阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质教学设计实例

第七章

平面向量

7.4.1

向量的内积

【教学目标】

1. 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．

2. 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．

3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．

【教学重点】

平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．

【教学难点】

平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．

【教学方法】

本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．

【教学过程】

环节

教学内容

一个物体在力F的作用下产生了位师生互动

教师提出问题．并简单讲设计意图

此引例体现了数学知识与其他学科的联系，让学生了解所学内容在实际生活中的具体应用．

移s，那么力F所做的功应当怎样计算？

解什么是功，让学生对功有个F

基本了解．



s

师生共同计算这个力所做

导

入

力做的功为

W＝∣s∣∣F∣cos θ，

其中是F与s的夹角．

∣F∣cos θ是F在物体前进方向上分量的大小．

∣s∣∣F∣cos θ称为位移s

与力向量F的内积．

新

课

的功．

我们知道，功只有大小，没有方向，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？引出课题．

学生阅读课本，讨论并回答教师提出的问题：

1．两个非零向量夹角的概念

→已知非零向量a与

b，作

OA＝a，→OB＝b，则∠AOB叫向量a与b的夹

此问题是为本课重点向量的内积概念（1）当‹a，

b›＝0和180º而准备．通过问题的详细探究给出概念，比直接给出更符合学生的特点，容易被学生接受．

角．记作‹a，b›，规定0≤‹a，b›≤180．

时a与b的方向是怎样的？

说明：

(1)当‹a，b›＝0时，a与b同向；

(2)当‹a，b›＝180时，a与b反向；

(3)当‹a，b›＝90时，a与b垂直，记做a⊥b；

（2）当‹a，b›＝90时，a与b的方向又是怎样的？

师生共同总结，师重点强调说明（4）．

数学基础模块

下册

(4)在两向量的夹角定义中，两向量

必须是同起点的．

2．向量的内积

已知非零向量a与b，‹a，b›为两向教师直接给出向量内积的

量的夹角，则数量| a | | b | cos‹a，b›叫做基本表达式．

a与b的内积．记作

教师引导学生学习向量内

a·b＝| a | | b | cos‹a，b›．

积的概念．

规定：0向量与任何向量的内积为0．

学生阅读课本中向量内积

说明：

的概念，在理解的基础上记忆

（1）两个向量的内积是一个实数，向量内积的概念．

不是向量，可以是正数、负数或零，符号教师总结向量内积的含

由cos‹a，b›的符号所决定；

义，以及公式中的注意事项．

（2）两个向量的内积，写成a·b，

符号“·”在向量运算中不是乘号，既不

能省略，也不能用“×”代替.

新

课

例1

求

|a|＝5，|b|＝4，‹a，b›＝学生讨论求解．

120．求a·b．

解 由已知条件得

a·b＝| a | | b | cos‹a，b›

＝5×4×cos

120＝－10．

学生阅读课本中向量内积3．向量的内积的性质

设

a，b 为两个非零向量，e是单位的性质，在理解的基础上记忆

向量内积的性质．

向量，则：

教师对于每一个性质都要（1）a·e＝e·a＝∣a∣cos ‹ a，e›；

引领学生从向量内积的表达式（2）ab 

a·b＝0；

入手，仔细推导．

（3）a·a＝| a |2或

| a |＝a·a；

（4）∣a·b∣≤∣a∣∣b∣．

教师引导学生学习向量内

4．向量的内积的运算律

积的运算律．让学生明确内积(1)交换律：a·b＝b·a；

(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；

满足交换律和分配律，不满足

结合律．比如，实数乘法满足(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

在本节中首次引入了抽象的向量内积，学生往往只接受具体的基本表达式，而不能接受a·b的含义，所以应让学生从符号的含义开始认识，这部分教师必须讲解清楚．

求内积题目不必过难，重点在理解内积的概念．

两向量的内积是两向量乘法的一种，是学生以前所未接触过的，与以前数量间的乘法、实数与向量间的乘法有很大区别，因此运算法则、运算律都要重新推导，学生对于概念和运算法则的理解和掌握有些困难．它与实数乘法的概念，性质

第七章

平面向量

新

课

例2

求证：

结合律：(a·b)·c＝a·(b·c)，及运算律有联系也有而向量的内积不满足；又如实数乘法满足：a·c＝b·c  a＝b，而向量的内积不满足这种推出关系．

学生分组讨论证明的方（1）(a＋b)·(a－b)＝∣a∣2－∣b∣2；

法；

（2）∣a＋b∣2＋∣a－b∣2 ＝2(∣a∣2－∣b∣2)．

证明

（1）显然

(a＋b)·(a－b) ＝a·a－a·b＋b·a－b·b ＝∣a∣－∣b∣；

（2）因为

22区别，这一区别是教学的重点也是学生学习的难点．

通过例2可让学生加深对结合律与运算律的理解．

通过学生讨论，老师点拨，可以突出解题思路，深化解题步骤，分解难点．

小组讨论后，教师对学生的回答给以补充、完善，师生共同总结解答方法．

教师给出具体的证明步骤．

∣a＋b∣＝(a＋b)·(a＋b)22

2

＝∣a∣＋2 a·b＋∣b∣，

∣a－b∣＝(a－b)·(a－b)2

＝∣a∣2－2 a·b＋∣b∣2，

所以

∣a＋b∣2＋∣a－b∣2 ＝2(∣a∣－∣b∣)．

练习

1．已知

| a |，| b |，‹a，b›，求

a·b：

(1) | a |＝7，| b |＝12，‹a，b›＝120°；

(2) | a |＝8，| b |＝4，‹a，b›＝π；

2．已知

| a |，| b |，a·b，求

‹a，b›：

(1) | a || b |＝16，a·b＝－8；

(2) | a || b |＝12，a·b＝63．

本节课我们主要学***面向量的内积，常见的题型主要有：

（1）直接计算内积；

（2）由内积求向量的模；

（3）运用内积的性质判定两向量是否垂直；

（4）性质和运算律的简单应用．

22

师生合作共同完成．

学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师检验学生的掌小

结

学生阅读课本，畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．

握情况．

梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．

数学基础模块

下册

作

业

教材

P54

练习A 组第

2 题（1）（3），第

3 题（1）（2）；

(选做)练习

B 组第1题．

巩固拓展．