现）

规律是什么？（当自变量每隔2π时，函数值都相等）

3、概念形成：周期函数

定义 对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．

请同学们认真阅读定义，定义强调三点：

第一T是非零常数，第二自变量x的取值是定义域内的每一个值，第三判断周期函数的理论依据是：f（x+T）=f（x）．

诠释：如果T=0，那么f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外，判断周期函数的理论依据是f（x+T）=f（x）

2

4、深化概念

问题1: 2π是不是正弦函数和余弦函数的周期? （2π是正弦函数和余弦函数的周期）

问题2: 2kπ(k≠0且k∈Z) 是不是正弦函数和余弦函数的周期? （2kπ(k≠0且k∈Z) 都是正弦函数和余弦函数的周期.若T为函数f(x),的周期,则kT(k≠0且k∈Z) 都是函数f(x),的周期）

问题3: 一个周期函数的周期有多少个?最小正周期函数的概念？（无数多个）

对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。

结论: 2π是正弦、余弦函数的最小正周期. 说明:今后所说周期,如不作特殊说明,均指最小正周期. 问题4:是否每一个周期函数都有最小正周期? 函数f(x)=5是周期函数吗？如果是周期函数，你能找出最小正周期吗？

结论：常数函数没有最小正周期

三、掌握定义、应用解题

例1 求下列函数的周期

（1）y=3cosx

x∈R （2）y=sin2x

x∈R 1（3）y=2sin（2x-6）

x∈R 解析：从周期函数定义出发对周期函数定义中任意x都有f（x＋T）=f（x）的本质深刻理解，进而求得周期，另外还可从函数图像变换规律中求得周期。

设计意图：利用周期函数定义求周期的方法，从中发现函数周期与哪些量有关？指引探索的途径，从而为探究函数y=Asin(ωx+φ),x∈R及函数y=Acos(ωx+φ),x∈R(其中A,ω, φ为常数，且A≠0,ω

> 0)的周期奠定基础，体现从特殊到一般的认知规律。

四、探究与发现、应用与解题

问题：你能从上面的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关系吗？

猜想:

函数y=Asin(ωx+φ),x∈R及函数y=Acos(ωx+φ),x∈R(其中A,ω, φ为常

3

数，且A≠0,ω

> 0)的周期为

T2探究：y=Asin（ωx+φ）的周期．（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0，x∈R）

解 设z＝ωx＋φ．因为y＝sinz的周期是2π，所以

sin（z＋2π）=sinu，

例2：求下列函数的周期

（1）

f(x)=

sinx ·

cosx ; 13（2）

f(x) =2（2sinx-2cosx）-1 （3）f(x) = 3sin3x-cos3x 课堂练习：求下列函数的周期

（1）f（x）=sin2x

（2）f（x）=cosx-sinx+1

设计意图：实践出真知，通过探究与发现，熟悉公式，掌握解决形如函数y=Asin(ωx+φ),x∈R及函数y=Acos(ωx+φ),x∈R(其中A,ω, φ为常数，且A≠0,ω

> 0)的周期的方法，以及对三角函数的灵活变形运用。

五、自主体验与应用

例3：求下列函数的周期：

(1)y＝|sinx|

(2) y＝cos|x| 思考：y=|Asin(ωx+φ)|的周期？

设计意图：熟悉函数图像变换规律，从图像中获取答案。

4

六、课堂小结：

（一）周期函数的定义；

（二）周期函数的求法；

1.定义法；

2.公式法；

3.图像法；

七、布置作业：

课本P35页练习题

教学设计说明：

此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线．”的原则而设计的．教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．

函数周期性概念的教学是本节课的难点．概念教学是中学数学教学的一项重要内容，不能因其易而轻视．也不能因其难而回避．概念教学应面向全体学生，但由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入。本节教学重点是求函数y＝Asin(ωx＋φ)及函数y＝Acos(ωx＋φ)的周期求解，本节设计几个不同类型例题让学生体会用定义法、公式法、图像法等灵活求解函数周期。

5