小结优质教案设计

应用抽样方法抽取样本时，应注意以下几点：

(1)用随机数法抽样时，对个体所编的号码位数要相等．当问题所给位数不相等时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数．

N(2)用系统抽样抽样时，如果总体容量N能被样本容量n整除，抽样间隔为k＝，如果n总体容量N不能被样本容量n整除，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝N.N表示取N的整数部分

nnn(3)几种抽样方法的适用范围：当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法；当总体容量较大，样本容量也较大时，可采用系统抽样；当总体中个体差异较显著时，可采用分层抽样．

[典例1]

选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．

(1)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；

(2)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样；

(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个入样；

(4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个入样．

解：(1)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样法．

1011第一步：确定抽取个数．因为＝，所以甲厂生产的篮球应抽取21×＝7(个)，乙厂30331生产的篮球应抽取9×＝3(个)；

3第二步：用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本．

(2)总体容量较小，用抽签法．

第一步：将30个篮球用随机方式分段，分段为1,2，…，30；

第二步：将以上30个分段分别写在大小、形状相同的小纸条上，揉成小球，制成号签；

第三步：把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅匀；

第四步：从袋子中逐个不放回抽取3个号签，并记录上面的号码；

第五步：找出和所得号码对应的篮球，这些篮球便组成了我们要抽取的样本．

(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法．

第一步：将300个篮球用随机方式分段，分段为001,002，…，300；

第二步：在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第8行第29列的数“7”开始，任选一个方向作为读数方向，比如向右读；

第三步：从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到286,211,234,297,207,013,027,086,284,281这10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码，找出和所得号码对应的篮球便组成我们要抽取的样本．

(4)总体容量较大，样本容量也较大宜用系统抽样法．

第一步：将300个篮球用随机方式分段，分段为000,001,002，…，299，并分成30段．

第二步：在第一段000,001,002，…，009这十个分段中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为始号码；

第三步：将分段为002,012,022，…，292的个体抽出，组成样本．

[对点训练] 1．某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人．现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一分段为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机分段为1,2，…，270，并将整个分段依次分为10段．如果

抽得的号码有下列四种情况：

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；

②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；

③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；

④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的下列结论中，正确的是(

) A．②③都不能为系统抽样

B．②④都不能为分层抽样

C．①④都可能为系统抽样

D．①③都可能为分层抽样

10解析：选D

按分层抽样时，在一年级抽取108×＝4(人)，在二年级、三年级各抽27010取81×＝3(人)，则在号码段1,2，…，108中抽取4个号码，在号码段109,110，…，189270中抽取3个号码，在号码段190,191，…，270中抽取3个号码，①②③符合，所以①②③可能是分层抽样，④不符合，所以④不可能是分层抽样；按系统抽样时，抽取出的号码应该是“等距”的，①③符合，②④不符合，所以①③都可能为系统抽样，②④都不能为系统抽样．

本考点主要利用统计表、统计图分析估计总体的分布规律．要熟练掌握绘制统计图表的方法，明确图表中有关数据的意义是正确分析问题的关键，从图形与图表中获取有关信息并加以整理，是近年来高考命题的热点．

[典例2]

样本容量为100的频率分布直方图如图所示．

根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6,10)内的频数为a，样本数据落在[2,10)内的频率为b，则a，b分别是(

) A．32,0.4

B．8,0.1

C．32,0.1

D．8,0.4 解析：选A

落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，

100×0.32＝32，∴a＝32，

落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4.∴b＝0.4. [对点训练] 2．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直

方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数是11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．

解析：设样本容量为n，则n×(0.1＋0.12)×1＝11，所以n＝50，故所求的城市数为50×0.18＝9. 答案：9

样本的数字特征可分为两大类，一类反映样本数据的集中趋势，包括样本平均数、众数、中位数；另一类反映样本数据的波动大小，包括样本方差及标准差．通常，我们用样本的数字特征估计总体的数字特征．有关样本平均数及方差的计算和应用是高考考查的热点．

[典例3]

甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如图所示：

(1)填写下表：

甲

乙

平均数

7

________

中位数

________

________

命中9环以上

1 3 (2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：

①结合平均数和方差，分析偏离程度；

②结合平均数和中位数，分析谁的成绩好些；

③结合平均数和命中9环以上的次数，看谁的成绩好些；

④结合折线图上两人射击命中环数及走势，分析谁更有潜力．

解：(1)甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，

∴中位数为7环．

乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10，

1∴x乙＝(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7(环)．

10乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，

7＋8∴中位数是＝7.5(环)．

2于是填充后的表格，如图所示：

甲

乙

(2)s2甲＝s2乙＝5.4. 2①甲、乙的平均数相同，均为7，但s2甲＜s乙，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平平均数

7

7

中位数

7

7.5

命中9环以上

1 3 1[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝1.2，

101[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝10均数的程度大．

②甲、乙的平均数相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶环数的优秀次数比甲多．

③甲、乙的平均数相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．

④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．

[对点训练] 3．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下(单位：克)：125,124,121,123,127，则该样本标准差s＝________(克)(用数字作答)．

解析：先求平均数x＝125＋124＋121＋123＋127＝124(克)，则样本标准差

5s＝

＝

125－x2＋124－x2＋…＋127－x2

51＋0＋…＋9＝2. 5答案：2

1．分析两个变量的相关关系时，我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出回归方程．把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，构成的图叫做散点图．从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系．如果这些

点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，直线方程叫做回归方程．

2．回归方程的应用

利用回归方程可以对总体进行预测，虽然得到的结果不是准确值，但我们是根据统计规律得到的，因而所得结果的正确率是最大的，所以可以大胆地利用回归方程进行预测．

[典例4]

某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下列所示对应的数据：

广告支出x(万元)

销售收入y(万元)

(1)画出表中数据的散点图；

(2)求出y对x的回归方程；

(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？

解：(1)依表中数据，画出散点图如图．

1

12

2

28

3

44

4 60

(2)观察散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，所以变量x，y线性相关．将相关数据列表如下：

i xi

yi

x2i

1

1

2

2

3

3

44

9

4 4 60 16 12

28

1

4

xiyi

12

56

132

240 x＝2.5，y＝36，

i＝1xiyi＝440，x2i＝30 i＝144^^^设回归方程为y＝bx＋a，于是

^440－4×2.5×3680b＝＝＝16，

530－4×2.52^^a＝y－bx＝36－16×2.5＝－4，

^∴y对x的回归方程为y＝16x－4. ^(3)当广告费为9万元时，y＝16×9－4＝140(万元)，

即广告费为9万元时，销售收入约为140万元．

[对点训练] 4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

父亲身高x/ cm

儿子身高y/ cm

174

175

176

175

176

176

176

177

178 177 则y对x的线性回归方程为(

) ^^A.y＝x－1

B.y＝x＋1 1^^C.y＝88＋x

D.y＝176 2解析：选C

由题意得x＝174＋176＋176＋176＋178＝176(cm)，y＝5175＋175＋176＋177＋177＝176(cm)，由于(x，y)一定满足线性回归方程，经验证知选5C.